2024-2025学年湖南省天壹名校高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省天壹名校高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 151.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-23 11:52:11 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省天壹名校高二上学期期末调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.等差数列中，为其前项的和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知三棱锥，点为的中点，且，，，用，，表示，则等于( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列双曲线中，以直线为渐近线的是( )
A. B. C. D.
10.设圆，直线，则下列结论正确的为( )
A. 的半径为 B. 恒过定点
C. 可能与相切 D. 当时，被截得的弦长最短
11.已知数列的首项为，且满足，则( )
A. B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列中，，则 ．
13.已知，两点到直线的距离相等，则 ．
14.在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求线段的垂直平分线的直线方程；
若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．
16.本小题分
已知函数，当时取得极大值．
求的值；
求函数在上的最大值与最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求与底面所成角的正弦值；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
18.本小题分
点与定点的距离和它到定直线的距离之比是．
求点的轨迹方程；
若直线与轴的交点为，过点作直线与点的轨迹交于，两点不重合，设直线，的斜率分别是、，证明：为定值．
19.本小题分
若项数为的数列满足：，我们称其为阶的“对称数列”例如：数列，，，为阶的“对称数列”；数列，，，，为阶的“对称数列”．
若数列为阶的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，请求出数列的每一项；
若数列为阶的“对称数列”，其中，，，是首项为、公比为的等比数列．
求数列的前项和；
若，求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.【小问详解】
因为，，
所以的中点为，斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
即的直线方程为，化简得．
【小问详解】
联立解得，，即圆心为，
所以圆的半径，
所以所求圆的标准方程为．
16.【小问详解】
因为，所以，
因为时取得极大值；
所以，，．
当时，，
由解得或；由解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极小值，不符合题意，所以舍去．
当时，
由解得或；由解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极大值，符合题意．
综上可得：．
【小问详解】
由可知，，，
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在上极大值为，极小值为；
又由于，
函数在上的最大值是，最小值是．
17.【小问详解】
因为底面，所以在底面上的射影是，
所以为与底面所成角，
在中，，
设底面正方形边长为，则，则，，
所以；
【小问详解】
因为底面，底面，所以，
又，，且平面，平面，
平面；又因为平面；
由已知，，且面， 面，
面；
【小问详解】
以为 坐标原点、为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系；
设底面的边长为，则，，，，
所以，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，即，令，则；
，即，令，所以；
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
所以平面与平面的夹角为
18.【小问详解】
设点，依题意，，
即．
整理得点的轨迹方程：；
【小问详解】
证明：由题，
当的斜率为时，，．
当的斜率不为时，则可设的方程为：，设，．
联立：，整理得：；
所以即，且，，
又，
．
．
综上所述，为定值．
19.【小问详解】
由题知，，，是等差数列，且，，
所以，解得；
所以，．
由阶的“对称数列”的定义可知：
，，．
所以数列的每一项依次为，，，，，，．
【小问详解】
由题知：，，，是首项为、公比为、项数为的等比数列，
所以；
所以
若，则为，，，，，，，
依题意，，，，是首项为，公比为的等比数列；
，
由“对称数列”的定义可知：；且，，，是首项为，
公比为的等比数列；
当时，；
由可知：；
当时，有，
；
综上：即：．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，理解新定义的同时使用分类讨论的思想与方法是解题的关键．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.等差数列中，为其前项的和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知三棱锥，点为的中点，且，，，用，，表示，则等于( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列双曲线中，以直线为渐近线的是( )
A. B. C. D.
10.设圆，直线，则下列结论正确的为( )
A. 的半径为 B. 恒过定点
C. 可能与相切 D. 当时，被截得的弦长最短
11.已知数列的首项为，且满足，则( )
A. B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列中，，则 ．
13.已知，两点到直线的距离相等，则 ．
14.在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求线段的垂直平分线的直线方程；
若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．
16.本小题分
已知函数，当时取得极大值．
求的值；
求函数在上的最大值与最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求与底面所成角的正弦值；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
18.本小题分
点与定点的距离和它到定直线的距离之比是．
求点的轨迹方程；
若直线与轴的交点为，过点作直线与点的轨迹交于，两点不重合，设直线，的斜率分别是、，证明：为定值．
19.本小题分
若项数为的数列满足：，我们称其为阶的“对称数列”例如：数列，，，为阶的“对称数列”；数列，，，，为阶的“对称数列”．
若数列为阶的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，请求出数列的每一项；
若数列为阶的“对称数列”，其中，，，是首项为、公比为的等比数列．
求数列的前项和；
若，求数列的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.【小问详解】
因为，，
所以的中点为，斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
即的直线方程为，化简得．
【小问详解】
联立解得，，即圆心为，
所以圆的半径，
所以所求圆的标准方程为．
16.【小问详解】
因为，所以，
因为时取得极大值；
所以，，．
当时，，
由解得或；由解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极小值，不符合题意，所以舍去．
当时，
由解得或；由解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
时取得极大值，符合题意．
综上可得：．
【小问详解】
由可知，，，
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在上极大值为，极小值为；
又由于，
函数在上的最大值是，最小值是．
17.【小问详解】
因为底面，所以在底面上的射影是，
所以为与底面所成角，
在中，，
设底面正方形边长为，则，则，，
所以；
【小问详解】
因为底面，底面，所以，
又，，且平面，平面，
平面；又因为平面；
由已知，，且面， 面，
面；
【小问详解】
以为 坐标原点、为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系；
设底面的边长为，则，，，，
所以，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，即，令，则；
，即，令，所以；
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
所以平面与平面的夹角为
18.【小问详解】
设点，依题意，，
即．
整理得点的轨迹方程：；
【小问详解】
证明：由题，
当的斜率为时，，．
当的斜率不为时，则可设的方程为：，设，．
联立：，整理得：；
所以即，且，，
又，
．
．
综上所述，为定值．
19.【小问详解】
由题知，，，是等差数列，且，，
所以，解得；
所以，．
由阶的“对称数列”的定义可知：
，，．
所以数列的每一项依次为，，，，，，．
【小问详解】
由题知：，，，是首项为、公比为、项数为的等比数列，
所以；
所以
若，则为，，，，，，，
依题意，，，，是首项为，公比为的等比数列；
，
由“对称数列”的定义可知：；且，，，是首项为，
公比为的等比数列；
当时，；
由可知：；
当时，有，
；
综上：即：．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，理解新定义的同时使用分类讨论的思想与方法是解题的关键．
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