2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高二上学期期末调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高二上学期期末调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“方程表示双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.记为等比数列的前项和，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知函数在上有三个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. 当变化时，恒过定点
B. 若，则在轴，轴上的截距之和为
C. 若，则的斜率为
D. 当时，点关于直线的对称点坐标为
10.已知等差数列满足，记为前项和，则下列说法正确的是( )
A. B. 是递增数列
C. 当时，取得最小值 D. 使得的的最小值为
11.已知为坐标原点，抛物线为抛物线上的两点，且，则下列说法正确的是( )
A. 直线过抛物线的焦点
B. 以为直径的圆与轴相切
C. 当时，
D. 若点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列的通项公式为，则它的前项和为 ．
13.在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 ．
14.在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点若，则椭圆离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆经过两点，且圆心在直线上
求圆的方程；
已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，求证：．
18.本小题分
已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为．
求双曲线的方程；
直线过点，与双曲线交于两点．
若直线，求的面积；
在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项．
若数列的前项分别为，求数列的前项；
若满足，且．
求的值；
求的前项和．
参考答案
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15.解：当时，，解得：，
当时，，得，
因为，所以，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以数列的前项和
．

16.解：
因为，所以的中垂线的斜率为，
又的中点为，所以的中垂线方程为即，
由，解得，又半径，
所以圆的方程为或
若弦所在直线斜率不存在，则弦长为，不合题意，故所求弦的斜率存在．
设弦所在直线方程为，即，设圆心到弦的距离为，
由所以，
即，解得或．
所以弦所在的直线方程为或．

17.解：
函数中，，求导得，
当时，在上单调递增；
当时，时，时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
证明：由知，当时，，
设，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，则，
所以．

18.解：
因为点在双曲线上，得
又因为渐近线方程为，所以，
解得，所以双曲线的方程为．
直线斜率为，故直线的方程为，
代入双曲线得，
，
所以，
又点到的距离为，
故的面积为．
设，，
当直线斜率不为时，设，代入双曲线得，
，，
所以
，
若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以
所以，此时．
当直线斜率时为，对于
所以，解得或舍，所以在轴上存在定点，使得为定值．

19.解：
因为数列的前项分别为，
则，
所以的前项分别为
因为，即，
且，可知数列是以首项和公比均为的等比数列，
则，所以．
当为奇数时，；
当为偶数时，，可知数列为递增数列，
可知，
所以；
当时，；
当时，
当为奇数时，
，
令，
作差得
，
所以；
经检验也满足上式，所以；
当为偶数时，；
综上所述：．

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