2024-2025学年广西壮族自治区梧州市高二上学期1月期末抽样检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西壮族自治区梧州市高二上学期1月期末抽样检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
2.名毕业生分别从家公司中选择一家实习，不同选法的种数为( )
A. B. C. D.
3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.北京时间年月日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的名男生和名女生站成一排拍照留念，则名女生相邻的站法种数为( )
A. B. C. D.
6.已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为( )
A. B. C. D.
7.现有名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取名学生成绩查看，记这名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在一点，使得的内切圆的半径为，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知展开式的所有二项式系数之和为，若，则( )
A. B.
C. D.
10.已知随机事件的对立事件分别为，若，则( )
A.
B.
C. 若独立，则
D. 若互斥，则
11.如图，正方体的棱长为，，分别为棱上的点，且，平面与棱交于点，若点为正方体内部含边界的点，满足，则( )
A. 点的轨迹为四边形及其内部
B. 当时，点的轨迹长度为
C. 当时，
D. 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由数据可得关于的线性回归方程为，若，则 ．
13.已知随机变量，若，则 ．
14.已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于，两点，且，则直线的斜率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知方程：，
若方程表示圆，求实数的范围；
在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值．
16.本小题分
某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有人，统计发现，单次消费超过元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过元的占抽取总人数的．
单次消费超过元 单次消费不超过元 合计
女性
男性
合计
根据所给数据完成列联表，是否有的把握认为顾客单次消费是否超过元与性别有关联？
在“单次消费超过元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任选人参与问卷调查，记人中女性人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：其中．
参考数据：
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，
，，是的中点．
求证：平面平面
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球．从这两个袋子中选择个袋子，再从该袋子中随机摸出个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
求首次摸球就试验结束的概率；
在首次摸球摸出红球的条件下．
求选到的袋子为乙袋的概率；
将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且．
求的方程；
若点为直线上的一点，直线交于另外一点不同于点
记，的面积分别为，，且，求点的坐标；
若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1.
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4.
5.
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7.
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13.
14.
15.【小问详解】
若方程表示圆，
则，所以，
所以方程表示圆，实数的范围是；
【小问详解】
圆的方程可化为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
解得，满足，
所以．

16.【小问详解】
根据题意可知，男性顾客人，女性顾客人；
男性顾客单次消费不超过元的占抽取总人数的，即人，超过元的有人，
又单次消费超过元的占抽取总人数的，即共人，所以单次消费超过元的女性顾客为人；
可得如下列联表：
单次消费超过元 单次消费不超过元 合计
女性
男性
合计
零假设：顾客的单次消费是否超过元与性别无关联，
由列联表中的数据，计算得
故依据小概率值 的 独立性检验，能认为顾客单次消费是否超过元与性别有关联故有的把握认为顾客单次消费是否超过元与性别有关联
【小问详解】
在“单次消费超过元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取的人中，
女性有人，男性有人，
所以的可能取值为，
则．
，
故的分布列为
所以．

17.解：在四棱锥中，由，是的中点，得，
而，，，平面，则平面，
又平面，所以平面平面．
在直角梯形中，，，
又，，，平面，则平面，
又平面，于是，
由，得，则，即，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，则，
，
设是平面的法向量，
则，
令，得．
由知平面，即平面的一个法向量为，
因此，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
所以．
所以摸球一次就试验结束的概率为．
因为事件，是对立事件，
所以．
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为．
由可得，，
所以方案一、取到白球的概率为．
方案二、取到白球的概率为，
因为．
所以方案二取到白球的概率更大，即选择方案二使第二次摸球就试验结束的概率更大．

19.解：由题意知 ，
解得，，
所以的方程为；
由题意可知，，，设，
因为直线交于另外一点不同于点，所以，
又双曲线的渐近线为，
故，解得，
所以直线，
即，
由
消得，
所以，
解得，
所以，
因为，
，
又，所以，
解得或，
即点的坐标为或，
直线，即，
由
消得，
其中，即，
所以，
解得，
所以，
所以直线的斜率
，
所以直线的方程为
，
令，
得，
解得，
所以直线恒过定点，
又，即，
又点是的中点，所以，
所以是定值，且定值为．

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