2024-2025学年广东省汕尾市高二上学期教学质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕尾市高二上学期教学质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.圆和圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切
4.双曲线的一条渐近线为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则等于( )
A. B.
C. D.
6.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，，，，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为或”，记事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是( )
A. B. 事件与事件互斥
C. 事件与事件相互独立 D.
7.两位游客来到汕尾保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上点处，一人站在楼梯斜坡上点处，如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为，点在地面上的投影与点恰好在直线的两侧，点到直线的距离为，测得，点到直线的距离为，测得，且测得，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知，函数在上的最大值不超过，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，，，用表示，中的较大者，记为例如，则下列选项正确的是( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上不单调
10.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的中位数是
B. 从小到大顺序排列的数据，，，，，，其极差与平均数相等，则方差为
C. 数据，，，，的平均数为，数据，，，，的平均数为，则有
D. ，其中为平面上的一点，是平面外一点，则有
11.已知双曲线方程为，和分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线：和直线：相交于点，且恒有，，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 平面上存在定点，使得为定值
C. 的最大值为 D. 点到直线距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线与直线平行，则与之间的距离为 ．
13.在一家人工智能企业中，有一项重要的软件开发任务．甲、乙两位程序员独立地负责不同模块的开发工作．甲程序员技术扎实，在以往的项目中表现出色，他成功完成自己负责模块的概率为，乙程序员富有创新精神，善于解决复杂的技术问题，他成功完成自己负责模块的概率为，这个软件开发任务对于公司在人工智能领域的发展至关重要，只有当甲、乙程序员中的至少一人成功完成自己负责的模块，才能确保整个软件项目的顺利推进．那么，这个软件开发任务能够成功完成的概率为 ．
14.正方体的棱长为，是平面上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上．
分别求出直线的方程和线段的垂直平分线的方程；
求圆的标准方程．
16.本小题分
某校高一年级设有篮球训练课，期末对学生进行篮球四项指标往返运球上篮、一分钟投篮、四角移动、比赛考核，满分分．参加考核的学生有人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第百分位数；
为了提升同学们的篮球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法样本量按比例分配，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少一人来自的概率．
17.本小题分
函数，已知的图象上两相邻最高点的横坐标分别为和，点在图象上，且在中，角，，的对边分别为，，．
求与的值；
若，求周长的最大值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱含端点上一点．
若求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与轴的交点为，的面积为．
求动点的轨迹方程；
直线：与点的轨迹方程交于，两点，为坐标原点．试求当为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值．
参考答案
1.
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5.
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8.
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10.
11.
12.
13. 或
14.
15.解：
由题意得直线的斜率为，
直线的方程为，即，
又因为，两点的坐标为，，所以中点的坐标为，
因此，线段的垂直平分线的方程是，即．
由垂径定理可知，圆心在的垂直平分线上也在直线上，
联立，解得，所以圆心的坐标为，
圆的半径为，
所以，圆的标准方程为．

16.解：
由题意得：，解得，
因为，，
设第百分位数为，则，
解得，即第百分位数为．
由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，记为，
在的有人，记为．
则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：
，则，
设事件为“至少一人来自”，
则，则，
因此，
所以至少一人来自的概率为．

17.解：
．
由题意知，，因，则可得，
故，
由在的图象上，可得，故．
解法一由知，则，
即，因为，所以，
所以，解得，
由正弦定理，，
则得，，因，
则
．
因为，所以，
所以，即有，
从而，所以周长的最大值为．
解法二由知，所以，
即，因为，所以，
所以，即，
在中，由余弦定理，，
由知，即，
所以，
故，即，
当且仅当时，等号成立，
故，所以周长的最大值为．

18.证明：因为底面，底面，所以，
因为底面是正方形，所以，
平面
所以平面，
又因为平面，则有，
在中，，是的中点，故有，
因为，平面，所以平面，
平面，则，
又因为，，平面，且，
所以平面．
以向量，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，．
设平面的法向量，则即
令，得，所以平面的法向量，
设平面的法向量，则即
令，得，所以平面的法向量，
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
由知，，，，
，，，，
假设存在这样的点则有，
，
设平面的法向量，则即
令，得，，所以平面的 法向量，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，解得或，
因为，所以的值为或，
故有的值为或．

19.解：
因为的面积为，，
所以，有，
又因为到定直线的距离为，
由题意可知，，
又因为，
所以，则定直线为，
因为，所以，
化简，整理得，
所以动点的轨迹方程为：．
设，，联立得，
则，即．
则有，，
．
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又因为点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为．

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