2024-2025学年广东省广州市番禺区高二上学期教学质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市番禺区高二上学期教学质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
4.在四面体中，点在上，且，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为则下列各数中与最接近的是 参考数据：
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有个点到直线的距离为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在某校名学生中随机抽取了名学生对年奥运会期间场网球单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：
观看场次
观看人数占调查人数的百分比
从表中数据可以得出的正确结论为( )
A. 表中的数值为 B. 估计该校学生观看场次的第三四分位数为
C. 估计该校学生观看场次的平均数为 D. 估计该校学生观看场次不低于场的 人数为
10.过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、下列说法正确的是( )
A. 若，，则是边的中点
B. 若点到三条边的距离相等，则点是的内心
C. 若，，，则点是的垂心
D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心
11.若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则下列说法正确的是( )
A. B. 重心的横坐标的最小值为
C. D. 以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ．
13.空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ．
14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若过的 重心的直线与交于点，与夹角为，且，求．
16.本小题分
已知数列是公差大于的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，．
求数列，的通项公式．
若，求数列前项的和．
17.本小题分
阅读材料：函数知识有广泛的实际应用，如函数的凹凸性，可应用于风险评估、经济学模型构建及计算机科学等诸多领域．其中函数的凹凸性的定义如下．
定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凹函数．如图，在区间上，凹函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的下方．
定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的凸函数．如图，在区间上，凸函数的形状特征：曲线上任意两点，之间的部分位于线段的上方．

结合阅读材料回答下面的问题：
请写出一个上的凹函数不必说明理由；
用定义证明是上的凸函数；
讨论函数的凹凸性．
18.本小题分
如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，是的中点．
证明：平面平面；
求平面与平面所成角的余弦值；
是否存在点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知平面上两点，，定义它们之间的“距离”为若动点与两个定点，的“距离”之和为，则称动点的轨迹为．
求轨迹的方程；
求轨迹的面积；
若直线与轨迹的外接椭圆交于两点，动点满足，其中的坐标为，记直线的斜率为，证明：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 或
15.解：
因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，
且，则，可得，即，
又因为，所以．
取的中点，连接，
因为，，可知，则，
由题意可知：，
则，
在中，由正弦定理可得，
所以，即．

16.解：
设等差数列的公差为，
由成等比数列，则，
可得，
由，则方程化简可得，解得，易知，
所以首项为，公差为的等差数列的通项公式为．
当时，，则，解得；
当时，，
可得，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以．
由题意可得，
，
，
两式相减可得，
，
解得．

17.解：
例如，
对，则，
即满足，满足凹函数定义．
对于二次函数，
，则，
即，满足凸函数定义，所以二次函数是凸函数．
由可知二次函数为凹函数，由可知二次函数是上凸函数，
因为函数，其图象可以由两个二次函数的部分图象组成，
所以在内为凹函数，在内为凸函数．

18.解：
取的中点，连结，
由已知得，是边长为的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，
则，故，
故平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，
显然平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
所以，
故平面与平面所成角的余弦值；
由上可知，，
，，
假设存在点在线段上，设，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
可得或舍，所以，
，
所以存在点在线段上，且．

19.解：设，由“距离”公式可得：，，
由题意，，
故轨迹的方程为：；
由可得：，
当时，若，则；
若，则；
若，则．
即当时，
当时，由对称性可得：
其图象为：
由图可知：轨迹的面积为：；
由上图知，轨迹的外接椭圆的长半轴长为，且经过点，
设，将点代入，可得，解得
，故椭圆的方程为：，如图所示．
由消去，可得：，因恒成立，
设，则
因，则线段的中点为，即，又，
故线段的中垂线方程为：，
即，
同理，线段的中垂线方程为：，
由可知点为的外心，设，
则有，
，
故可把看成方程的两根，
则有
比较，可得，
化简得：，即，
因，故得．

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