2024-2025学年广东省六中，二中，省实，广雅，执信六校高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省六中，二中，省实，广雅，执信六校高二上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线，给定的四点，，，中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则母线与底面所成的角为( )
A. B. C. D.
7.函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为( )
A. B.
C. D.
8.已知成等差数列，过点作直线的垂线，垂足为，则点到点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组数据依次构成首项为正数，公比大于的等比数列，则( )
A. 是一个递增数列
B. 去掉数据，中位数不变
C. 中位数小于平均数
D. 若变为原来的倍，公比不变，则极差变为原来的倍
10.已知的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点两点点在第一象限，与抛物线的准线交于点，若，则( )
A. B. 为线段的中点
C. D.
11.三棱锥的各顶点均在半径为的球表面上，，，则( )
A. 有且仅有个点满足
B. 有且仅有个点满足与所成角为
C. 的最大值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知指数函数在定义域内为减函数，则实数的取值范围 ．
13.若数列满足，，则的最小值是 ．
14.正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，则正方形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三角形，，三角形的面积．
求角的值；
若，，求的值．
16.本小题分
如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，．
求证：
求证：平面；
求直线与平面所成角的正切值．
17.本小题分
已知椭圆．
若，求椭圆的离心率；
过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知两个等比数列满足：，，．
若，求的通项公式；
若，判断中是否存在三项成等差数列，并说明理由；
若满足条件的数列有且只有一个，求实数的值．
19.本小题分
已知在平面直角坐标系中．
若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径；
若，求的最小值；
判断以下两个命题的真假并说明理由．
命题：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似；
命题：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似．
参考答案
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14.或
15.解：
根据，有，即，
又因为，，即，
所以，所以，即，
因为，所以；
由，有，，
又因为，，则，
所以或，即或；
因为，，两值都符合题意，
当时，由正弦定理有，
即，，解得；
又因由可得，不合题意；
当时，由正弦定理有，
即，，解得．
由可得，不合题意．
综上：的值不存在．

16.解：
由多面体的定义知，四点共面，四点共面，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，且平面平面，所以．
取的中点，连接，则，
由知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，
得到，且，在中，，
又，得，所以，
在中，，，，所以，
所以，即，
又因为四边形是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面．
连接，与相交于点，则点是的中点，
取的中点，连接，，则，，
由知，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且，
由知平面，又平面，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面，故平面，
又平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，故是直线与平面所成的角，
在中，，所以直线与平面所成角的正切值为．

17.解：
若，即椭圆，
可得，，
所以椭圆的离心率．
设直线，
与椭圆方程联立可得，消去可得，
则，可得，
与双曲线方程联立可得，消去可得，
假设，即，由椭圆方程可知，
两者相矛盾，假设不成立，所以；
则，整理可得，
则，解得，
又因为，解得，
综上所述：实数的 取值范围．

18.解：
设数列的首项，公比为，依题意得，，，
，整理得，
把代入式得，解得或，
当时，，，
因为是等比数列，所以公比为，，
当时，，，
因为是等比数列，所以公比为，，
综上可得或；
把代入式得，解得或舍
假设中存在三项其中成等差数列，
因为，，所以是递增数列，从而，
，即，等式两边同时除以得，
因为，所以为偶数，奇数，矛盾，
所以中不存在三项成等差数列；
因为是等比数列，所以，对于式：
若，即舍去或，
此时，因此不合题意；
若，即或，
方程有两个不同的实数解，又数列唯一，因此有如下两种情形：
情形一：方程一个解为，从而，，；
情形二：方程两个解均不为，但其中一解使得，
此时代入方程，解得舍去，或者
此时方程可化简为：，
解得舍去，或者满足题意；
综上所述：或．

19.解：
圆内切于，所以，可得，
圆旁切于，设圆心，直线，所以，
左右平方化简得出，所以，所以；
方法一：设的旁切圆的圆心为，由可知，
因为，所以恒过点，点恒在圆外或圆上，所以，
即，解得或舍，所以的最小值为．
方法二：设，
因为，，可设，，
因为，则，，
，，
，
，解得或，
由知，，，舍去，
因此，即的最小值为．
命题正确，命题错误．
对于命题涉及三角形面积与内切圆半径联系起来，
记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为，
记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为，
，，又，
若即，
两圆心均在上，且直线为与的公切线，与相似此时，
设，则
得：，，
，代入得：
，，
，，
，，
同时除得，，
舍或，
，，因为，
的值由比值确定，但两个对应的三角形是相似的．
对于命题：点在椭圆上，焦点的周长，面积，
点在椭圆上，焦点的周长，面积，满足，
由焦半径公式计算得到，，
，，
与三边无论如何都不能成比例，所以与不相似．

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