2024-2025学年天津市四校联考高二上学期期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市四校联考高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的渐近线方程为且双曲线的右焦点为，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.设，已知直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足 则( )
A. B.
C. D.
5.抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若直线与圆交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，若则使不等式成立的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，是棱上的点，且，平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 棱台体积公式：
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，在以点为圆心，为半径的圆上存在点，使得直线的斜率为则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.等差数列中，若则的值为
11.已知圆直线过点，若直线与圆相切，则直线的方程为 ．
12.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，已知点，则的最小值为 ．
13.已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围
14.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为 ．
15.已知数列满足则数列的通项公式 ，若数列对任意的恒成立，则实数的最小值为
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知平分圆，且圆与轴相切于点．
求圆的方程；
已知直线与圆相交于，两点，求的面积．
17.本小题分
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近的三等分点．
证明：平面
求平面与平面夹角的余弦值
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，，为等差数列，，
求数列和的通项公式；
求数列的前项和；
，求数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆的右焦点，且椭圆过
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于，两点，连接并延长交椭圆于点，求面积最大值．
20.本小题分
已知数列为等差数列，数列为等比数列，且
求数列数列的通项公式；
设．
证明：当时，；
，求．
参考答案
1.
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15.

16.解：
设圆心坐标为，
由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，
可得，解得，即圆心坐标为，
由于圆与轴相切于点，则半径．
所以圆的方程为．
依题意，圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于两点，
所以弦长，
所以．

17.解：
因为平面，平面，且四边形为直角梯形，，
所以两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
则由题意可得，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，则
令可得平面的一个法向量，
因为不在平面内，所以平面．
由得，，
设平面的法向量，则
令可得平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
由得，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为．

18.解：
因为数列的前项和为，，，
则，解得，
所以当时，，，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，经检验当时成立；
因为为等差数列，且，，
所以公差，
所以，
综上，．
由得，
所以数列的前项和为
．
由得
所以，
令
，
，
则，
两式相减，得
，
所以，
所以．

19.解：
由于椭圆的焦点是，所以，因此有，
因为椭圆过，所以有，
解得；
由题意可知，若该直线存在斜率，斜率不为零，
所以设直线的方程为，
与椭圆的标准方程联立，得
因为，
所以设，，于是
，
由椭圆的对称轴性可知：是线段的中点，
到直线的距离为，所以到直线的距离为，
所以面积为
，当且仅当时，取等号，
即当且仅当时，面积的最大值为．

20.解：
设数列的公差为，数列的公差为，
，
，
，
，，
．
由题意
是以为首项，为公差的等差数列，
，
当时，
要证，即证：，
作差，，得证．
由知，，
，
，
又，
，
．

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