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二次函数全章单元复习
1.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
2.如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【总结】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
3.把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
4.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设，当取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时，取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【总结】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1无实数根
【答案】B
【分析】根据函数图象确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称轴得到b=2a，再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1即可判断D．
【详解】由函数图象知a<0， c>0，由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得b<0，故abc>0，选项A正确；
二次函数与x轴有两个交点，故 =，则选项B错误，
由图可知二次函数对称轴为x=-1，得b=2a，
根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1，0)，
代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a，
∴3a+c=0，选项C正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，n），
∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D正确；
故选：B．
【总结】此题考查抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键．
6.如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【总结】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
7.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴，
【知识点一 二次函数的图象和性质】
二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2、二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。
增
减
性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
3、二次函数的平移：
方法一：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
(1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）
(2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，（或）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3、c决定了抛物线与轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【知识点二 二次函数与一元二次方程】
1、二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根
当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
(1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;
(2)确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间;
(3) 列表,在(2)中的两数之间取值估计,并用计算器估算近似解,则近似解在对应y值正负交替的地方.
通过列表求近似根的具体过程:
在列表求近似根时,近似根就出现在对应的y值正负交替的位置,也就是对x取一系列值,看y对应的哪两个值,由负变成正或由正变成负,此时x的两个对应值之中必有个近似根,比如x由x1取到x2时,对应y的值出现y1＞0,y2＜0或y1＜0,y2＞0,那么x1,x2中必有一个是近
似根,比较|y1|与|y2|的大小,若|y1|>|y2|,则说明x2是近似根;反之,则说明x1是近似根.从图象上观察,(x,y)离x轴越近,y值越接近0,而y=0时x的值就是方程的确切根.
3、利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
(1)将一元二次不等式化为ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧,并计算b2-4ac的值；
(3)作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
(4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零,在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【知识点三 利用二次函数解决最大利润问题】
利用二次函数解决利润问题的一般过程可以概括为以下三步:
(1) 分析价格变化后的单件利润、销售量、总利润,找到它们随价格变化的规律;
(2) 列出总利润与实际价格之间的函数关系式;
(3)借助二次函数图象的性质得到二次函数的最值.
1.已知是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，再求出答案即可．
【详解】解：，是关于x的二次函数，
且，
，
故选：B．
2.已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由得二次函数与轴的交点为，由当时得，由得在第一象限，越大越小即可判断．
【详解】解：
令，则或
即二次函数与轴的交点为
当时，
，且在第一象限，越大越小
其图象大致如下：
该函数有最大值，无最小值．
故选：B．
3.函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论．
根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断．
【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限，
当时，即，，
当时，即，
则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为
A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
4.二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点，对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．
∴
∴
故①错误；
∵
∴
故③正确；
∵如图：
则图象过点，抛物线开口向下
把代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点，对称轴为直线
∴抛物线与轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当时，
故④正确的；
把代入，
得
∵
∴
∴
∵
∴
故⑤正确的
故选：B．
5.抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线与轴有交点，可得，可求或，对称轴为直线，当时，抛物线的对称轴在直线左侧，抛物线图象如图1，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，抛物线的对称轴在直线右侧，抛物线图象，如图2，当时，，计算求出满足要求的解，然后作答即可．
【详解】解：∵抛物线与轴有交点，
∴，
解得，或，
∴对称轴为直线，
当时，抛物线的对称轴在直线左侧，
∴在对称轴的右侧，抛物线图象如图1，
∴当时，，
解得，；
当时，抛物线的对称轴在直线右侧，
抛物线图象，如图2，
∴当时，，
解得，；
∴；
综上所述，或，
故选：B．
6.若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ．
【答案】或0
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，
∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；
①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，，
解得；
②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，，
∴，与轴有2个公共点，为或，
综上所述，b的值为或0，
故答案为：或0．
7.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是
【答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞
设f（x）=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜ ＜0，
∴a＜ ，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴ ＜a＜-2，
【方法总结】通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;反过来,也可以由函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
8.若二次函数有最小值，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数的定义，属于简单题，求出二次函数的顶点坐标是解题关键．根据二次函数定义求出k的值，再根据二次函数有最小值确定k的值即可．
【详解】解：∵二次函数有最小值，
∴
解得：．
故答案为：3．
9.二次函数在上有最小值，则的值为 ．
【答案】5或
【分析】本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在的左边，对称轴在到2的之间，对称轴在的右边，当对称轴在的左边和对称轴在的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的值，然后把此时的的值与代入二次函数解析式即可求出的值；当对称轴在到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到满足题意的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．
【详解】解：分三种情况：
当，即时，二次函数在上为增函数，
所以当时，有最小值为，把代入中解得：；
当，即时，二次函数在上为减函数，
所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去；
当，即时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去．
综上，的值为5或．
故答案为：5或
10.二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分两种情形：当，在对称轴的异侧，且时，当，在对称轴的异侧，时，分别利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：当，在对称轴的异侧，且时，
，，抛物线的对称轴为直线，
，，，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，即，
，
，
，
，
，
；
当，在对称轴的异侧，时，
，，，
，
，
函数的最大值为，最小值为，
，即，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的取值范围是，
故答案为：．
【总结】本题考查了二次函数的性质，轴对称，解不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想，分类思考问题．
11.已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ．
【答案】//
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：令，
∴，
∵抛物线与直线有两个不同的交点，
∴，
∴，
∵两个交点的横坐标是分别为、，
∴，，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12.为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：
①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤；
②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
(1)当时，写出与的关系式；
(2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值．
【答案】(1)
(2)当为第天时日销售额最大，最大为元
(3)元
【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系；
（2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论；
（3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解．
【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
∴当时，，
∴当时，写出与的关系式为：；
（2）由题意得，销售量为：，
当时，
，
∵，
∴当时，取最大值为：，
当时，
，
∵，
∴当时，取最大值为，
综上所述，当时，取最大值为，
答：当为第天时日销售额最大，最大为元；
（3）当时，
，
当时，取最大值为：，
∵，
∴时不可能获得较大利润．
当时，，
当时，取最大值为，得：，
当时，
解得：或，
∴当时，，
∴获得较大利润天数为天，
∴，
解得：，
∵为整数，
∴的最小值为元．
【总结】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
13.已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
【答案】(1)或
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；
（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解．
（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；
（3）当 时，一次函数为y= 二次函数为
①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解；
②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为
联立方程组
解得 或
∴交点坐标为或；
（2）由
得
∵两个函数图象没有交点，
∴
得
（3）当 时，一次函数为二次函数为
①∵轴
设 ，
∴当 时，
②设
∵轴，
∴当 时，
14.定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
(1)①点的“坐标差”为 ；
②抛物线的“特征值”为 ；
(2)某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式；
(3)二次函数的图像的顶点在“坐标差”为的一次函数的图像上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图像与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
【答案】(1)①；②；
(2)
(3)二次函数的解析式为或，“特征值”
均为
【分析】本题考查了二次函数的综合，“坐标差”，“特征值”的定义，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，理解题意．
（1）根据题中“坐标差”，“特征值”的定义求解即可；
（2）由得，进而得到，结合特征值的定义求出值，进而求出值，即可求解；
（3）先求出“坐标差”为的一次函数为，由二次函数的图像的顶点在直线上，可设二次函数的解析式为，分两种情况讨论：抛物线顶点在直线与的交点上时；抛物线右侧部分经过点时；分别把、代入，解得的值，即可求解．
【详解】（1）解：①点的“坐标差”为：；
② ，
抛物线的“特征值”为；
故答案为：①；②；
（2） ，
，
，
二次函数的“特征值”为，
，
，
，
，
二次函数的解析式为；
（3）“坐标差”为的一次函数为，
二次函数的图像的顶点在直线上，
设二次函数为，
二次函数的图像与矩形有三个交点，如图、，
抛物线顶点在直线与的交点上时如图，
在中，令，则，得交点为，
把代入，得，
解得：，舍去，
二次函数的解新式为，
，特征值是；
抛物线右侧部分经过点时如图，
把代入，得，
解得，舍去，
二次函数的解析或为，
，特征值是．
综上，二次函数的解析式为或，“特征值”均为．
15.教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
每天销售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可．
【详解】（1）解：设，
由题意得：当时，，当时，，
∴，
解之得，
∴；
（2）解：设每天利润为w元，由题意得
，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
（3）解：设表示扣除捐款后的日利润，
，
∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，
∴，
解得，
∵，
∴．
（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，
故选：D．
（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：
当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【总结】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
4.（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图形即可得到答案．
【详解】解：当时，，
整理得，
根据题意得，
∵二次函数经过点，
∴，
整理得，
解方程组得，
∴函数的解析式为：，
整理得：，
函数的图像如下：
∵时，时，解得或，当时，，
∴，
故选：B．
5.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】解：抛物线轴交于点，对称轴为直线，
与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，，
，
当时，，
，所以①正确；
抛物线与轴的交点在和之间，
，
，
，
，
，
，所以②正确；
由题意可得，方程的两个根为，，
，即，
，
，
，故③正确，
当，时，
方程没有实数根或有两个相等的实数根，所以④不正确，
综上所述，正确的结论有3个：①②③，
故答案为：①②③．
6.（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)当时，求点D的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得；
（2）过点作于点，先求出的长，从而可得点的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴，
如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为．
7.（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线L：经过，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线L的表达式；
(2)抛物线与抛物线L关于直线对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线为，再求出抛物线与抛物线L关于直线对称的解析式，设，则，，，由题意得到关于m的方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线L：经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线L的表达式为；
（2）解：存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形，理由如下：
∵，，
∴直线为，
∵点
∴点A关于直线的对称点为，
∵抛物线与抛物线L关于直线对称，
∴点、在抛物线的图象上，
设抛物线的解析式为，
把点代入得，，
解得，
∴抛物线与抛物线L关于直线对称的解析式，
设，则，
∵点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N．
∴，，
∵四边形为长宽之比是的矩形，
∴或，
整理得或，
解得，或，，
∵P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，
∴，
∴或，
即点P的横坐标为或．
【总结】本题考查二次函数图象与几何变换、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特性、轴对称的性质、正方形的性质，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．
1.下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解析】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2.若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【解析】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：A．
3.二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【答案】D
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
4.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可．
【详解】解：①由抛物线开口向上，则，
∵点B在和之间，
∴，
∴，①错误；
②∵，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线过，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
⑤∵图象与y轴的交点B在和之间，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确．
故选：C．
5.如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，由一次函数与二次函数图象相交于两点，得出函数与轴有两个交点，两个交点为，利用对称轴即可进行判断的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由一次函数与二次函数图象相交于两点的横坐标可得：
函数与轴有两个交点，两个交点为，
，
即，
，
，
，
故二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，只有A选项的图象符合条件，
故选：A．
63.在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，一次函数、二次函数图象交点与一元二次方程根的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定，的正负是解题的关键．
根据方程的两个根和，即转化为与函数图象交点问题，通过图象交点可得，即可确定函数在坐标系中的大致图象．
【详解】解：，是方程的两个根，
与函数图象两交点横坐标为，，
由图象可得：，
，，
故函数在坐标系中的图象经过第二、三、四象限，
故选：B．
7.已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为
【答案】0或1或2
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当时，原函数为一次函数，可求得与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当时，原函数为二次函数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为或，由此可得是正整数，则或．
【详解】解：当时，则，在中，当时，，即函数与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；
当时，则当时，有，
解得或，
∵函数与x轴的交点横坐标为正整数，
∴是正整数，
∴是正整数，
∴或；
综上所述，整数k的值为0或1或2，
故答案为：0或1或2．
8.（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，由二次函数图象与性质得到抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，求出到对称轴距离，比较距离大小即可得到函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：由可知，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，
抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，
点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；且，
，
故答案为：．
9.（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解．
【详解】解：令得，，
所以函数的图象与y轴的交点坐标为．
方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数的图象与直线有3个不同的交点．
如图所示，
当时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
10.（2024·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为
【答案】0或1或2
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当时，原函数为一次函数，可求得与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当时，原函数为二次函数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为或，由此可得是正整数，则或．
【详解】解：当时，则，在中，当时，，即函数与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；
当时，则当时，有，
解得或，
∵函数与x轴的交点横坐标为正整数，
∴是正整数，
∴是正整数，
∴或；
综上所述，整数k的值为0或1或2，
故答案为：0或1或2．
11.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．
（1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧，
∴点的坐标为，
将，代入．
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形．
理由如下：由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，
∴当时，，
∴点的坐标为，则，
∴
当时，则，过点作于点，如图．
则是等腰直角三角形，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得：，（舍），
当时，，
点的坐标为；
设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为．
将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，
则，可设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为．
∴，解得：或．
∴点的坐标为或．
综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．
12.（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于A，B两点，抛物线经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)当时，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；
（2）设点A关于y轴的对称点为，求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．
【详解】（1）解：令，得，则，
令，解得，则，
把，代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设点A关于y轴的对称点为，则．
∴．
直线交抛物线于P．
∴．
∵，
∴，
设直线的解析式为．
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
再令，
得．
解得（舍去）或．
∴点P的坐标是．
13.榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为．
（总利润=总销售额﹣总进价）
(1)直接写出t、p、q的值；
(2)分别求出与x的关系式；
(3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)与x的关系式为；与x的关系式为
(3)当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是
【分析】（1）由图象可知当售价为元时，销售量为，则，此时进价为，当总进价为元时，，即利润为0，此时进价=售价，进而可求值；
（2）待定系数法求一次函数、二次函数解析式即可；
（3）设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，依题意得，，根据二次函数的图象与性质，求解作答即可．
【详解】（1）解：∵当售价为元时，销售量为，
∴，
∴此时进价为（元），
∴；
当总进价为元时，，即利润为0，此时进价=售价，
∴；
（2）解：设，把，代入得，，
解得，，
∴；
设，把，代入得，，
解得，，
∴；
∴与x的关系式为；与x的关系式为；
（3）解：设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，
依题意得，，
∵，
∴当时，w有最大值，
∴当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是．
【总结】本题考查了一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握函数图象，二次函数的应用是解题的关键．
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二次函数全章单元复习
1.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小
3.把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1无实数根
6.如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
【知识点一 二次函数的图象和性质】
二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2、二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。
增
减
性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
3、二次函数的平移：
方法一：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
(1)沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）
(2)沿x轴平移：向左（右）平移个单位，（或）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3、c决定了抛物线与轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【知识点二 二次函数与一元二次方程】
1、二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0
a＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根
当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
(1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;
(2)确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间;
(3) 列表,在(2)中的两数之间取值估计,并用计算器估算近似解,则近似解在对应y值正负交替的地方.
通过列表求近似根的具体过程:
在列表求近似根时,近似根就出现在对应的y值正负交替的位置,也就是对x取一系列值,看y对应的哪两个值,由负变成正或由正变成负,此时x的两个对应值之中必有个近似根,比如x由x1取到x2时,对应y的值出现y1＞0,y2＜0或y1＜0,y2＞0,那么x1,x2中必有一个是近
似根,比较|y1|与|y2|的大小,若|y1|>|y2|,则说明x2是近似根;反之,则说明x1是近似根.从图象上观察,(x,y)离x轴越近,y值越接近0,而y=0时x的值就是方程的确切根.
3、利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
(1)将一元二次不等式化为ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧,并计算b2-4ac的值；
(3)作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
(4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零,在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【知识点三 利用二次函数解决最大利润问题】
利用二次函数解决利润问题的一般过程可以概括为以下三步:
(1) 分析价格变化后的单件利润、销售量、总利润,找到它们随价格变化的规律;
(2) 列出总利润与实际价格之间的函数关系式;
(3)借助二次函数图象的性质得到二次函数的最值.
1.已知是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
2.已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
3.函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4.二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5.抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
6.若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ．
7.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是
【方法总结】通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;反过来,也可以由函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
8.若二次函数有最小值，则 ．
9.二次函数在上有最小值，则的值为 ．
10.二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是 .
11.已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ．
12.为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：
①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤；
②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
(1)当时，写出与的关系式；
(2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值．
13.已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
14.定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
(1)①点的“坐标差”为 ；
②抛物线的“特征值”为 ；
(2)某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式；
(3)二次函数的图像的顶点在“坐标差”为的一次函数的图像上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图像与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
15.教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
每天销售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
6.（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)当时，求点D的坐标．
7.（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线L：经过，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线L的表达式；
(2)抛物线与抛物线L关于直线对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
1.下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
2.若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
3.二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
4.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
5.如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B． C． D．
6.在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
在坐标系中的图象经过第二、三、四象限，
故选：B．
7.已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为
8.（2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）．．
9.（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
10.（2024·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为
11.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
12.（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于A，B两点，抛物线经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)当时，求点P的坐标．
13.榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为．
（总利润=总销售额﹣总进价）
(1)直接写出t、p、q的值；
(2)分别求出与x的关系式；
(3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
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