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第2课时 三元一次方程组的应用
学习目标
1.应用三元一次方程组解决简单的实际问题.
2.在用三元一次方程组解决问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
自主探索
1.回顾:
(1)什么是三元一次方程组？
(2)解三元一次方程组的基本思路是什么？
2.《算学启蒙》是我国元代朱世杰的著作．书中有这样一个题：买2匹马、3头牛或4只羊，价钱分别都不满10000文（古时货币单位）．如果买2匹马加上1头牛，或者买3头牛加上1只羊，或者买4只羊加上1匹马，那么各自的价钱正好都是10000文．求马、牛、羊的单价．
思考：本题中有几个未知量？可以通过什么方法求解？
任务一 三元一次方程组的应用
活动1 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值．
思考 本题可以把哪些字母看作未知数？
问题1 分析已知条件，你能得到什么？
问题2 先消去哪个未知数？为什么？
问题3 选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
【即时测评】
已知代数式ax2+bx+c，当x=1和x=-3时，它的值都为5，当x=-1时，它的值为1.
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求代数式ax2+bx+c的值．
活动2 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的,如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
问题1 本题中有哪些未知量？能直接设这个三位数为x吗？
问题2 分别用x,y,z来表示这个三位数的百位数字，十位数字和个位数字，你能用代数式表示这个三位数吗？
问题3 题目中的相等关系有哪些？
问题4 根据相等关系列出方程组并求解.
【即时测评】
一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数．
当堂达标
1. 已知y=ax2+bx+c，当x=-2和x=1时，y的值都是-3，当x=3时，y=7，求a，b，c的值．
2.一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是多少？
3. 某中学七、八、九年级老师在植树节时去植树,七年级、八年级、九年级三个小组共植树50株,八年级组植树的株数是七年级、九年级两组的和的,七年级组植树的株数恰是八年级组与九年级组的和,问每组各植树多少株
参考答案
当堂达标
1.解：根据题意，得三元一次方程组
由①-②，得3a-3b=0，即a=b④，
由③-②，得8a+2b=10⑤，
由④和⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把代入②，得c=-5，所以
即a,b,c的值分别为1,1,-5.
2.解：设个位、十位、百位上的数字为x、y、z.
依题意得
解得
所以原来的三位数字是217．
3.解:设七年级组植树x株,八年级组植树y株,九年级组植树z株,
根据题意，得
解这个方程组,得
所以,七年级组植树25株,八年级组植树10株,九年级组植树15株.
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第2课时 三元一次方程组的应用
课标摘录 1.能针对具体问题列出方程. 2.能解简单的三元一次方程组.
教学目标 1.应用三元一次方程组解决简单的实际问题. 2.在用三元一次方程组解决问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
教学重难点 重点:应用三元一次方程组解决问题. 难点:根据方程组的特点,选择最合适的解法.
教学策略 教学中要让学生充分进行讨论交流,在自主探索和合作学习中突破难点.通过对问题的分析,把问题关键语句中蕴含的相等关系转化为三元一次方程组,使学生掌握列三元一次方程组解决问题的方法及一般步骤,提高学生运用方程组模型分析并解决实际问题能力,发展符号感.
情境导入 1.回顾: (1)什么是三元一次方程组 (2)解三元一次方程组的基本思路是什么 2.《算学启蒙》是我国元代朱世杰的著作.书中有这样一个题:买2匹马、3头牛或4只羊,价钱分别都不满10 000文(古时货币单位).如果买2匹马加上1头牛,或买3头牛加上1只羊,或买4只羊加上1匹马,那么各自的价钱正好都是10 000文.求马、牛、羊的单价. 思考:本题中有几个未知量 可以通过什么方法求解 设计意图:通过回顾旧知识,为本节课的学习做好准备,再通过一个古代数学的实际问题,激发学生的兴趣,让学生感受到在解决含有三个未知量的问题时,可以考虑用三元一次方程组求解.
新知初探 探究 三元一次方程组的应用 活动1 见教材P109例2或见课件、导学案. 思考:本题可以把哪些字母看作未知数 a,b,c 师生活动:教师引导学生分析解题思路,将a,b,c看作未知数,将x,y代入原式,列出方程组后交给学生求解.学生独立完成计算,选一名学生板书,教师巡视. 设计意图:考查学生分析数据的能力,初步发展待定系数的思想,加深对解简单的三元一次方程组方法的掌握,提高解题能力. 【即时测评】见课件、导学案. 活动2 见教材P110例3或课件、导学案. 问题1:本题中有哪些未知量 能直接设这个三位数为x吗
追问1:分别用x,y,z来表示这个三位数的百位数字、十位数字和个位数字,你能用代数式表示这个三位数吗 追问2:把个位上的数与百位上的数交换位置,你能用代数式表示交换后的新三位数吗 问题2:题目中的相等关系有哪些 问题3:根据相等关系列出方程组并求解. 师生活动:学生讨论、分析,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 探究 意图说明 运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.本环节回归用三元一次方程组解决实际应用问题,体现了数学来源于生活,又服务于生活,意在培养学生“用数学”的意识.要放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题,由学生自己完成,教师要发现学生的闪光点以及存在的问题并适时地加以辅导,以及学生在解答的过程中领会“加减、代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想. 【即时测评】见课件、导学案.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.谈谈本节课都有哪些收获 2.如何来解决此类问题 师生活动:学生在课堂上畅所欲言,并通过自己的归纳总结,进一步巩固所学知识,教师视其情况,可以结合问题情境对学生的总结从知识、方法和思想层面去总结和提高,让学生体会到数学与生活的联系,激发学生的学习热情. 设计意图:注重课堂小结,激发学生参与课堂总结的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 第2课时 三元一次方程组的应用 1.根据题意,列出三元一次方程组 2.解三元一次方程组 3.检验所求的解是否符合题意
教学反思
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第10章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法 第2课时三元一次方程组的应用
学习目标
1.应用三元一次方程组解决简单的实际问题.
2.在用三元一次方程组解决问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
思考：本题中有几个未知量？可以通过什么方法求解？
1.回顾:
(1)什么是三元一次方程组？
(2)解三元一次方程组的基本思路是什么？
2.《算学启蒙》是我国元代朱世杰的著作．书中有这样一个题：买2匹马、3头牛或4只羊，价钱分别都不满10000文（古时货币单位）．如果买2匹马加上1头牛，或者买3头牛加上1只羊，或者买4只羊加上1匹马，那么各自的价钱正好都是10000文．求马、牛、羊的单价．
新知初探
贰
新知初探
a,b,c
任务一 三元一次方程组的应用
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c的值．
例1
思考 本题可以把哪些字母看作未知数？
分析：
把a，b，c看成三个未知数，分别把已知的x，y值
代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
问题1 分析已知条件，你能得到什么？
问题2 先消去哪个未知数？为什么？
问题3 选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c = 0， ①
4a＋2b＋c = 3， ②
25a＋5b＋c = 60. ③
②－①， 得 a＋b = 1. ④
③－①， 得 4a＋b = 10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b = 1，
4a＋b = 10.
a = 3，
b = -2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a = 3，
b = -2
c = -5.
a = 3，
b = -2，
c = -5.
因此
消去a可以吗？如何操作？
可将②-①×4，得
即
再将③-①×25，得
即
④
⑤
消去b可以吗？如何操作？
可将 ①×2+②，得
即
再将 ①×5+③，得
即
④
⑤
即时测评
已知代数式ax2+bx+c，当x=1和x=-3时，它的值都为5，当x=-1时，它的值为1.
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求代数式ax2+bx+c的值．
解：（1）根据题意，得 解得
所以a，b，c的值分别是1,2,2.
（2）由（1）得ax2+bx+c=x2+2x+2，
把x=-2代入上式，得（-2）2-2×2+2=2，
所以当x=-2时，代数式ax2+bx+c的值是2．
把个位上的数与百位上的数交换位置，你能用代数式表示交换后的新三位数吗？
100z+10y+x
活动2 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 ,如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
问题1 本题中有哪些未知量？能直接设这个三位数为x吗？
问题2 分别用x,y,z来表示这个三位数的百位数字，十位数字和个位数字，你能用代数式表示这个三位数吗？
100x+10y+z
问题3 题目中的相等关系有哪些？
百位数字+十位数字+个位数字=14;
百位数字×2-十位数字=个位数字× ;
新三位数+99=原三位数.
问题4 根据相等关系列出方程组并求解.
x+y+z=14.
2x-y= z.
100z+10y+x+99=100x+10y+z
解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y,个位上的数为z.
根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此这个三位数是473.
即时测评
一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数．
解：这个三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z.
根据题意，得 解这个方程组，得
答：这个三位数是275．
当堂达标
叁
当堂达标
1. 已知y=ax2+bx+c，当x=-2和x=1时，y的值都是-3，当x=3时，y=7，求a，b，c的值．
解：根据题意，得三元一次方程组
由①-②，得3a-3b=0，即a=b④，
由③-②，得8a+2b=10⑤，
由④和⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入②，得c=-5，
所以
即a,b,c的值分别为1,1,-5.
2.一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是多少？
解：设个位、十位、百位上的数字为x、y、z.
依题意得
解得
所以原来的三位数字是217．
3. 某中学七、八、九年级老师在植树节时去植树,七年级、八年级、九年级三个小组共植树50株,八年级组植树的株数是七年级、九年级两组的和的 ,七年级组植树的株数恰是八年级组与九年级组的和,问每组各植树多少株
解:设七年级组植树x株,八年级组植树y株,九年级组植树z株,
根据题意，得
解这个方程组,得
所以,七年级组植树25株,八年级组植树10株,九年级组植树15株.
课堂小结
肆
课堂小结
1.谈谈本节课都有哪些收获？
2.如何来解决此类问题
课后作业
基础题：1.课后习题 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
谢(共9张PPT)
第2课时 三元一次方程组的应用
预习导学
课堂互动
基础题
预习导学
解三元一次方程组的实际问题思路
课堂互动
知识点 三元一次方程组的应用
例题 某汽车公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共36吨到外地销售(每辆汽车按规定满载,且每辆汽车只能装同一种蔬菜,每种蔬菜不少于1车),相关数据如下表,应该如何安排,可使公司获得利润18 300元
蔬菜种类 甲 乙 丙
每辆汽车能装的质量/吨 2 1 1.5
每吨蔬菜可获得的利润/元 500 700 400
基础题
D
2.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,购买铅笔3支、练习本
7本、圆珠笔1支共需6元;购买铅笔4支、练习本8本、圆珠笔 2支共需8元.那么购买铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 元.
3.电影票有20元、30元、40元三种票价,于班长恰好用1 000元钱买了30张电影票,则票价为40元的电影票比票价为20元的电影票多
张.
2
10
4.一个三位数,如果把它的个位数字与百位数字交换位置,那么所得的新数比原数小99,且各位数字之和为14,十位数字是个位数字与百位数字之和.求这个三位数.
②-③,得y=14-y,∴y=7.
由①,得x-z=1,⑤
将y=7代入③,得x+z=7,⑥
⑤+⑥,得2x=8,
∴x=4,∴z=3.
∴这个三位数是473.
