2025年福建厦门中考数学九年级下学期综合训练（一）（含答案）

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2025年中考九年级下春季综合训练（一）
基础综合题目+几何综合+二次函数综合+胡不归
（建议练习时间：120分钟 满分150分+附加题1道）
综合难度系数：☆☆☆☆
一、选择题：共12题，每小题4分，合计48分。
1. ☆有理数-3.2的相反数为（ ）
A. 2.3 B. 1/3.2 C. 3.2 D. -2.3
2. ☆如图所示的正六棱柱的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3. ☆☆☆△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
（解题要点：判断全等，周长线段重新组合）
4.☆ 观察下列四个图形，中心对称图形是（　　）
A． B． C． D．
5.☆ 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6. ☆☆如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
B. 1 C. 2 D. 3
(解题要点：数轴上实数的几何意义)
7. ☆下列计算正确的是（　　）
A．b2 b3＝b6 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2 a＝a6
8. ☆☆随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（　　）
A． B．
C． D．
9. ☆☆☆二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（　　）
A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2
C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定
（解题要点：开口方向，中点坐标公式，函数值与横坐标离对称轴的距离关系，数形结合）
10．☆☆☆☆（2022 广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
B． C． D．
（解题要点：格点题目基本解题路，点的转换）
11．☆☆☆（2022 泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
（解题要点：平分规则几何图形面积的关键点）
12．☆☆☆（2022 宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（　　）
B． C． D．
（解题要点：一线三垂直模型+相似）
二、填空题：共6题，每小题4分，合计24分。
13. ☆计算：__________.
14. ☆☆某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是　 　．
15. ☆☆☆如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　．（解题要点：圆锥的展开前后的线段关系）
16. ☆我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣1℃，则这天的日温差是　　℃．
17. ☆如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　　．
18. ☆☆在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为_______.
（解题要点：数形结合，反比例函数k的意义）
三、解答题：
19. ☆☆☆（8分）求代数式（x﹣1）的值，其中x1．
20. ☆☆（8分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
21. ☆☆☆（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若，AC＝2，求CD的长．
22. ☆☆☆（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
23. （14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）☆☆求证：CFAD；
（2）☆☆☆☆如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）☆☆☆☆在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
（解题要点：第2问：利用45度构造等腰直角三角形，相等角的正切值相等。第3问：费马点基本解题思路。）
24.（14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．
（1）☆求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）☆☆☆如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）☆☆☆☆如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
（解题要点：第2问：设点坐标构建新的二次函数。第3问：垂直平分线的性质，特殊斜率直线与x轴y轴形成特殊角，数形结合）
25．（14分）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．
（1）☆☆求的值；
（2）☆☆☆☆连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
（3）☆☆☆☆求的最小值．
（解题要点：第2问：利用特殊角度求得线段长度，根据比例关系构建等式关系。第3问：胡不归基本解题思路。）
26．（附加题）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，与ｙ轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）☆若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）☆☆☆☆☆若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；
（3）☆☆☆☆在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少．
（解题要点：第2问：根据相似性质，构建p点所在直线，并求出解析式，注意分类讨论情况。第3问：胡不归问题基本解题思路。）
答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A C D C B B B B D C
填空题
答案8 14.答案：1/6（树状图法即可）
15.答案：8/3（根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可）
16.答案：5
17.答案：144°(根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答)
18.答案：0
关于x轴对称的点的坐标特点、双曲线上点的坐标与k的关系.
∵A、B两点关于x轴对称，
∴B点的坐标为.
又∵A、B两点分别在又曲线和上；
∴.
∴；故填0.
答案：
﹣2．（先化简，后代入计算即可）
答案
（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．
【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
答案
（1）连接OC，根据切线的性质，判断出AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得AC平分∠DAB；
（2）如图2，连接BC，设AD＝2x，AB＝3x，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4．
∵OA＝OC，∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图2，
连接BC，
∵，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，
∴，∴，
∴x＝2（负值舍去），
∴AD＝4，
∴CD2．
22.答案
（1）120；（2）2.4千元；（3）可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫，理由详见解析
【解析】（1）用2000乘以样本中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可；
（2）利用加权平均数进行计算；
（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可.
解：（1）依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户数为．
（2）依题意，可估计该地区尚未脱贫家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为
（千元）．
（3）依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入（元） 500 300 150 200 300 450
月份 7 8 9 10 11 12
人均月纯收入（元） 620 790 960 1130 1300 1470
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于
．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
23.答案
（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设CD＝a，可得BD＝2a，BC＝3a，AB＝ACa，由全等三角形的性质可得BD＝CE＝2a，由锐角三角函数可求GH＝2CH，可求CH＝a，可求BG的长，即可求AGaCDBC；
（3）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，可得当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，由旋转的性质可得△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，可得∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，由直角三角形的性质可求解．
证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，DEAD，
又∵AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∵点F是DE的中点，
∴CFDEAD；
（2）AGBC，
理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵BD＝2CD，
∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝ACa，
由（1）可知：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2a，
∵CF＝DF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴tan∠FDC＝tan∠FCD，
∴2，
∴GH＝2CH，
∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BGH＝45°，
∴BH＝GH，
∴BGBH
∵BH+CH＝BC＝3a，
∴CH＝a，BH＝GH＝2a，
∴BG＝2a，
∴AG＝BG﹣ABaCDBC；
（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，
此时，如图3﹣2，连接MC，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，
∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，
∴BDPD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∴PD＝PD+AP，
∴PDm，
∴BDPDm，
由（1）可知：CE＝BDm．
答案
（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)
【解析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），
∴
解得a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．
∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，
∴C（0，6），∴OC＝6．
∵A（6，0），
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，
把A（6，0），C（0，6）代入得
解得k＝－1，d＝6，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．
设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），
∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．
∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）．
（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为．
∵点N在抛物线上，
∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，
∴点N坐标为（，）或（，）．
【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．
答案
（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题；
（3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可．
【详解】（1）在中，令，则，
点的坐标为，
，，
，
把代入中得：，
解得：；
（2）由（1）得一次函数为，，，
，，，
，
的面积与四边形的面积之比为，
的面积与四边形的面积之比为，
，
设点的横坐标为，则，
解得：，
把代入中得：，
；
（3）
如图所示，过点作轴交于点，
，
，
，
作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
当、、在同一直线时最小，
即的最小值为，
，
，，，
在中，，
，
在中．，
的最小值为．
附加题答案
（1）；（2）或；（3）F．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，
∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=
∴A（-2，0），B（4，0）
∵点B在直线上，∴，即
∴直线的解析式为
∵点D在直线上，且横坐标为-5，∴纵坐标为
∵点D在抛物线上，∴，解得
∴抛物线的函数表达式为
（2）易得，点C的坐标为，则
设点P的坐标为，
分两种情况：
①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC，
∴由∠PAB=∠ABC 得，即
∴，解得
此时点P的坐标为，，
∴由得，解得
②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC，
∴由∠PAB=∠BAC 得，即
∴，解得
此时点P的坐标为，，
∴由得，解得
（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求
∵直线BD的解析式为，∴∠FBA=∠FGD=30°
∵AB=6，∴AF=
∴点F的坐标为