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专题 二次函数中三角形存在性问题
解题方法：
几何法：1）“两圆一线”作出点；
2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长；
3)分类讨论，求出点P的坐标.
代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P；
2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP；
3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；
4）列出方程求解．
1.已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)最大值为
(3)存在，或或或或
【分析】（1）分别令、计算即可得解；
（2）求出直线的解析式为：，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则，求出，再由并结合二次函数的性质即可得解；
（3）设，则，，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：令，
解得：，，
点在点左侧，
，，
当时，，
；
（2）解：设直线的解析式为，
，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过点作轴，交于点，
设点的坐标为，则，
，
，
当时，的面积最大，最大值为；
（3）解：点在抛物线对称轴上，且对称轴为：，
设，则，，，
是等腰三角形，需分3种情况讨论：
①当时，，解得：，
此时点的坐标为或；
②当时，，解得：，
此时点的坐标为或；
③当时，，解得：，
此时点的坐标为．
综上所述，满足条件的点有5个，分别为或或或或．
【总结】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
2.综合与实践：如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；
(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）
(2)t的值为，和
(3)存在，1或4
【分析】（1）令y＝0，求出方程0x2x﹣3，可得点A（﹣1，0），点B（4，0），再令x＝0，可得点C（0，﹣3），即可求解；
（2）根据勾股定理可得 ，然后分三种情况：当BD＝BE时，当BE＝DE时，当BD＝DE时，即可求解；
（3）过点E作EH⊥BD于H，根据锐角三角函数可得HEt，然后分两种情况：当S△BDES△BOC时，当S△BDES△BOC时，即可求解．
【详解】（1）解：令y＝0，可得0x2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A（﹣1，0），点B（4，0），
可得y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）；
（2）解：∵点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣3），
∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，
∴ ，
当BD＝BE时，则5﹣t＝t，
∴t；
当BE＝DE时，如图1，过点E作EH⊥BD于H，
∴DH＝BHBD，
∵cos∠DBC，
∴，
∴t；
当BD＝DE时，如图2，过点D作DF⊥BE于F，
∴EF＝BFBEt，
∵cos∠DBC，
∴，
∴t，
综上所述：t的值为，和；
（3）解：∵S△BOCBO×CO＝6，
∴S△BOC，S△BOC，
如图1，过点E作EH⊥BD于H，
∵sin∠DBC，
∴，
∴HEt，
当S△BDES△BOC时，则（5﹣t）t，
∴t1＝1，t2＝4，
当S△BDES△BOC时，则（5﹣t）t，
∴t2﹣5t+16＝0，
∴方程无解，
综上所述：t的值为1或4．
【总结】本题主要考查了二次函数与特殊三角形的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
3.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)用含t的代数式分别表示和的长；
(3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标；
（2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长；
（3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．
【详解】（1）解：在直线中，
令得，
解得：
令得，
∴，
（2）解：由（1）可知，
，
运动时间为秒，
轴，
在中，，，
在中，，，
，
；
（3）解：存在．
轴，
，
点不能在抛物线的对称轴上，
，
当为直角三角形时，则有，
又，
，
，，
，且
，
解得：
即当的值为秒时，为直角三角形，
此时
∴
∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，
把点坐标代入得：
解得：，
∴抛物线的解析式为，
即．
【总结】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键．
4.（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，点在抛物线上
(3)存在，点的坐标为：或
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．
（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可；
（2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上；
（3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：由题意得：，
当时，，
故点在抛物线上．
（3）解：存在，理由如下：
①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∴，，
∴点，
当时，，即点在抛物线上，
∴点即为点；
②当为直角时，如图2，
同理可得：，
∴，，
∴点，
当时，，
∴点在抛物线上，
∴点即为点；
③当为直角时，如图3，
设点，
同理可得：，
∴且，解得：且，
∴点，
当时，，
即点不在抛物线上；
综上，点的坐标为：或．
5.（2024·内蒙古包头·模拟预测）抛物线交轴于、两点，交轴于点，点为线段下方抛物线上一动点，连接，．
(1)求抛物线解析式；
(2)在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，最大面积为，点的坐标为
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）过点作轴，交于，先求出抛物线与轴的交点的坐标是,待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，得出点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积公式和二次函数的最值即可求解；
（3）当时，，过点作，交于点，过点作，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，根据锐角三角函数求的，，，得出点的坐标，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等得出，根据中点坐标的特征求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程解求出直线与抛物线的交点坐标；当时，，过点作，根据抛物线的对称性求出点的坐标为；当时，，作轴于点N，作于点，作交延长线于点，设，则，根据相似三角形判定与性质表示出，代入抛物线表达式求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、两点，
故将、代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：．
（2）解：存在，
理由如下：过点作轴，交于，如图：
当时，，即抛物线与轴的交点的坐标是,
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点的横坐标为，
则点的坐标为，点的坐标为，
故，
∴的面积为，
∴当时，的面积存在最大值，最大值为，
此时点的坐标为．
（3）解：点的坐标为或或．
理由如下：如图，当时，此时，过点作，交于点，过点作；
∵，，
∴，，
故，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设点的坐标为，
则，，
∴，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将与联立方程可得：，
解得：（舍），，
∴点的坐标为；
如图，过点作，则，此时，
∵抛物线交轴于、两点，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
故点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为；
如图，作的垂线，交抛物线于点，且满足，此时，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
作轴于点N，作于点，作交延长线于点，
则，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
将代入抛物线表达式可得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴点的坐标为；
综上可得，点的坐标为或或．
【总结】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求二次函数的最值，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，求一次函数与二次函数图象的交点坐标等，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6.（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【总结】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【总结】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
1.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)的坐标为或
(3)的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【总结】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
2.如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标；
(2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为；
(2)m的值为或5或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标；
（2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线，
∴，
∴的顶点E的坐标为，
对于，令，则，
∴与y轴交于点C的坐标为，
即，，其中，
∴，
，
，
当时，则，
解得（舍去）或，此时，，符合题意；
当时，则，
此时，，符合题意；
当时，
则，解得，此时，，符合题意；
综上，m的值为或5或．
3.如图，抛物线经过，两点，与轴交点为，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限抛物线上，连接，，求点的坐标；
(3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，，同时出发，运动时间为秒，，连接，，当为等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)点的坐标是
(3)秒或秒或秒或秒
【分析】（1）分别将点，的坐标代入抛物线得到关于，的二元一次方程，求解即可；
（2）作的平分线交轴于，过作轴交于，求出，直线解析式为，设，由平分，可得，，故，即可求出，直线解析式为，根据，有，确定直线解析式为，最后联立，求解即可；
（3）过作轴于，由，可得，，故，，，分三种情况：①当时，；②当时，
；③当时，，分别解方程可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，作的平分线交轴于，过作轴交于，
∵抛物线与轴交点为，
当时，得，
∴，
设直线解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（此时在轴左侧，不符合题意，舍去），
∴，
设直线解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为 ，
∵，
∴，
设直线解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（3）如图，过作轴于，
∵，，
∴，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：（舍去）或；
③当时，，
解得：或；
综上所述，的值为秒或秒或秒或秒．
【总结】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，平行线的判定和性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，两点间的距离，相似三角形判定与性质等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【总结】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
5.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点的坐标为
(3)存在，满足条件的点的坐标为或或或
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，将、代入得，解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在，
当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示：
设，
、
，
当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或，
、；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【总结】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
6．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积 ，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
7.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．
(1)如图1，求的值及直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)点坐标为或
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案；
（2）证明，得到，即可求解；
（3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，
把代入得，即抛物线的解析式为；
抛物线与轴交于点（点在点左侧），，
当时，，解得或
，
直线过、，
设直线 ，
将、代入得：，解得：，
直线的解析式为；
（2）解：分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，如图所示：
设点，，则，
当时，，
，，
，
，
，
，则，
，解得，，
点坐标为或；
（3）解：存在，
理由如下：
由题意得，点；由点、、的坐标得，，，
∴
则，则，，，
当点在轴时，如图所示：
以、、为顶点的三角形与相似，
当时，则，得，则点；
当时，此时，点、重合且符合题意，故点；
当点在轴上时，只有，则，则点，
综上，点的坐标为或或．
【总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键．
8.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值；
(3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的长的最大值为4
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）分两种情况：①当△时，②当时，分别求解即可．
【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
，，
抛物线经过A、B两点．
，
解得，
；
（2）设，
作x轴，与直线交于点C，
，解得，
，
当时，的长的最大值为4；
（3）设，
，，
，
分两种情况：
①当时，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
或3（舍去），
，
，，
设直线的解析式为，
解得，
直线PQ的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点P的坐标为；
②当时，过点Q作于H，
，
，，
，
，
，
∴，
∴，
设，则，，
，解得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
同理得直线的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【总结】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解．
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专题 二次函数中三角形存在性问题
解题方法：
几何法：1）“两圆一线”作出点；
2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长；
3)分类讨论，求出点P的坐标.
代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P；
2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP；
3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；
4）列出方程求解．
1.已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.综合与实践：如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求t为何值时，△BDE是等腰三角形；
(3)在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将△BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
3.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)用含t的代数式分别表示和的长；
(3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
4.（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5.（2024·内蒙古包头·模拟预测）抛物线交轴于、两点，交轴于点，点为线段下方抛物线上一动点，连接，．
(1)求抛物线解析式；
(2)在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标．
6.（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
1.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标；
(2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线经过，两点，与轴交点为，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限抛物线上，连接，，求点的坐标；
(3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，，同时出发，运动时间为秒，，连接，，当为等腰三角形时，直接写出的值．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
5.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．
(1)如图1，求的值及直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
8.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值；
(3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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