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专题二次函数中角度问题
角度存在性问题的解题步骤
已知特殊角度求解 已知角度关系求解
第一步 读题、画图、理解题意
第二步 分析动点、定点，找不变特征
第三步 确定分类特征，进行分类讨论
第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.
【方法提示】
1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角);
2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;
3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:
1.如图，已知抛物线的图象经过点D，，C是的中点，P是拋物线上的一个动点，连接，设点P的横坐标为n．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值；
(3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据，，求出． 再根据是的中点，求出，用待定系数法求解即可；
（2）过作x轴垂线交于，求出设直线解析式，由， 得，表示出，再根据表示出四边形面积，根据二次函数最值求解即可；
（3）分为①当点Q在y轴上时，使，根据，求出，过点D作轴交y轴于点H，根据平行线性质得出，再根据，得出，得出，根据，求出，即可求出点Q的坐标；
②当点Q在x轴上时，使， 延长交x轴于点F，过点D作轴交x轴于点G，证明，求出，再根据，证明，根据相似三角形的性质求出，从而求出，即可求出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵在的图象上，
，
得，
．
（2）过作x轴垂线交于，
设直线，即，
解得：，
故解析式为：，
由， 得，
，
，
当四边形面积最大时，．
（3）解：①当点Q在y轴上时，使，
∵，
即，
∴，
∴，
过点D作轴交y轴于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据（1）得，
∴，
∴点Q的坐标为；
②当点Q在x轴上时，使，
延长交x轴于点F，过点D作轴交x轴于点G，
则，
则 ，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
∴点的坐标为，
综上，或．
【总结】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数解析式求解，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确理解题意，数形结合．
2.已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，，代入函数解析式得：
∴，解得：；
∴；
（2）∵，，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为；
（3）存在：
令，
解得：，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
【总结】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)面积的最大值为，；
(3)或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即，取最大值，此时的面积最大，据此即可求解；
（）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由可得，，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
当时，即，取最大值，此时的面积最大，
；
（3）解：存在．
当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点，
∵与关于轴对称，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
同理可得直线解析式为，
设直线解析式为，将代入得，，
∴，
∴，
由，
解得或，
∴；
当点在下方时， 作点，直线与抛物线交于点，
∵，，
同理可得直线解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
解得或，
∴；
综上，点的坐标为或．
1.如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，，
(2)或或
(3)
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【总结】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2.综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线．
(1)求点B的坐标及直线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得 若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点B的坐标是，直线BC的表达式是；
(2)点的坐标是或；
(3)存在，点的坐标是或．
【分析】（1）令和，解方程即可求得点B和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）作轴，垂足为，交直线于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解．
【详解】（1）解：令，解方程得或，
∴点B的坐标为；
令，则，
∴点C的坐标为；
设直线的表达式为，则，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：作轴，垂足为，交直线于点，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴或，
当时，以为边作等边，直线交抛物线于点，此时，如图，
作轴于点，
在中，，，
∴，
∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，联立，
解得或（舍去），
∴点的坐标是；
当时，设交轴于点，此时，如图，
在中，，，
∴，
∴点的坐标为，
同理，求得直线的表达式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点的坐标是；
综上，点的坐标是或．
【总结】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想．
3.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解．
（3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：由，当时，，
解得：，
∴，
当时，，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴，交于点，
∵，
∴
∵
∴，则
设，则即，
将点代入
即
解得：或（舍去）
当时，，
∴；
（3）∵，，
则，是等腰直角三角形，
∴，由（2）可得，
∵
∴，
由（2）可得，
设直线的解析式为，则
解得：
∴直线的解析式为
如图所示，以为对角线作正方形，则，
∵，则，则，，
设，则，
解得：，，
则，，
设直线的解析式为，直线的解析式为
则，，
解得：，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴解得：，则，
解得：,则，
综上所述，或．
【总结】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4.已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或一或或
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据 的周长等于以及为定长，得到当的值最小时， 的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：得到当三点共线时,，进而求出点坐标，即可得解；
（3）求出点坐标为,进而得到得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）∵抛物线 与轴相交于点
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）在 当时, ，
∴,
∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
的周长等于，为定长,
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
，
，
∴当三点共线时, 的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为
当 时,，
，
∴，
，
；
（3）当点在点下方时：
过点作, 交抛物线于点, 则此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则: 解得：，
或；
②当点在点上方时：设与轴交于点,
，
设,
，
解得：
，
同理可得DE的解析式为 ，
联立
解得： 或
或 ；
综上：或一或或
【总结】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题.
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专题 二次函数中角度问题
角度存在性问题的解题步骤
已知特殊角度求解 已知角度关系求解
第一步 读题、画图、理解题意
第二步 分析动点、定点，找不变特征
第三步 确定分类特征，进行分类讨论
第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.
【方法提示】
1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角);
2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;
3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:
1.如图，已知抛物线的图象经过点D，，C是的中点，P是拋物线上的一个动点，连接，设点P的横坐标为n．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值；
(3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线．
(1)求点B的坐标及直线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得 若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4.已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标．
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