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二次函数中特殊平行四边形存在性问题
类型一三定一动
类型二：两定一动
【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.
另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想.
1.如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)点P的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先根据抛物线的解析式求得顶点坐标，设直线的解析式为，待定系数法求出解析式，得到，根据的面积为求解即可；
（3）根据题意分三种情况讨论，①当，时，②当，时，③当，时，作于点，结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题知，抛物线过点，，
，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解： ，D为抛物线的顶点，
，
设直线的解析式为，
抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），
又抛物线对称轴为，
，
将代入中，有，解得，
直线的解析式为，
作轴，交于点，连接，，
有，
，
的面积为：；
（3）解：存在，
①当，时，
，
的坐标为；
②当，时，
，
的坐标为；
③当，时，作于点，
有，，
，
，，
，
的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【总结】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
2.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．
【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，
当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴；
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴；
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：直线，
设，，
∵，
则，
，
，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，
∴，
解得：，
∴或
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
∴，
解得：，
∴
当时，
∴，
解得：，
∴
以为对角线时，则，如图2，
∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当以为对角线时，则，如图3，
∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
∴，
解得：
∴，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或
【总结】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
3.如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．
【答案】(1)
(2)9
(3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或
(4)证明过程见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
（3）当为矩形的边时，画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果；当为对角线时，画出相应的图形，求出结果即可；
（4）利用配方法求得抛物线的顶点坐标、对称轴，再利用待定系数法求得直线、的解析式，进而求得点I、G的坐标，利用点的坐标表示出线段、的长度，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点P作于点E，如图，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此时点Q的坐标为：．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或；
（4）证明：∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线，
设，直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴点D是线段的中点．
【总结】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
4.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）把，代入中求解，得出抛物线的函数表达式即可；
（2）连接、、、，过点作于点，利用点的坐标得出出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
（3）当为矩形的边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出点的坐标；当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，证明，得出，设，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，则或，求解并取舍，求出、，即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，连接、、、，过点作于点，
∵点的坐标为，
∴，，
∵时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
；
（3）解：存在，
如图，当为边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，，动点在直线上方，
∴，，或，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
，
分解因式得：，
∴或，
解得：（舍去），（舍去），，
∴，，
∴此时点的坐标为．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【总结】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键．
5.综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；
(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解；
（2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解；
（3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）抛物线经过点，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点，
连接交直线于点，
设直线的表达式为
把，代入
得
解得
直线的表达式为：，
当时，，
即点，
则，
则四边形的面积
；
（3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线，
设点F的坐标为，
①当为边，为对角线时，，
，
，
解得，
点F的坐标为或；
②当为边，为对角线时，，
，
，
解得，
点F的坐标为或，
综上所述，点F的坐标为或或或．
【总结】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为；
(2)的坐标为)或 或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由（）得，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，然后分当为菱形的边时，则或，当为菱形的对角线时，，两种情况即可；
本题主要考查了二次函数、菱形的性质和勾股定理，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
∴点，则，
∴，
∴点，
∵抛物线过点和点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由（）得
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，，，如图，
当为菱形的边时，则或，
∴或，即或（无解），
解得，
∴点的坐标为)或 ；
当为菱形的对角线时，则，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为，
综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或．
8.如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)满足条件的E、F两点存在，，，
(3)当时，的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则 ，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）满足条件的、两点存在，，，
解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.
过点作轴于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，
过点作轴于点，过点作于点
∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
当时，，此时点在点右侧故舍去；
当时，.
综上所述：，，
（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线
当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴
在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点
∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当时，的最大值为．
【总结】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
1.．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．
①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；
②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或
(3)①见解析；②点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，，，点D的坐标为，分当、、为对角线，三种情况讨论，利用中点坐标公式求解即可；
（3）①只要利用等边对等角证明，即可得到四边形为菱形；
②先求得直线解析式，设，则，求得，，分和，两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把代入得，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或．
在中，
令，得：，
解得：，，
∴，，
令得，
∴，
存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设点D的坐标为，
如图，分情况讨论：
①当为对角线时，，，
解得：，，
∴；
②当为对角线时，，，
解得：，，
∴；
③当为对角线时，，，
解得：，，
∴；
综上所述，平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或；
（3）解：①证明：∵沿对折，P的对应为点N，
∴，，，
∵垂直于x轴在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
②设直线解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：，
设，则，
∴，
∵，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
要使和相似，共有两种可能：
1）当，
∴，即，
解得：，（不合，舍去）；
∴；
2）当，
∴，
即，
解得：，（不合，舍去），
∴；
综上所述，点P的坐标为或；
【总结】本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键．
2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，
∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【总结】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
3.已知二次函数图象顶点为，直线与该二次函数交于A，B两点，其中A点，B点在y轴上．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)P为线段上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式；
(3)D为线段与二次函数对称轴的交点，在上是否存在一点P，使四边形为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，P点坐标为
【分析】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，二次函数与平行四边形的综合问题，结合图形有利于解答．
（1）将点A代入直线解析式求出m的值，将二次函数设出顶点式，然后求出函数解析式；
（2）分别得出点P和点E的纵坐标，然后将两点的纵坐标做差得出h与x的函数关系式；
（3）根据平行四边形性质可得：，根据点D在直线上得出点D的坐标，从而得出方程求出x的值，得出点P的坐标．
【详解】（1）解：把代入
得，
∴，
，
∴，
设二次函数解析式为，
把A，B，C三点坐标代入得
解得
∴；
（2）解：∵P点在直线的图象上，
∴P点坐标为，
∵E点在抛物线的图象上，
∴E点坐标为，
∴；
（3）解：存在．
，
二次函数关于直线对称，
，
D点坐标为，则，
当时，，四边形为平行四边形，
即
解得，
当时，与重合，
当时，代入，
∴ P点坐标为．
4.如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标；
（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵直线AB经过，，
∴，
∴，
∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．
当M在N点上方时，．
解得，（舍去）．
∴．
当M在N点下方时， ．
解得，．
∴，．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．
当时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴点与点D重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与拋物线的交点，
∴．
解得，（舍去）．
∴．当时，四边形是矩形．
∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵点P不与点A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．
【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．
5．（2024·青海西宁·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长；
(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】（1）当时，，从而得点C的坐标；当时，，解得或，从而确定点A、B的坐标；
（2）设，由构造方程，求得，从而求得点P的坐标，再利用一次函数的性质求的点E，最后利用勾股定理求解即可；
（3）分是矩形的边和是对角线两种情况，利用矩形的性质、一次函数的图象及性质及平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴点C坐标为，
当时，，解得或，
∴；
（2）解：设，
∵轴，，
∴，，
∵，
∴，解得或（不合题意，舍去），
当时，，
∴，
设直线：，把代入可得：
，解得：，
∴直线：，
∵，
∴设：，
∵，
∴抛物线对称轴为，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在一点G，使以P，E，Q．点G的坐标为或
（i）当是矩形的边时，有两种情形：
①如解图①，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入，解得：，
∴直线的表达式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵，，
∴点E向右平移，向上平移1个单位得到点Q，
∴将点P向右平移，向上平移1个单位得到点G，
∴，即 ；
②如解图②，四边形是矩形时，
∵直线的表达式为，
∴，
∴，
∵
∴,
∵四边形是矩形
∴
∴,
∵,
∴，
∵,
∴，
∴,即，解得：，
∴,
∵，
∴,解得：，
∴
∴．
∵，
∴点P向右平移6，向上平移4个单位得到点Q，
∴将点E向右平移6个单位，向上平移4个单位得到G，
∴，即．
（ii）当是对角线时，设
∵,
∴,
∴，
∵Q是直角顶点，
∴，即，整理得：，
∵，
∴该方程无解，
综上所述，满足条件的点G坐标为或．
【总结】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数及一次函数的性质、勾股定理、平移的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质及待定系数法求一次函数是解题的关键．
6．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在点F，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【分析】（1）根据对称轴和过点列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作交于D，设点 ，则；然后表示出，再根据是等边三角形可得,，根据三角函数解直角三角形可得，进而求得即可解答；
（3）如图可知：线段为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：
，解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
当时，，则顶点M的坐标为．
（2）解：如图：过点M作交于D
设点 ，则,
∴，
∵是等边三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴该三角形的边长．
（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形
①如图：线段作为菱形的边，
当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．
当为菱形对角线时，，
设，，
则，解得：或，
∴或
②线段作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形,
∴,的中点G的坐标为，点G是的中点，
∴，解得，
∴，
设，
则有：，解得：，
∴．
综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【总结】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角形、菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．
(1) ， ；
(2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）把代入，运用待定系数法解二次函数的解析式，即可作答．
（2）因为，先排除一种情况，再进行分类讨论，即和，分别列式计算，即可作答．
（3）根据菱形性质，结合图象性质，进行分类讨论，即四边形为菱形或四边形为菱形，运用中点法列式，以及勾股定理，代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点，
∴把代入
得
解得
∴
故答案为：；
（2）解：∵轴
∴
∴
∵是直角三角形
∴当时，
∴
∴
∵对称轴
∴
此时点P的坐标为
∴当时，
设的解析式为
∴把代入
∴得
解得
∴
设点
则
∵
∴
∴
∵
∴
则
即
解得（此时点E和点C重合，故舍去）
∴点
综上或
（3）解：存在，或
如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为
设点，
∵四边形为菱形
∴
即
则
由（2）知，此时
∴
∴
即如下图所示：
如图：依题意，当四边形为菱形时
∵点，
∴
即
∵
∴
∴解得，（舍去）
∴
∴
综上或
【总结】本题考查了二次函数的几何综合，菱形性质，待定系数法解函数解析式，勾股定理，解直角三角形的相关性质，熟练运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键．
8.如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C．
(1)试求二次函数与一次函数的表达式．
(2)连接，试求四边形的面积．
(3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答．
（2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答．
（3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答．
本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为，
∴设二次函数为，
再把代入，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当，
∴，
结合图象，得出，
把，分别代入，
得，
∴，
则；
（2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∵，
∴
结合图象，
四边形的面积
；
（3）解：或或或或
过程如下：
依题意，设，
当为对角线时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
当为边时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
当为边时，
∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
则菱形四边相等，即，
∴，
解得，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
则当时， ，
∴此时该菱形的对角线的中点为，
∴，
∴，，
∴，
综上：或或或或．
9.如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
(2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．
（1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可；
（2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：当时 ，
故点
当时，有
解得：
设直线的表达式为：；
将代入得： ，
解得：
故直线的表达式为： ；
同理可得：直线的表达式为：；
（2）解：①存在：设点D的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
10.已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，；时，；时，
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可；
（3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
【总结】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
11.如图，抛物线与x轴交于、两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题．
（1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解；
（2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，将、代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下：
由题意，设，
∵，四边形是正方形，轴，则，
∴，
则，
即：，
当时，
解得：，（舍去），
则，即；
当时，
解得：，（舍去），
则，即；
综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形．
12.如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，点的坐标为或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式．
（2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解．
【详解】（1）将，代入 中，
得，
解得：
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意和可得，
，
可设直线的函数表达式为：，
将代入得：，
，
直线的函数表达式为.
设（），分两种情况：
①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）.
则，
故的纵坐标与的纵坐标相等为，
将代入中，可得的横坐标为，
则点E的坐标为，
，即，
解得（，要舍）或，
点的坐标为．
②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H，
，，
易得，
则，
则的纵坐标为，
点的坐标为．
点在直线上，
，
解得或2（，要舍），
点的坐标为．
综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或．
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二次函数中特殊平行四边形存在性问题
类型一三定一动
类型二：两定一动
【总结】平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.
另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.这种题型，关键是合理有序分类:无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组).这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广.其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合思想.
1.如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
3.如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．
4.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5.综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；
(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
1.．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．
①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；
②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．
2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知二次函数图象顶点为，直线与该二次函数交于A，B两点，其中A点，B点在y轴上．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)P为线段上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式；
(3)D为线段与二次函数对称轴的交点，在上是否存在一点P，使四边形为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024·青海西宁·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长；
(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．
(1) ， ；
(2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C．
(1)试求二次函数与一次函数的表达式．
(2)连接，试求四边形的面积．
(3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
10.已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
11.如图，抛物线与x轴交于、两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12.如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
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