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《幂的乘方与积的乘方》习题
1．计算（x3）2的结果是（ ）
A．x5 B．x6 C．x8 D．x9
2．下列计算错误的是（ ）
A．a2·a=a3 B．（ab）2=a2b2 C．（a2）3=a5 D．－a+2a=a
3．计算（x2y）3的结果是（ ）
A．x5y B．x6y C．x2y3 D．x6y3
4．计算（－3a2）2的结果是（ ）21世纪教育网版权所有
A．3a4 B．－3a4 C．9a4 D．－9a421教育网
5．计算（－0.25）2010×42010的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．0.25 D．4402021cnjy.com
6．－（a3）4=_____．
7．若x3m=2，则x9m=_____．
8．[（－x）2] n ·[－（x3）n]=______．
9．若a2n=3，则（2a3n）2=____．
10．计算：(1)(a4)3+m (2)(-4xy2)2
11．计算： (x-y)3·(y-x)2·(x-y)4.
12．计算
(1)(-0.25)11×411 (2)(-0.125)200×8201
13．已知：644×83=2x,求x.
14．计算：（－2x2y3）+8（x2）2·（－x）2·（－y）3．
15．某养鸡场需定制一批棱长为3×102毫米的正方体鸡蛋包装箱（包装箱的厚度忽略不计），求一个这样的包装箱的容积．（结果用科学记数法表示）21·cn·jy·com
参考答案
1．答案：B
解析：【解答】（x3）2=x3×2=x6．故选B．
【分析】根据幂的乘方法则.
2．答案：C
解析：【解答】根据同底数幂的乘法法则判断，A正确；根据积的乘方法则判断，B正确；
根据幂的乘方法则判断，C错误；根据整式的加减运算法则判断，D也正确，故选C．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方法则判断.
3．答案：D
解析：【解答】可得（x2y）3=（x2）3·y3=x6y3，故选D．
【分析】根据积的乘方法则和幂的乘方法则.
4．答案：C
解析：【解答】可得（－3a2）2=（－3）2·（a2）2=9a4，故选C．
【分析】根据积的乘方法则和幂的乘方法则.
5．答案：B
解析：【解答】（－0.25）2010×42010=（－0.25×4）2010=（－1）2010=1，故选B．
【分析】逆用积的乘方法则.
6．答案：－a12
解析：【解答】－（a3）4=－a3×4=－a12．
【分析】根据幂的乘方法则.
7．答案：8
解析：【解答】因为x3m=2，所以x9m=x3m×3=（x3m）3=23=8．
【分析】根据幂的乘方法则.
8．答案：－x5n
解析：【解答】[（－x）2] n·[（－x3）n]=（x2）n·（－x3n）=x2n·（－x3n）=－x2n+3n=－x5n．
【分析】根据积的乘方法则和幂的乘方法则.
9．答案：108
解析：【解答】因为a2n=3，所以（2a3n）2=22·a3n×2=4a2n×3=4（a2n）3=4×33=4×27=108．
【分析】根据积的乘方法则和幂的乘方法则.
10．答案：a12+4m，16x2y4
解析：【解答】(1)(a4)3+m=a4×(3+m)=a12+4m
(2)(-4xy2)2=(-4)2x2(y2) 2=16x2y4
【分析】（1）用幂的乘方，（2）先用积的乘方的公式，再利用幂的乘方的公式化简到最后.
11．答案：(x-y)9
解析：【解答】(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4
=(x-y)3·(x-y)4·［-(x-y)］2
=(x-y)7·(x-y)2
=(x-y)9
【分析】将x-y化为-(y-x)的形式，或将y-x化为-(x-y)的形式，再利用积的乘方及同底数幂的
乘方公式即可计算.
12．答案：-1，8
解析：【解答】(1)(-0.25)11×411=(-0.25×4)11=(-1)11=-1
(2)(0.125)200×8201=( ( http: / / www.21cnjy.com )-0.125)200×8200+1=(-0.125)200×8200×8=(-0.125×8)200×8
=(-1)200×8=1×8=8
【分析】将积的乘方公式逆用可有an·bn=(ab)n，即若有指数相同的幂相乘，则可将底数相
乘，相同的指数作为共同的指数.
13．答案：更多幂的乘方和鸡的乘方关系
解析：【解答】∵644×83=(26)4×(23)3=224×29=233
∵644×83=2x,∴233=2x,∴x=33.
【分析】将方程左边部分化为底数为2的幂的形式.
14．答案：－16x6y3.
解析：【解答】（－2x2y）3+8（x2）2·（－x）2·（－y）3=（－2）3·（x2）3·y3+8x4·x2·（－y3）
=－8·x6·y3+（－8）·x6·y3=－16x6y3．
【分析】幂的乘方和积的乘方的公式．
15．答案：2.7×107
解析：【解答】（3×102）3=33×（102）3=27×106=2.7×107（立方毫米）．
答：一个这样的包装箱的容积是2.7×107立方毫米．
【分析】运用积的乘方和幂的乘方的综合运用．
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《幂的乘方与积的乘方》教案
教学目标
一、知识与技能
1．经历探索幂的乘方与积的乘方性质，进一步体会幂的乘方与积的乘方；
2．理解幂的乘方与积的乘方运算性质并能解决一些实际问题；
二、过程与方法
1．在探究幂的乘方与积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理地表达的能力；
2．课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法；
三、情感态度和价值观
1．通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；
2．通过引导学生主动探索法则的形成和应用过程，培养学生主动获取新知的能力；
教学重点
幂的乘方与积的乘方运算；
教学难点
幂的乘方与积的乘方公式的推导及公式的逆用；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
2课时
教学过程
一、导入
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ 21·cn·jy·com
二、新课
木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的103 倍！
太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的 (102) 3倍！那么，你知道 (102) 3等于多少吗？www.21-cn-jy.com
(102) 3= 102×102 ×102=102+2+2=106
通过问题的研究：(102) 3=1 ( http: / / www.21cnjy.com )06 ，让学生清楚运算之间的关系，题目中所描述的是10的2次幂的三次方，其底数是幂的形式，然后根据幂的意义展开运算，去探究运算过程.
计算下列各式，并说明理由．
（1）(62) 4； （2）(a2)3； （3）(am)2．
解：
（1）(62)4 = 62×62×62×62 = 62+2+2+2 = 68；
（2）(102) 3= 102×102 ×102=102+2+2=106 ；
（3）(am)2= am×am = am+m= a2m；
仿照前面，来研究运算情况，实际上做到(am)2就能猜想（am）n的结果，也为后面幂的乘方的法则带来指导性，完成本节课的主要教学任务.21世纪教育网版权所有
猜想（am）n等于什么？你的猜想正确吗？
(am)n=am·am…am=am+m+…+ m=amn
幂的乘方的运算性质
(am)n=amn（m，n都是 正整数）
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×10３km，它的体积大约是多少立方千米？
你会计算(ab)2，(ab)３和(ab)4吗？
(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2
(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3
(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)=a4b421教育网
(ab)m=am·bm的证明
(ab)m = ab·ab·……·ab(乘方的意义)
=(a·a·……·a) (b·b·……·b)(乘法运算律)
=am·bm (乘方的意义)
积的乘方的运算性质
(ab)m=am·bm（m为正整数）
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质 怎样用公式表示
(abc)n=an·bn·cn
三、例题
例1 计算：
（1）(102)3 ；（2）(b5 ( http: / / www.21cnjy.com ) )5 ；（3）(an)3；（4）- (x2)m ；（5）(y2)3·y；（6）2(a2)6- (a3)4 .
解： （1） (102)3 =102×3=106 ；
（2） (b5 )5 = b5×5=b25 ；
（3） (an)3= an×3=a3n；
（4） - (x2)m= -x2×m= - x2m；
（5） (y2)3·y = y2×3·y= y6·y =y7；
（6） 2(a2)6 - (a3)4= 2a2×6- a3×4 =2a12 - a12 =a12 ． 21cnjy.com
例2：
（1）(3x)2 ；（2）(-2b)5 ；（3）(-2xy)4 ；（4）( 3a2 )n．
解：
（1）(3x)2= 32x2=9x2；
（2）(-2b)5 = (-2)5 b5 = -32b5；
（3）(-2xy)4 = (-2x)4y4= (-2)4x4y4=16x4y4；
（4）(3a2)n= 3n(a2)n=3na2n．
四、习题
1．计算：
（1）(103)3； （2）- (a2)5 ； （3）(x3)4·x2 ．
解：
（1）(103)3 =109 ；
（2）- (a2)5= -a10；
（3）(x3)4·x2= x12·x2 = x14 ．
2．计算：
（1）( - 3 n )3 ；
（2）( 5xy)3 ；
（3）- a3+(-4a)2a．
解：
（1）( - 3 n )3 = ( - 3 )3 n3 = - 27n3 ；
（2）( 5xy)3 = 53x3y3 = 53x3y3 = 125x3y3 ；
（3）- a3+(-4a)2a = - a3+42a2a= - a3+16a3=15a3．
五、拓展
幂的乘方的运算性质
(am)n=amn（m，n都是正整数）
注意：
1．公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式。
2．注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加。
积的乘方的运算性质
(ab)m=am·bm（m为正整数）
逆运算使用:an·bn = (ab)n
六、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
幂的乘方的运算性质
(am)n=amn（m，n都是正整数）
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方的运算性质
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
(ab)m=am·bm（m为正整数）
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初中数学北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除
2 幂的乘方与积的乘方
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
导入
木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的10 3 倍！
新课
太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的 (102) 3 倍！那么，你知道 (102) 3等于多少吗？
(102) 3= 102×102 ×102 =102+2+2=106
计算下列各式，并说明理由．
（1）(62) 4 ； （2）(a2)3 ；（3）(am)2 ．
新课
解：
（1）(62) 4 = 62× 62 ×62 ×62 = 62 +2+2+2+2 = 68 ；
（2）(a2)3 = a2×a2×a2 = a2+2+2 = a6 ；
（3）(am)2 = am×am = am+m = a2m ．
新课
猜想（am）n等于什么？你的猜想正确吗？
一般地有
(am)n=
n个am
n个m
am·am…am
=am+m+…+ m
=amn
新课
(am)n=amn（m，n都是 正整数）
幂的乘方的运算性质
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例1 计算：
（1）(102)3 ；
（2）(b5)5 ；
（3）(an)3 ；
（4）- (x2)m ；
（5）(y2)3·y；
（6）2(a2)6 - (a3)4 ．
例题
解： （1） (102)3 =102×3=106 ；
（2） (b5)5 = b5×5=b25 ；
（3） (an)3 = an×3=a3n ；
（4） - (x2)m = -x2×m = - x2m ；
（5） (y2)3·y = y2×3·y= y6·y =y7 ；
（6） 2(a2)6 - (a3)4 = 2a2×6 - a3×4 =2a12 - a12 =a12 ．
例题
新课
地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为
6×103km，它的体积大约是多少立方千米？
解：
新课
你会计算(ab)2，(ab)3和(ab)4吗？
(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2
(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)
=a3b3
(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)
=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)=a4b4
新课
在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
(ab)m = ab·ab·……·ab ( )
=(a·a·……·a) (b·b·……·b)( )
=am·bm (乘方的意义)
乘方的意义
乘法运算律
m个ab
m个a
m个b
(ab)m =am·bm的证明
新课
(ab)m=am·bm（m为 正整数）
积的乘方的运算性质
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质 怎样用公式表示
(abc)n=an·bn·cn
例2：
（1）(3x)2 ；
（2）(-2b)5 ；
（3）(-2xy)4 ；
（4）( 3a2 )n ．
例题
解：
（1）(3x)2 = 32x2=9x2；
（2）(-2b)5 = (-2)5b5= -32b5 ；
（3）(-2xy)4 = (-2x)4y4= (-2)4x4y4=16x4y4；
（4）(3a2)n = 3n(a2)n=3na2n ．
例题
习题
1．计算：
（1）(103)3 ； （2）- (a2)5 ； （3）(x3)4·x2 ．
解：
（1）(103)3 =109 ；
（2）- (a2)5 = -a10；
（3）(x3)4·x2 = x12·x2 = x14 ．
习题
2．计算：
（1）( - 3 n )3 ；
（2）( 5xy)3 ；
（3）- a3+(-4a)2a．
习题
解：
（1）( - 3 n )3 = ( - 3 )3 n3 = - 27n3 ；
（2）( 5xy)3 = 53x3y3 = 53x3y3 = 125x3y3 ；
（3）- a3+(-4a)2a = - a3+42a2a= - a3+16a3=15a3 ．
拓展
(am)n=amn（m，n都是正整数）
幂的乘方
注意：
1.公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．
2.注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中
是指数相加．
积的乘方
(ab)m=am·bm（m为正整数）
逆运算使用:an·bn = (ab)n
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
(am)n=amn（m，n都是正整数）
幂的乘方的运算性质
积的乘方的运算性质
(ab)m=am·bm（m为正整数）
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
