2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是第四象限的角，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列选项中“”的充分非必要条件是( )
A. B. C. D.
3.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为，，．
命题：若当时，都有，则函数是上的奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是上的增函数．
下列说法正确的是( )
A. 、都是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 是假命题，是真命题 D. 、都是假命题
二、填空题：本题共10小题，共34分。
5.已知集合，，则 ．
6.若幂函数的图像过点，则此函数的解析式为 ______．
7.设扇形的圆心角为弧度，弧长为，则此扇形的面积为______．
8.函数的定义域为______．
9.已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______．
10.求函数的最小值______．
11.方程的解为______．
12.若，则的值是______．
13.已知函数，若，则的取值范围为______．
14.已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合、．
若，试用区间表示集合、，并求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的定义域；
当时，解关于的不等式：．
17.本小题分
一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为万元，最大产能为台，每生产台需另投入成本万元，且．
由市场调研知，该产品每台的售价为万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完．
求年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本；
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的值；
判断函数的单调性，并用定义给出证明；
若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，其中为常数．
当时，解不等式；
已知是以为周期的偶函数，且当时，有若，且，求函数的解析式；
若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
故A；
，
，
，解得，
故实数的取值范围为．
16.解：由题意可得，，即，
当时，，即定义域为；
当时，，定义域为；
当时，单调递增，则在上单调递增，
由可得，
故解集为．
17.解：由题意可得：当时，，
当时， ，
故；
若，，
由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，万元，
若 ，
当且仅当时，即时，万元．
所以该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元．
18.解：因为是定义在上的奇函数，
由奇函数性质可得，，即，
此时，为奇函数，符合题意；
在上为单调递增函数，证明如下：
任取，则，
所以，
所以在上单调递增；
由可得，
即，此方程有且只有一个实数解，令，则，
问题转化为关于的方程有且只有一个正数根．
当时，，不合题意；
当时，若，则或，
若，则，符合题意，
若，则，不合题意，
若，则或，
由题意可知方程有一个正根和一个负根，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
19.解：解不等式，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上，该不等式的解集为；
当时，，
因为是以为周期的偶函数，
所以，
由，且，得，
所以当时，，
所以当时，，
即，．
当时，此时，在上是严格增函数，
所以，所以，解得；
当时，此时，在上是严格增函数，
所以，所以，解得；
当时，在上不单调，
当时，则，在上，
所以在上严格增，在上严格减，
根据不等式的性质和相消法的应用，
于是，
令 ，解得或，不符合题意；
当时，分别在、上严格增，在上严格减，
，
令，解得或，不符合题意．
综上，所求实数的取值范围为．
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