2024-2025学年安徽省省十联考高二上学期1月期末测试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年安徽省省十联考高二上学期1月期末测试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 320.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-23 19:09:50 | ||
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文档简介
2024-2025学年安徽省省十联考高二上学期1月期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则( )
A. B. C. D.
6.将正奇数按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为( )
A. B. C. D.
7.已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形中，是边长为的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. 是递增数列 B.
C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为
10.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，且点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若点与重合，则，
B. 若平面，则
C. 存在唯一的点使得平面
D. 若，，则点到平面的距离为
11.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线如图，在底面半径为，且的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上除端点外的一点，用过，，三点的平面去截该圆锥，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的体积为
B. 若，则平面与圆锥底面的夹角为
C. 当时，截得的曲线是椭圆的一部分
D. 若，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为，则 ．
13.已知数列的前项和为，，若数列的前项和为，则 ．
14.已知曲线，为上一点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．
求圆的方程；
过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
若数列的前项和为，且数列满足．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和，并证明．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上，是否存在点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为．
求的方程；
已知点，过点且斜率不为的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点．
求证：直线与直线的斜率之积为常数；
求面积的取值范围．
19.本小题分
若有穷数列是正整数，满足，且，就称该数列为“对称数列”．
已知数列是项数为的对称数列，且，，成等比数列，，，成等差数列，，试写出的每一项；
已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最小值？最小值为多少？
设数列是项数为且的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和．若，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：易知过点且与直线垂直的直线斜率为，
故圆心与切点连线方程为，
联立，解得
所以；
所以圆的半径为，
所以圆的方程为．
由可知圆的方程为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意，
若直线的斜率存在，设方程为，即
则，即，解得，
所以直线的方程为或．
16.解：，
又，
两式相减得，即，
又当时，，得，
故数列是以为首项为公比的等比数列，
，
，，
，，
符合上式
．
由可得，
，
上两式相减得，
，
令，则，
所以是关于的减函数，得，
所以是关于的增函数，所以，
而，所以，从而．
17.解：因为平面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以．
过作的垂线交于点，因为平面，
所以，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为为的中点，所以，
所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，，于是，
，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设，
所以．
因为，，，四点共面，
所以，，
所以，从而．
所以在棱上，存在点，使得，，，四点共面，此时．
18.解：设动圆的半径为，由题意，
又，故的轨迹为椭圆．
，，
故的轨迹方程为
由知，，设直线，，，
联立消去，整理得，
则，
根据题意可设，，
则由，可得，
由，可得，
所以直线与直线的斜率之积
所以直线与直线的斜率之积为定值．
由知，，所以．
，
，
所以
当且仅当或时等号成立，
所以面积的取值范围是．
19.解：因为，，成等比数列，则，
因为，，成等差数列，则，解得，；
综上，数列为，，，，，，．
解法一：因为构成首项为，公差为的等差数列，所以
又，，所以当时，取得最小值．
解法二：当该对称数列恰为，，，，，，，，时取得最小值，此时，所以当时，．
即或，所以，即，
所以．
因为是“对称数列”，
所以
，又因为且，
所以舍去或．
当构成公差为的等差数列时，，，此时，所以的最小值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则( )
A. B. C. D.
6.将正奇数按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为( )
A. B. C. D.
7.已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形中，是边长为的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. 是递增数列 B.
C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为
10.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，且点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若点与重合，则，
B. 若平面，则
C. 存在唯一的点使得平面
D. 若，，则点到平面的距离为
11.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线如图，在底面半径为，且的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上除端点外的一点，用过，，三点的平面去截该圆锥，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的体积为
B. 若，则平面与圆锥底面的夹角为
C. 当时，截得的曲线是椭圆的一部分
D. 若，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为，则 ．
13.已知数列的前项和为，，若数列的前项和为，则 ．
14.已知曲线，为上一点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．
求圆的方程；
过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
若数列的前项和为，且数列满足．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和，并证明．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上，是否存在点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为．
求的方程；
已知点，过点且斜率不为的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点．
求证：直线与直线的斜率之积为常数；
求面积的取值范围．
19.本小题分
若有穷数列是正整数，满足，且，就称该数列为“对称数列”．
已知数列是项数为的对称数列，且，，成等比数列，，，成等差数列，，试写出的每一项；
已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最小值？最小值为多少？
设数列是项数为且的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和．若，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：易知过点且与直线垂直的直线斜率为，
故圆心与切点连线方程为，
联立，解得
所以；
所以圆的半径为，
所以圆的方程为．
由可知圆的方程为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意，
若直线的斜率存在，设方程为，即
则，即，解得，
所以直线的方程为或．
16.解：，
又，
两式相减得，即，
又当时，，得，
故数列是以为首项为公比的等比数列，
，
，，
，，
符合上式
．
由可得，
，
上两式相减得，
，
令，则，
所以是关于的减函数，得，
所以是关于的增函数，所以，
而，所以，从而．
17.解：因为平面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以．
过作的垂线交于点，因为平面，
所以，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为为的中点，所以，
所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，，于是，
，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设，
所以．
因为，，，四点共面，
所以，，
所以，从而．
所以在棱上，存在点，使得，，，四点共面，此时．
18.解：设动圆的半径为，由题意，
又，故的轨迹为椭圆．
，，
故的轨迹方程为
由知，，设直线，，，
联立消去，整理得，
则，
根据题意可设，，
则由，可得，
由，可得，
所以直线与直线的斜率之积
所以直线与直线的斜率之积为定值．
由知，，所以．
，
，
所以
当且仅当或时等号成立，
所以面积的取值范围是．
19.解：因为，，成等比数列，则，
因为，，成等差数列，则，解得，；
综上，数列为，，，，，，．
解法一：因为构成首项为，公差为的等差数列，所以
又，，所以当时，取得最小值．
解法二：当该对称数列恰为，，，，，，，，时取得最小值，此时，所以当时，．
即或，所以，即，
所以．
因为是“对称数列”，
所以
，又因为且，
所以舍去或．
当构成公差为的等差数列时，，，此时，所以的最小值为．
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