2024-2025学年四川省巴中市高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.某农场共有头牛,其中甲品种牛头,乙品种牛头,丙品种牛头,现采用分层抽样的方法抽取头牛进行某项指标检测,则抽取甲,乙,丙三个品种牛的头数分别为( )
A. B. C. D.
3.经过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次,第次和第次某一面朝下的概率分别记为,则的大小关系为( )
A. 的大小由确定 B.
C. D.
5.已知圆,圆,则圆与圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
6.已知空间向量,,,若,,共面,则的值为( )
A. B. C. D.
7.某地区今年举行了校园足球联赛赛季结束后的数据显示:甲学校足球代表队下称甲队每场比赛平均失球数是,每场失球个数的标准差是;乙学校足球代表队下称乙队每场比赛平均失球数是,每场失球个数的标准差是下列说法中正确的是( )
A. 平均来说乙队比甲队防守效果好
B. 甲队比乙队技术水平更稳定
C. 甲队在防守中有时表现较差,有时表现又非常好
D. 甲队每场比赛必失球
8.已知点集,分别表示曲线、,若、有四个公共点,则的取值范围( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.某人连续投篮三次,每次投一球,记事件为“三次都投中”,事件为“三次都没投中”,事件为“恰有二次投中”,事件为“至少有二次投中”,则( )
A. B. C. D.
10.下列说法中,正确的是( )
A. 直线的一个方向向量为
B. 三点共线
C. 直线其中必过定点
D. 经过点,倾斜角为的直线方程为
11.在平面直角坐标系中,已知两定点,动点满足直线与直线的斜率之积为,记的轨迹为,则下列描述正确的是( )
A. 当时,曲线是以原点为圆心,半径为的圆
B. 当时,点所在曲线的焦点在轴上
C. 当时,过点的直线与曲线至少有一个公共点
D. 当时,直线与曲线有两个不同公共点,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量,若与互相垂直,则实数的值为 .
13.已知直线与直线平行其中为实数,则它们之间的距离为 .
14.已知三棱柱,点在内,分别为三边的一个三等分点,为面的一个法向量,且若到面的距离为,则 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆长轴长为,离心率为.
求椭圆的方程;
以的焦点为顶点,短轴为虚轴的双曲线记为,求的方程及其渐近线方程.
16.本小题分
已知直线,圆点为圆心.
若直线与圆相切,求实数的值;
当时,判断直线与圆是否相交于不同的两点?如果相交于不同两点,记这两点为,并求的面积,如果不相交,请说明理由.
17.本小题分
甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步,比赛,甲、乙各有一个不透明的盒子,甲的盒子里面有个红球个白球,乙的盒子里面有个红球个白球,这些球只有颜色不同每一轮比赛的规则是:甲,乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球,如果甲摸到红球,甲向前走一步,否则原地不动;如果乙摸到白球,乙向前走一步,否则原地不动各自摸球后都放回自己的盒子中.
经过多轮比赛后,试估计甲、乙走的步数谁多?说明理由?
以频率作为概率,试求轮比赛后,乙走的步数比甲走的步数多的概率.
18.本小题分
如图,等腰梯形的高为是上靠近的三等分点,如图所示,将沿折起到的位置,使得,如图所示,点在棱上
求证:直线平面;
若是的中点,求直线与平面所成角的正弦值;
若平面与平面所成的锐二面角为,求的值.
19.本小题分
已知抛物线的焦点为,第一象限内的一点在抛物线上,且.
求抛物线的方程;
直线与抛物线的另一个交点为,求的面积其中为坐标原点;
斜率分别为、的两条直线都经过点,且与抛物线的另一个交点分别为、,若,求证:直线过定点.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解:
由题意可知:,可得
则,
所以椭圆的方程为.
椭圆的焦点为,且短轴长为.
以为左,右顶点的双曲线的方程设为.
依题意得,所以双曲线的方程为.
其渐近线方程为.
16.解:
由可得,即、半径,
由可得,
由直线与圆相切,则有,化简得,
即或;
当时,,此时点到直线的距离为,
故直线与圆相交,即直线与圆相交于不同的两点,
由,则,
则.
17.解:
经过多轮比赛后,估计甲走的步数比乙多,
原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大,具体如下:
一轮比赛中,记“甲向前走一步”为事件,“乙向前走一步”为事件,
根据古典概型概率的计算可得,,
则,即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大,
所以,多轮比赛后,估计甲走的步数比乙多.
在轮比赛后,事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步,甲没有前进”和“乙恰好向前走两步,甲最多向前走一步”两个事件,
分别记为、,且事件、为互斥事件,
则,
,
所以,轮比赛后,乙走的步数比甲多的概率为.
18.解:
在图中,作的靠近的三等分点,
连接,所以,结合和.
所以四边形为平行四边形,所以.
所以为等腰三角形,
因为是上靠近的三等分点,
所以为等腰三角形底边上的中点,所以.
所以在图中,.
又因为,且,平面,
所以直线平面
由知两两垂直,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
则,
所以.
设平面的法向量为,
则,令,得.
设直线与平面所成角的大小为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.
设,则.
设平面的法向量为,则,解得,
令,得,可得平面的一个法向量为,
由题知,解得,且点在棱上,
所以的值为.
19.解:
由抛物线的定义可得,解得,
所以,抛物线的方程为.
由在抛物线上,且在第一象限内,所以,,即点,
易知点,所以,直线的斜率为,
所以,直线的方程为,即,
联立可得,解得或
则点、,
所以,.
若直线的斜率为零,则该直线与抛物线只有一个交点,不合乎题意,
设直线的方程为,设点、,
联立可得,,可得,
由韦达定理可得,,
,同理可得,
因为,
可得,则,
所以,直线的方程为,
由可得
因此,直线过定点.
第1页,共1页