2024-2025学年内蒙古呼和浩特市旗县四校联考高二上学期期末考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年内蒙古呼和浩特市旗县四校联考高二上学期期末考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 149.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-23 19:12:10 | ||
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文档简介
2024-2025学年内蒙古呼和浩特市旗县四校联考高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，，则( )
A. B. C. D.
2.若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则点到另外一个焦点的距离( )
A. B. C. D.
3.如图，在三棱锥中，设，若，则( )
A. B.
C. D.
4.若直线与直线平行，则( )
A. B. C. D. 或
5.为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 ．
A. B. 或 C. D.
8.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
10.甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有( )
A. 若甲和乙相邻，共有种排法 B. 若甲不排第一个共有种排法
C. 若甲与丙不相邻，共有种排法 D. 若甲在乙的前面，共有种排法
11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( )
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 曲线上的任意两点间的距离最大值是
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数 ．
13.的展开式中，含的项的系数为 用数字作答
14.已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为．
求的值；
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知圆及直线直线被圆截得的弦长为．
求的值；
求过点并与圆相切的切线的一般式方程．
17.本小题分
已知点是双曲线上任意一点．
求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
已知点，求的最小值．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆设椭圆：的协同圆为圆为坐标系原点，试解决下列问题：
写出协同圆圆的方程；
设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于、两点，求的值；
设、是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为
所以令，则有，即．
因为 的 展开式中所有项的二项式系数之和为，
所以有，
所以．
由可得，
其展开式的通项公式为，
所以是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正，
又当时，，
所以．
16.解：
由已知圆，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以弦长为，
解得或舍；
由得，
则圆，圆心，半径，
则点在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
此时，解得，
则直线方程为，即；
当切线斜率不存在时，直线方程为，此时满足直线与圆相切，
综上所述，切线方程为或．
17.解：设，由题意得双曲线的两条渐近线方程分别为和，
则点到两条渐近线的距离分别为和，
又，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
由，得，
因为，所以当时，有最小值，
即的最小值为．
18.证明：取的中点，连接，，
，，且，
，，，且，
四边形是平行四边形，，
，平面，平面，
平面．
解：因为，，两两垂直，
故以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，，
，，，
设平面的法向量为，由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
有，，，
可得，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：由椭圆，可知，．
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆；
设点、，则．
直线为圆的切线，故分直线的斜率存在和不存在两种情况加以讨论：
当直线的斜率不存在时，直线：．
若：，由，可解得，
此时，；
当：时，同理可得：．
当直线的斜率存在时，设：．
由，得．
，，
得．
又由于直线是圆的切线，故，得．
，即．
综上，总有；
证明：、是椭圆上的两个动点，且．
设、，则．
下面分直线、中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论．
不妨设直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有，．
由，解得；
若直线、的斜率都存在，设：，则．
由，得，可得．
同理可得．
于是，．
由，可得．
因此，总有，即点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上．
该定圆的方程为圆．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，，则( )
A. B. C. D.
2.若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则点到另外一个焦点的距离( )
A. B. C. D.
3.如图，在三棱锥中，设，若，则( )
A. B.
C. D.
4.若直线与直线平行，则( )
A. B. C. D. 或
5.为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 ．
A. B. 或 C. D.
8.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
10.甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有( )
A. 若甲和乙相邻，共有种排法 B. 若甲不排第一个共有种排法
C. 若甲与丙不相邻，共有种排法 D. 若甲在乙的前面，共有种排法
11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( )
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 曲线上的任意两点间的距离最大值是
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数 ．
13.的展开式中，含的项的系数为 用数字作答
14.已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为．
求的值；
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知圆及直线直线被圆截得的弦长为．
求的值；
求过点并与圆相切的切线的一般式方程．
17.本小题分
已知点是双曲线上任意一点．
求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
已知点，求的最小值．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆设椭圆：的协同圆为圆为坐标系原点，试解决下列问题：
写出协同圆圆的方程；
设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于、两点，求的值；
设、是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为
所以令，则有，即．
因为 的 展开式中所有项的二项式系数之和为，
所以有，
所以．
由可得，
其展开式的通项公式为，
所以是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正，
又当时，，
所以．
16.解：
由已知圆，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以弦长为，
解得或舍；
由得，
则圆，圆心，半径，
则点在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
此时，解得，
则直线方程为，即；
当切线斜率不存在时，直线方程为，此时满足直线与圆相切，
综上所述，切线方程为或．
17.解：设，由题意得双曲线的两条渐近线方程分别为和，
则点到两条渐近线的距离分别为和，
又，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
由，得，
因为，所以当时，有最小值，
即的最小值为．
18.证明：取的中点，连接，，
，，且，
，，，且，
四边形是平行四边形，，
，平面，平面，
平面．
解：因为，，两两垂直，
故以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，，
，，，
设平面的法向量为，由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，，
有，取，，，
可得平面的一个法向量为，
有，，，
可得，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：由椭圆，可知，．
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆；
设点、，则．
直线为圆的切线，故分直线的斜率存在和不存在两种情况加以讨论：
当直线的斜率不存在时，直线：．
若：，由，可解得，
此时，；
当：时，同理可得：．
当直线的斜率存在时，设：．
由，得．
，，
得．
又由于直线是圆的切线，故，得．
，即．
综上，总有；
证明：、是椭圆上的两个动点，且．
设、，则．
下面分直线、中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论．
不妨设直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有，．
由，解得；
若直线、的斜率都存在，设：，则．
由，得，可得．
同理可得．
于是，．
由，可得．
因此，总有，即点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上．
该定圆的方程为圆．
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