2024-2025学年福建省莆田第二中学、仙游第一中学高一上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田第二中学、仙游第一中学高一上学期期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：“”的否定是( )
A. B. C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是王羲之书六角扇扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为，内弧长为，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为
A. B. C. D.
4.已知函数，则下列图象错误的是( )
A. B.
C. D.
5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国汶川里氏级地震的 倍精确到参考数据：，，，
A. B. C. D.
6.已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的奇函数满足，当时，若函数在区间上有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列大小关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递增，则的取值范围为
C. 不等式的解集为
D. 将的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位后所得函数的图象对称中心为
11.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 函数与函数互为反函数
B. 函数在区间内没有零点
C. 若，，均为正实数，且满足，则
D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.且的图象恒过定点，幂函数过点，则为 ．
13.已知函数，若，则 ．
14.设函数，关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数
求的单调递减区间
将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，，使得不等式有解，求的取值范围．
17.本小题分
学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导全科辅学功能多国语言学习标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习情境学习随身学习机外教单词联想记忆同步教材讲解互动全真题库权威词典在线图书馆等多种模式，以及大内存和卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元；当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元．
写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式；
当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的 生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
18.本小题分
已知函数，．
若，求函数在区间上的值域；
若，求证：，并求的值；
令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由
已知函数，问是否有对称中心若有，求出对称中心若没有，请说明理由
对于不同的函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和．
(ⅰ)求证：当时，的图象仍有对称中心
(ⅱ)问：当时，的图象是否仍一定有对称中心若一定有，请说明理由若不一定有，请举出具体的反例．
参考答案
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15.解：或，
当时，，或，
．
当时，满足条件，
此时有，无解，故B
由得解得所以的取值范围是．
16.解：
．
令，
得，
即的单调递减区间为．
根据题意可得．
因为存在，，使得不等式有解，
所以
当时，，，
当时，，，
所以，即的取值范围为
17.解：因为当生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元，
所以，解得，
当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元，
所以，解得，
当时，，
当时，，
综上．
当时，单调递增，
所以；
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合知，当时，取得最大值为万元．

18.
，
当时，函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，
所以，函数的值域为；
若，则，
，
设，
则，
两式相加得，即，，
故；
，
设，当时，，
则函数等价于，
若函数在区间上有零点，
则等价于在上有零点，
即在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，，
设，则，则，
因为函数在区间上单调递增，且，，
当时，，所以，，
所以，实数的取值范围是．

19.解：为奇函数，
证明如下：
首先的定义域为，关于原点对称，
又，
故为奇函数，
因为，
所以，
于是是奇函数，
由题意知图象的对称中心是；
根据题意，，
取，上式计算得，此时，
所以有对称中心，对称中心为；
根据题意，，，
证明：当时，，
所以此时的图象仍有对称中心，对称中心为；
当时，不一定有对称中心．
设，易知函数的图象关于对称，得，，
设，易知函数的图象关于对称，得，，
此时，，其图象不关于某一点对称，即没有对称中心．
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