2024-2025学年云南省昆明市五华区高一上学期期末质量监测数学考试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明市五华区高一上学期期末质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知单位圆圆心在坐标原点，与轴正半轴交于点，圆周上一点从出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则时点所在的位置为( )
A. B. C. D.
6.某地一天从时的温度变化曲线如图所示，则这段曲线近似满足函数( )
A. B.
C. D.
7.函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 函数的最小值为
D. 若，且，则的最小值为
10.已知，则( )
A.
B.
C.
D.
11.双曲函数在许多数学、物理及工程问题中都有广泛的应用，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数已知双曲正弦函数为，双曲余弦函数为其中为自然对数的底数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.如图，正截得扇形，已知的长为，为中点，则扇形的面积为 ．
14.已知奇函数的定义域为，且为偶函数，当时，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
当时，求的值域．
16.本小题分
设函数．
求不等式的解集：
若不等式对都成立，求的取值范围．
17.本小题分
在中，．
求；
若的边上的高等于，求．
18.本小题分
已知奇函数．
求的值；
判断并证明的单调性；
若，使不等式成立，求实数的范围．
19.本小题分
著名英国数学家牛顿提出：把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数，这一公式称为牛顿冷却公式若一杯的茶水放在的空气中冷却，分钟后茶水温度是．
求的值；
如果茶水冷却至时口感最佳，那么一杯的茶水放置在的空气中，大约需要等待几分钟口感最佳？
现有一杯温度为的茶水，放置在的空气中，过分钟以后，测得其温度为，再过分钟后，测得其温度为试比较与的大小关系，并说明理由参考数据：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
函数，
所以函数的最小正周期
当时，，正弦函数在上递增，在上递减，
因此函数在上递增，在上递减，，
而，，则，
所以的值域为．

16.解：
不等式，
当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的 解集为．
，不等式
，而当时，，当且仅当时取等号，则，
所以的取值范围是．

17.解：
由题意，，
解得
，结合，解得，
又，则，得，
根据三角形的面积公式，，解得，
不妨设，由余弦定理，，则，
再由余弦定理，

18.解：
因为的定义域为，且为奇函数，
则，即，解得，
所以，此时，
即是奇函数，即满足题意，
所以．
在上单调递增，证明如下：
因为，
任取，且，
则，
因为，所以，即，
又，，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，
则由，得，
因为是奇函数，且在上单调递增，
所以，则，
又，
令，由，得，
则，
所以问题转化为存在，使得成立，
对于，其开口向上，对称轴为，
又当时，，当时，，
所以在上的最大值为，
则，解得，即实数的取值范围是．

19.解：
由一杯的茶水放在的空气中冷却，分钟后茶水温度是．
则，则，所以
所以．
设大约需要等待分钟口感最佳，则，则，
所以，
故大约需要等待分钟口感最佳．
根据题意，，
，
所以
因为，所以，又，所以，
所以．

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