2024-2025学年上海市普陀区华东师大附属进华中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区华东师大附属进华中学高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 终边相同的角一定相等 B. 钝角一定是第二象限角
C. 第一象限角一定不是负角 D. 小于的角都是锐角
2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，，，则( )
A. 的最大值为，最小值为 B. 的最大值为，无最小值
C. 的最大值为，无最小值 D. 的最大值为，最小值为
二、填空题：本题共12小题，共48分。
5.已知，则是第______象限角．
6.已知，则 ______．
7.给出下列四个命题：设集合，则；空集是任何集合的真子集；集合表示同一集合；集合，集合，则，其中正确的命题的序号是______．
8.扇形的面积是，它的周长是，则扇形的半径 ______．
9.函数的定义域是______．
10.已知是角终边上一点，且，则 ______．
11.已知且，若在上是严格增函数，则实数的取值范围是______．
12.函数的严格递减区间为______．
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为______．
14.已知函数，且，那么______．
15.已知函数有最小值，则的取值范围为______．
16.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式．
函数的单调区间和对称中心．
18.本小题分
已知函数为奇函数；
求以及实数的值；
在给出的直角坐标系如图所示中画出函数的图象并写出的单调区间．
19.本小题分
年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完注：利润销售额成本
求年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；
当年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
20.本小题分
幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
求的表达式；
求函数的单调区间只写结果，不要证明；
对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数是定义在区间上的函数．
判断函数的奇偶性；
用定义证明函数在区间上是增函数；
解不等式．
22.本小题分
设集合．
若，求；
若，求实数的取值范围．
23.本小题分
布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点“函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点．
判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．
已知函数，若是的次不动点，求实数的值；
若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.三
6.
7.
8.
9.且
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，所以，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为；
设，定义域为，
任取，，，
则，
因为，所以，
因为，，
所以，，
故，
所以，
所以函数在上单调递增，
任取，，，
则，
因为，所以，
因为，，
所以，，
故，
所以，
所以函数在上单调递增，
所以函数的单调递增区间有和，没有单调递减区间；
设，则，
因为函数的定义域为，
故函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为奇函数，
所以函数的对称中心为，
所以函数的对称中心为．
18.解：函数，
，
又为奇函数，
，
又由函数表达式可知，，
，解得，
故，；
由可知，，
，
根据的解析式作出函数图象如图所示，
根据的图象可得，的单调增区间为，
的单调减区间为和．
19.解：，
当时，，
当时，，
故；
由得，
当时，，
，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
故L，
，
故当年的年产量为百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为万元．
20.解：由函数图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，
所以，则，且为偶数，，则，
所以．
，，
使的单调增区间为、，单调减区间为、．
由题设在上恒成立，即在上恒成立，
由知在上单调递减，则，
所以．
21.解：因为，
故为奇函数；
证明：任取，
所以，，，，
则，
所以，
所以在上单调递增；
解：因为且在上单调递增，
所以，
所以，
故不等式的解集为
22.解：当时，集合中的不等式化为，
则，
解得，
所以，
或，
所以，
则；
或，
由，
当，则，满足，
当，则，满足，
当，则，不满足，
综上所述，实数的取值范围为．
23.解：当时，解得或，
是“不动点”函数，不动点是 和，
是“不动点”函数，
，，解得．
由题意可知：
在上，且，唯一，
函数在上仅有一个不动点时，，
，
令，在上是单调增函数．
．
函数在上仅有一个次不动点时，，
在上是单调增函数，
令，，即，
综上所述：．
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