2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
2.若两条直线与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知点是抛物线：的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.如图，平行六面体中，与交于点，设，则( )
A. B.
C. D.
5.若直线与双曲线：的一条渐近线平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.圆，圆，则圆与( )
A. 外离 B. 有条公切线
C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为
7.已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与圆：相交于，两点，则( )
A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为
C. 圆心到直线的距离为 D.
10.已知是等差数列的前项和，，且，则( )
A. 公差 B.
C. D. 时，最大
11.已知双曲线：的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于、其中在一象限，若，则列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.在等差数列中，若，则的值为 ．
13.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则______．
14.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为______；点，为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若是等比数列，且，，求的前项和．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点．
证明：平面D.
求平面与平面夹角的大小．
17.本小题分
已知抛物线：，过的直线交抛物线于，两点，是坐标原点，．
求抛物线的方程；
若点是抛物线的焦点，求的最小值．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，，，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥，为上一动点，
若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面；
若，
证明：平面平面；
当动点到平面的距离为时，求的值．
19.本小题分
已知为坐标原点，，是椭圆的左，右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为．
求椭圆的方程；
已知，是椭圆的左，右顶点，不与轴垂直的直线交椭圆于，两点，
若直线过点，求的面积的最大值；
记直线的斜率为，直线的斜率为，且证明：直线过定点．
参考答案
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15.解：Ⅰ设数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以的通项公式为．
Ⅱ设数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，
所以．
16.解：证明：由题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以，
因为，
所以，
所以平面D.
设平面的法向量为，又，
则，
令，则，
所以，
平面与平面夹角为，，
则，
所以．
17.解：由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为，
联立抛物线：的方程得：，
，
设，，则，．
又，
即，
所以，即，
所以抛物线的方程为．
由知：，，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
18.证明：取的中点，连接，，
由于为的中点，故且，
又且，故EC，，
故四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
故CF平面；
证明：由于，，为的中点，
故，
所以，故AC，
由于，，故为等边三角形，
又，，故梯形为等腰梯形，因此，
由于，，
故，即，
又，，平面，
故EB平面，平面，
故平面平面；
解：以分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间之间坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则由，，可得，
取，则，
设，
则，
则，故，
因此点到平面的距离，
解得，故．
19.解：根据题意可知，
所以，
因此：．
设：，
联立椭圆方程和方程可得，化简得，
设，，
根据韦达定理可得，
所以，
点到的距离为，
所以，
设，那么，所以，
所以，
因为，所以函数单调递增，因此函数，当且仅当时，等号成立，
因此，
因此三角形的面积的最大值为．
证明：设：，
联立椭圆方程和直线可得，化简得，
根的判别式，
设，，
根据韦达定理可得，
因为，在椭圆上，所以，
，
因为，所以，
所以
，所以，
当时，根的判别式，
因此
所以直线恒过．

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