辽宁省五校2025高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

辽宁省五校2025高三上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，且，则复数的虚部为( )
A. 或 B. C. D. 或
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则( )
A. B. C. D.
6.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列，则( )
A. B. C. D.
7.在数学上，常用表示不大于的最大整数，已知函数，则下列正确的是( )
A. 函数在定义域上是增函数 B. 函数的零点有无数个
C. 函数在定义域上的值域是 D. 不等式解集是；
8.设双曲线的右焦点为，双曲线上的两点、关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.设函数，则( )
A. 不是函数的极值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
11.已知抛物线的焦点为，，，为抛物线上的点，，若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，且两切线交于点．为抛物线的准线与轴的交点，则以下结论正确的是( )
A. 若，则
B. 直线的倾斜角
C. 若，则直线的方程为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆柱与圆锥的高均为，且二者底面半径相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ．
13.已知函数在区间上单调递增，其图象过点且在区间上有且仅有两条对称轴，则满足题意的 写出一个值即可
14.已知是的导函数，若恒成立，求正实数的最小值 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知．
求；
若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，过坐标原点和点的直线与椭圆交于两点，且．
求椭圆的方程；
直线与交于两点在轴的同侧，分别是椭圆的左，右焦点，当时，求四边形面积的最大值．
17.本小题分
高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项四个选项中有两个或三个选项是正确的，其评分标准为全部选对的得分，部分选对的得部分分两个正确选项的每个正确选项分，三个正确选项的每个正确选项分，有选错的得分．
考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得分的概率；
考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望；
现有道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得分的概率为，得分的概率为；考生丁得分的概率为，得分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得分的概率．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，已知底面，，点是线段上的动点．
求证：平面平面；
求直线与所成角的余弦值的最大值；
在线段上是否存在与不重合的点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
若无穷正项数列同时满足下列两个性质：存在，使得；为单调数列，则称数列具有性质，注：若数列的各项满足或，则称数列为递增递减数列递增或递减的数列统称为单调数列．
若，判断数列是否具有性质，并说明理由；
已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为证明：数列具有性质；
已知函数，试判断数列是否具有性质．
参考答案
1.
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5.
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8.
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12.
13.答案不唯一，，，任写一个即可
14.
15.【小问详解】
因为由余弦定理有：，
因为为的内角，所以
【小问详解】
因为由余弦定理有：
，
所以
设，由点在边上，且为锐角三角形，所以
所以．
在中，由，
所以，所以，
所以
由是定义域上的减函数，所以，
所以的范围为．

16.【小问详解】
由椭圆的离心率为，得，则，
椭圆方程化为，直线的斜率，其方程为，
由椭圆对称性，不妨设点，由，解得
因此，解得，
所以椭圆的方程为．
【小问详解】
如图，延长交于点，由知，
设，设的方程为，
由消去得，则
设与的距离为，四边形的面积为，
由及椭圆的对称性知，点与点关于原点对称，
则
又
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为．

17.【小问详解】
由题意得甲同学所有可能的选择答案有种，
而其中正确选项只有一个，设符合条件的事件为，故．
【小问详解】
乙同学所有可能的选择答案有种，即共有个样本点，
设乙同学本题可能得分为，则的可能取值为，
，，，
所以乙同学可能得分的分布列为
所以数学期望为．
【小问详解】
由题意得丙得分的 概率为，
丁得分的概率为，
丙丁总分刚好得分的情况包含：
事件：丙得分有一种情况，丁得分有三种情况，
则；
事件：丙得分有两种情况，丁得分有两种情况，
则；
事件：丙得分有三种情况，丁得分有一种情况，
则；
所以丙丁总分刚好得分的概率．

18.【小问详解】
由，，所以．
由平面，平面，所以．
由，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面．
【小问详解】
取中点，连接，
在梯形中，因为，，所以，，
则在中，，由，则，
易知两两垂直，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：
在四棱柱中，，则，
因为平面，平面，所以，
在中，，
则，，，，
取，，，
设平面 的 法向量为，可得，则
取，则，所以平面的一个法向量，
设点到平面的距离，
设直线与平面所成角为，则，即，
在四棱柱中，因为，且平面，
所以当直线与所成角为时，其余弦值取得最大值，即为．
【小问详解】
由题意作图如下：由题可知
，，，
因为，所以，则，，
，
设平面 的 法向量，可得
则，令，则
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量，可得
则，令，则
所以平面的一个法向量，
设二面角的大小为，
则，
由二面角的正弦值为，则，
可得，化简可得，解得或，
由，则，故存在，．

19.【小问详解】
因为单调递增，不存在正数，
使得恒成立，所以数列不具有性质．
因为，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质．
【小问详解】
因为，
若为奇数的概率为为偶数的概率为，
则，
记为，
，
记为，
而，即，
所以当时，，
故随着的增大而增大，且，即数列具有性质．
【小问详解】
令，
则，，，
所以当时，在上递减，而，
故，由零点存在性定理得在有唯一的零点，
得到，即，
且当时，，即，
当时，，即
由，可知，
此时在上单调递增；
由，
得到，
故，
假设时，成立，
则，
即成立，
结合可得：对于任意恒成立，
故为递增数列，为递减数列．
对数列，存在，使，所以数列具有性质．
对数列，存在，使，所以数列也具有性质．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理运用导数和数学归纳法，然后结合给定定义得到所要求证明的命题即可．

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