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《平方差公式》习题
一、选择题
1．计算：(a+2)(a-2)的结果是( )
A.a2+4 B.a2-4 C.2a-4 D.2a
2．计算(a+1)2(a-1)2的结果是( )
A.a4-1 B.a4+1 C.a4+2a2+1 D.a4-2a2+1
3．计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是( )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
4．计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )
A.a8-b8 B.a6-b6 C.b8-a8 D.b6-a6
二、填空题
5．(a2+1)(a+1)(_____)=a4-1．
6．观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____．
7．(a+1)(a-1)(1-a2)=_____．
8．(x-_____-3)(x+2y-_____)=[(_____)-2y][(_____)+2y]www.21-cn-jy.com
9．(x+2y-3)(x-2y-3)=_____-_____．
10．若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=_____．
三、解答题
11． 计算: ( a－2b ) ( －2b－a ) ．
12．已知：x+y=6，xy=4．(1)求x2+y2的值；(2)求(x-y)2的值；(3)求x4+y4的值
13．若x2+y2=86，xy=-16，求(x-y)2．
14．已知：x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，求x+y的值．
15．知(m+n)2=10，(m-n)2=2，求 m4+n4 的值．
参考答案
一、选择题
1．答案：B
解析：【解答】（a+2）（a-2）=a2-22=a2-4．故选B
【分析】根据平方差公式展开，即可求出答案．
2．答案：D
解析：【解答】（a+1）2（a-1）2=[（a+1）（a-1）]2=（a2-1）2=a4-2a2+1．故选D．
【分析】此题首先利用积的乘方公式把所求代数式变为[（a+1）（a-1）]2，然后利用平方差公式化简，再利用完全平方公式即可求出结果． 21世纪教育网版权所有
3．答案：A
解析：【解答】a2-（a+1）（a-1）=a2-（a2-1）=a2-a2+1=1．故选A．
【分析】先利用平方差公式计算，再根据整式的加减运算法则，计算后直接选取答案．
4．答案：C
解析：【解答】（a4+b4） ( http: / / www.21cnjy.com )（a2+b2）（b-a）（a+b）=（a4+b4）（a2+b2）（b2-a2）
=（a4+b4）（b4-a4）=b8-a8．故选C．2·1·c·n·j·y
【分析】多次运用平方差公式计算即可．
二、填空题
5．答案：（a-1）
解析：【解答】a4-1=（a2+1）（a2-1）=（a2+1）（a+1）（a-1）．
【分析】根据平方差公式的运算即可得出答案．
6．答案：a5-1 22013-1
解析：【解答】（a-1）（a4+a3+a2 ( http: / / www.21cnjy.com )+a+1）=a5-1；
22012+22011+…+22+2+1=1×（22012+22011+…+22+2+1）=（2-1）（22012+22011+…+22+2+1）=22013-1．
【分析】根据题目信息，可得：（a-1）（an+an-1+an-2+…+a2+a+1）=an+1-1，由此计算即可．
7．答案：-a4+2a2-1
解析：【解答】（a+1）（a-1）（1-a2）=（ a2-1）（1-a2）=-a4+2a2-1；
【分析】根据平方差公式分别进行计算，再合并同类项即可求出答案．
8．答案：2y 3 x-3 x-3
解析：【解答】（x-2y-3）（x+2y-3）=[（x-3）-2y][（x-3）+2y]．
【分析】本题是平方差公式的应用，通过左右对照，相同项是x-3；相反项是-2y，2y．填空即可．
9．答案：（x-3）2 （2y）2．
解析：【解答】（x+2y-3）（x-2y-3）=（x-3）2-（2y）2．
【分析】根据平方差公式计算．
10．答案：24．
解析：【解答】x2-y2=（x+y）（x-y）=48，
∵x+y=6，∴x-y=8，
则3x-3y=3（x-y）=3×8=24．21·cn·jy·com
【分析】先按照平方差公式把 ( http: / / www.21cnjy.com )x2-y2=48写成（x+y）（x-y）=48的形式，再由x+y=6得出x-y的值，然后把3x-3y写成3（x-y）的形式，最好把x-y的值代入即可．
三、解答题
11．答案：1，12．
解析：【解答】原式＝(－2b)２－a２ ＝４b２－a２．
【分析】 此题是－2b与a这两个数的和与这两个数的差相乘的积, 符合平方差公
式, 所以就等于这两数的平方差．
12．答案：（1）28；（2）20；（3）368．
解析：【解答】∵x+y=6，xy=4， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴（1）x2+y2=（x+y）2-2xy=62-2×4=28；
（2）（x-y）2=x2+y2-2xy=28-2×4=20；
（3）x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2=202-2×42=368．21教育网
【分析】（1）利用x2+y2=（x ( http: / / www.21cnjy.com )+y）2-2xy计算即可；
（2）利用（x-y）2=x2+y2-2xy计算即可；
（3）利用x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2计算即可．21cnjy.com
13．答案：118．
解析：【解答】∵（x-y）2=x2+y2-2xy，且x2+y2=86，xy=-16，
∴（x-y）2=86-2×（-16）=118．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】根据完全平方公式得到（x-y）2=x2+y2-2xy，然后把x2+y2=86，xy=-16代入计算即可．
14．答案：x+y=-7或x+y=6．
解析：【解答】x2+xy+y=14 ( http: / / www.21cnjy.com )①，y2+xy+x=28②，
∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）-42=0，
∴（x+y+7）（x+y-6）=0，
∴x+y+7=0或x+y-6=0，
解得：x+y=-7或x+y=6．21·世纪*教育网
【分析】由x2+xy+y=14，y2+xy+ ( http: / / www.21cnjy.com )x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，则变形得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．www-2-1-cnjy-com
15．答案：28．
解析：【解答】（m+n）2 ( http: / / www.21cnjy.com )=10，（m-n）2=2，
∴m2+2mn+n2=10，m2-2mn+n2=2，
相减得：4mn=8，
∴2mn=4，
∴m4+n4
=（m2+n2）2-2（mn）2
=[（m+n）2-2mn]2-8
=[10-4]2-8
=36-8
=28．2-1-c-n-j-y
【分析】根据已知求出2mn的值，把m4+n4化成含有（m+n）2和2mn的形式，代入即可．
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《平方差公式》教案
教学目标
一、知识与技能
1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
2．会运用平方差公式进行简单的计算；
二、过程与方法
1．培养学生观察、猜想、总结的能力；
2．培养学生的动手能力和实践能力；
三、情感态度和价值观
1．通过学生的观察、对比、发现规律，体验教学活动充满 探索性和创造性；
2．通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；
教学重点
平方差公式的应用；
教学难点
会灵活用平方差公式进行运算；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
2课时
教学过程
一、导入
王敏同学去商店买了单价是9. ( http: / / www.21cnjy.com )8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”21世纪教育网版权所有
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
二、新课
计算下列各题：
（1）( x + 2 ) ( x - 2 )； （2）( 1 + 3 a ) ( 1 - 3 a )；21教育网
（3）( x + 5 y ) ( x - 5 y )； （4）( 2 y + z ) ( 2 y - z )．21cnjy.com
思考：
1、观察算式结构，你发现了什么规律？
2、计算结果后，你又发现了什么规律？
平方差公式
( a + b) ( a - b )= a2 – b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
请注意：
公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式.
在此基础上，让学生用语言叙述公式，总结公式结构特征：
(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；【来源：21·世纪·教育·网】
(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方;
(3) 公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式．
三、例题
直接运用新知，解决第一层次问题．
例1 利用平方差公式计算：
（1）( 5+ 6x) ( 5-6x)； （2）( x-2y) ( x+2y)；
（3）(- m+n) (-m-n)
解：（1）( 5 + 6 x) ( 5 - 6 x ) = 52 - ( 6 x ) 2 = 25 - 36 x2；21·cn·jy·com
（2）( x - 2 y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2 = x2 - 4 y2；21·世纪*教育网
（3）( - m + n ) ( - m - n ) = ( - m )2 - n 2 = m2 - n2．2-1-c-n-j-y
例2 利用平方差公式计算：
（1） ；
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
解：
（1）
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ．
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1)请表示图中的阴影部分的面积.
a2-b2
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b)
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
答：由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a-1) (a+1) = a2 – 1 平方差公式
例3 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97; (2)118×122
解: (1) 103×97=(100+3)(100-3)=1002-32=9991
(2)118×122=(120-2)(120+2)=1202-22=14396
例4 计算：
(1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2=a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4www.21-cn-jy.com
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=4x2-52-(4x2-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-252·1·c·n·j·y
四、习题
1、计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x - ) (x+ )
解：
(1)704×696=(700+4)(700-4)=490000-16=489984
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)= x2-4y2+x2-1=2x2-4y2-1 www-2-1-cnjy-com
(3)x(x-1)-(x - ) (x+ ) = x2- x -(x2 - ) = - x + 21*cnjy*com
五、拓展
公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用(1)简化某些多项式的乘法运算
(2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示公式中的a，b可表示
(1)单项式
(2)具体数
(3)多项式
六、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
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初中数学北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除
5 平方差公式
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
导入
计算下列各题：
（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；
（3）( x+5 y) ( x-5y )；（4）( 2 y+z ) (2y- z )．
（1）x2 -x2 ； （2）1- 9a2；
（3）x2-25y 2；（4）4y2 - z2 ．
新课
思考：
1、观察算式结构，你发现了什么规律？
2、计算结果后，你又发现了什么规律？
新课
新课
两数和与这两数差的积等于它们的平方差.
a2-b2
(a+b)(a-b)
＝
平方差公式
请注意：
公式中的a，b既可代表单项式，还可代表具体的数或多项式。
左边
右边
相同
互为相反数
例1 利用平方差公式计算：
（1）( 5+ 6x) ( 5-6x)； （2）( x-2y) ( x+2y)；
（3）(- m+n) (-m-n)
例题
解：（1）( 5 + 6 x) ( 5- 6 x) = 52 - ( 6 x )2 = 25- 36x2；
（2）( x - 2y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2 = x2 - 4y2；
（3）( -m+n ) ( -m-n ) = ( - m )2 - n2 = m2 -n2．
例题
例2 利用平方差公式计算：
（1） ；
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
例题
解：
（1）
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ．
例题
新课
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
a
b
a
b
新课
(1)请表示图中的阴影部分的面积.
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
a2-b2
长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b)
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
答：由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
新课
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
7×9=
8×8=
11×13=
12×12=
79×81=
80×80=
63
64
143
144
639
640
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a-1) (a+1) = a2 – 1 平方差公式
例题
例3 用平方差公式进行计算：
解: (1) 103×97
=(100+3)(100-3)
=1002-32
=9991
(2)118×122
=(120-2)(120+2)
=1202-22
=14396
(1) 103×97; (2)118×122
例题
例4 计算：
(1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
例题
解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2
=a2(a2-b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2
=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=4x2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
习题
1、计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x - ) (x+ )
习题
解：
(1)704×696=(700+4)(700-4)=490000-16=489984
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)= x2-4y2+x2-1=2x2-4y2-1
(3)x(x-1)-(x - ) (x+ ) = x2- x -(x2 - ) = - x +
拓展
公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
公式中的a，b可表示
(1)单项式
(2)具体数
(3)多项式
三个表示
(1)简化某些多项式的乘法运算
(2)提供有理数乘法的速算方法
两种作用
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2
2.应用平方差公式 时要注意一些什么？
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
