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《完全平方公式》习题
一、选择题
1．下列等式成立的是( )
A.（-1）3=-3
B.（-2）2×（-2）3=（-2）6
C.2a-a=2
D.（x-2）2=x2-4x+4
2．若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为( )
A.-20xy B.20xy C.40xy D.-40xy
3．下列计算中，正确的是( )
A.x2 x5=x10
B.3a+5b=8ab
C.（a+b）2=a2+b2
D.（-x）6÷（-x）4=x2
4．下面各运算中，结果正确的是( )
A.2a3+3a3=5a6
B.-a2 a3=a5
C.（a+b）（-a-b）=a2-b2
D.（-a-b）2=a2+2ab+b2
5．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为( )
A.12 B.6 C.3 D.0
6．不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为( )
A.正数 B.零 C.负数 D.非负数
二、填空题
7．已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．
8．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．
9．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．
10．填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．
三、解答题
11． 已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．
12．已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：
(1)ab的值是多少？
(2)a2+b2的值是多少？21教育网
13．已知2(x+y)=-6，xy=1，求代数式(x+2)-(3xy-y)的值．
14．计算：
①29.8×30.2；
②46×512；
③2052．
15．计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．
参考答案
一、选择题
1．答案：D
解析：【解答】A：（-1）3=（-1）× ( http: / / www.21cnjy.com )（-1）×（-1）=-1，故选项A错误；
B：（-2）2×（-2）3=（-2）2+3=（-2）5，故选项B错误；
C：2a-a=（2-1）a=a，故选项C错误；
D：（x-2）2=x2-2 x 2+22=x2-4x+4，故选项D正确．
故选：Dwww.21-cn-jy.com
【分析】根据同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加，以及有理数的乘方，完全平方公式算出即可．
2．答案：D
解析：【解答】（2x-5y）2=（2x+5y）2+m，
整理得：4x2-20xy+25y2=4x2+20xy+25y2+m，
∴-20xy=20xy+m，
则m=-40xy．
故选：D
【分析】利用完全平方公式化简已知等式，根据多项式相等的条件即可求出m．
3．答案：D
解析：【解答】A、因为x2 ( http: / / www.21cnjy.com )x5=x2+5=x7，故本选项错误；
B、3a和5b不是同类项的不能合并，故本选项错误；
C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
D、（-x）6÷（-x）4=（-x）6-4=（-x）2=x2．正确．
故选D．21世纪教育网版权所有
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．2·1·c·n·j·y
4．答案：D
解析：【解答】A、原式=5a ( http: / / www.21cnjy.com )3，故选项错误；
B、原式=-a5，故选项错误；
C、原式=-（a+b）2=-a2-2ab-b2，故选项错误；
D、原式=（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项正确．
故选D．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】A、原式合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com )得到结果，即可做出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式变形后，利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【来源：21cnj*y.co*m】
5．答案：A
解析：【解答】原式=2（m2+2mn+n2）-6，
=2（m+n）2-6，
=2×9-6，
=12．
故选A．【出处：21教育名师】
【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．
6．答案：A
解析：【解答】x2+y2-10x+8y ( http: / / www.21cnjy.com )+45，
=x2-10x+25+y2+8y+16+4，
=（x-5）2+（y+4）2+4，
∵（x-5）2≥0，（y+4）2≥0，
∴（x-5）2+（y+4）2+4＞0，
故选A．21教育名师原创作品
【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．
二、填空题
7．答案：8
解析：【解答】∵（a-b）2=32 ( http: / / www.21cnjy.com )=9，
∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=8
【分析】应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．
8．答案：16
解析：【解答】∵a+b=4，
∴a ( http: / / www.21cnjy.com )2+2ab+b2=（a+b）2=16．
【分析】原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．
9．答案：2或-2
解析：【解答】∵a2b2+a2+b2+1-2 ( http: / / www.21cnjy.com )ab=2ab，
∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，
∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，
∴（ab-1）2+（a-b）2=0，
∴ab=1，a-b=0，
∴a=b=1或-1，
∴a+b=2或-2．21·cn·jy·com
【分析】首先把2ab移到等 ( http: / / www.21cnjy.com )式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．21·世纪*教育网
10．答案：4xy
解析：【解答】（x+y） ( http: / / www.21cnjy.com )2-（x-y）2
=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．
【分析】所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
11．答案：见解答过程
解析：【解答】xy＞x+y，
理由是： ( http: / / www.21cnjy.com )∵x＞2，y＞2，
∴xy＞2y，xy＞2x，
∴相加得：xy+xy＞2y+2x，
∴2xy＞2（x+y），
∴xy＞x+y．21cnjy.com
【分析】根据已知得出xy＞2y，xy＞2x，相加得出xy+xy＞2y+2x，即可求出答案．
12．答案：（1）ab=1；（2）a2+b2=22．
解析：【解答】∵（a+b）2=24，（ ( http: / / www.21cnjy.com )a-b）2=20，
∴a2+b2+2ab=24…①，
a2+b2-2ab=20…②，
（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；
（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．2-1-c-n-j-y
【分析】由（a+b）2=24，（a ( http: / / www.21cnjy.com )-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．21*cnjy*com
13．答案：-4．
解析：【解答】∵2（x+y）=-6，即x ( http: / / www.21cnjy.com )+y=-3，xy=1，
∴（x+2）-（3xy-y）=x+2-3xy+y=（x+y）-3xy+2=-3-3+2=-4．
【分析】将所求式子去括号整理变形后，把x+y与xy的值代入计算，即可求出值．
14．答案：①899.96；②1012；③42025．
解析：【解答】①29.8×30.2= ( http: / / www.21cnjy.com )（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96；
②46×512=212×512=（2×5）12=1012；
③2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025．【版权所有：21教育】
【分析】
①首先将原式变为：（30+0.2）（3 ( http: / / www.21cnjy.com )0-0.2），然后利用平方差公式求解即可求得答案；
②利用幂的乘方，可得46=212，然后由积的乘方，可得原式=（2×5）12=1012；
③首先将205化为：200+5，然后利用完全平方公式求解即可求得答案．
15．答案：a2-4b2+12bc-9c2
解析：【解答】（a-2b+3c ( http: / / www.21cnjy.com )）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2
=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2． 21*cnjy*com
【分析】首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到
a2-（2b-3c）2，求出结果．
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《完全平方公式》教案
教学目标
一、知识与技能
1．完全平方公式的推导及其应用；
2．完全平方公式的几何证明；
二、过程与方法
1．经历探索完全平方公式的过程；
2．进一步发展符号感和推理能力；
三、情感态度和价值观
1．对学生观察能力、概括能力、语言表述能力的培养，以及数学思想的渗透；
2．通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；
教学重点
完全平方公式的推导过程；
教学难点
完全平方公式结构特点及其应用；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
1课时
教学过程
一、导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
（x＋3)( x＋3）=x2＋3x＋3x＋9=x2＋6x＋9
二、新课
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 921cnjy.com
= m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9，
( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x221·cn·jy·com
= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2 ．
完全平方公式的数学表达式：
和的完全平方公式：
差的完全平方公式：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
想一想：（1）两个公式中的字母都能表示什么 数或代数式
（2）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗
完全平方公式在计算化简中有些什么作用
三、例题
例1 利用完全平方公式计算：
（1）( 2 x - 3 ) 2 ； （2）( 4 x + 5 y )2 ； （3）( mn - a ) 2 ．21教育网
解：（1）(2x-3)2 = (2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9；
（2）(4x+5y)2= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2；
（3）( mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
怎样计算1022 ，1972 更简单呢？
（1）1022 ； （2）1972 ．
（1）1022=(100+2)2 （2）1972=(200-3)2
= 1002+2×100×2+22 =2002-2×200×3+32
= 10000+400+4 =40000-1200+9
=10404； =38809．
能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固。需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习。
例2 计算：
（1）( x + 3 ) 2 - x 2 ；
（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )；
（3）( x + 5 ) 2 -（x-2）(x-3） ．
解： （1）( x + 3 ) 2 - x 2
= x 2 + 6 x + 9 - x 2
= 6 x + 9；
（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )
= [ ( a + b ) + 3 ] [ ( a + b ) - 3 ]
= ( a + b ) 2 - 3 2
= a 2 + 2 ab + b 2 - 9；
（3）( x + 5 ) 2 - ( x - 2 ) ( x - 3 )
= x 2 + 10 x + 25 - ( x 2 - 5 x + 6 )
= x 2 + 10 x + 25 - x 2 + 5 x - 6
= 15 x + 19．
四、习题
1、计算
（1）96 2 ； （2）( a - b - 3 ) ( a - b + 3 )．
解：
（1）96 2 =(100-4)2 = 1002-2×100×4+42 =9216 ；
（2）( a-b -3 ) ( a -b+3 ( http: / / www.21cnjy.com ) )=[( a – b) - 3 ][ ( a – b) + 3 ]=( a – b)2-32=a 2–2a b +b2-9．
五、拓展
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a，b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式还可以是多项式，所以要记得添括号.21世纪教育网版权所有
2.解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.
六、小结
完全平方公式的数学表达式：
和的完全平方公式：
差的完全平方公式：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
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初中数学北师大版七年级下册
第一章 整式的乘除
6 完全平方公式
导入
（x ＋ 3)( x＋3）
=x2
＋3x
＋3x
＋9
=x2
＋6x
多项式与多项式是如何相乘的？
＋9
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9
= m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9，
( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x )
= 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2
= 4 + 12 x + 9 x2 ．
新课
新课
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方
公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
思考:
新课
完全平方公式的数学表达式：
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
例1 利用完全平方公式计算：
（1）( 2 x - 3 ) 2 ；
（2）( 4 x + 5 y )2 ；
（3）( mn - a ) 2 ．
例题
解：（1）(2x-3)2 = (2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9；
（2）(4x+5y)2= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2；
（3）( mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
例题
新课
怎样计算1022 ，1972 更简单呢？
（1）1022 ； （2）1972 ．
新课
解：（1）1022=(100+2)2
= 1002+2×100×2+22
= 10000+400+4
=10404；
（2）1972=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809．
例题
例2 计算：
（1）( x + 3 ) 2 - x 2 ；
（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )；
（3）( x + 5 ) 2 -（x-2）(x-3）
例题
解： （1）( x + 3 )2 - x2
= x2 + 6 x + 9- x2= 6x+ 9；
（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )
= [ ( a + b ) + 3 ] [ ( a + b ) - 3 ] = ( a + b )2 - 32
= a2 + 2 ab + b2 - 9；
（3）( x + 5 )2 - ( x - 2 ) ( x - 3 )
= x2 + 10 x + 25 - ( x 2 - 5 x + 6 )
= x2 + 10 x + 25 - x2 + 5 x - 6
= 15 x + 19．
习题
1、计算
（1）96 2 ；
（2）( a - b - 3 ) ( a - b + 3 )．
习题
解：（1）96 2 =(100-4)2
= 1002-2×100×4+42
=9216 ；
（2）( a-b -3 ) (a-b+3 )
=[( a– b) - 3 ][ ( a – b) + 3 ]
=( a – b)2-32
=a2–2a b +b2-9．
拓展
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a，b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式还可以是多项式，所以要记得添括号.
2.解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
.
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
