专题01 平面向量的概念精讲精练
（一）向量的定义
向量是既有大小又有方向的量。用有向线段表示向量时，有向线段的长度就是向量的大小（即模），箭头所指方向为向量的方向。向量可用字母如、等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 。
（二）零向量
长度为0的向量是零向量，记作。零向量方向任意，它与任意向量平行，在向量运算里，满足等特殊运算规则。
（三）单位向量
模等于1个单位长度的向量叫单位向量。对于非零向量，同方向的单位向量是 ，单位向量常用来明确向量方向。
（四）相等向量
长度相等且方向相同的向量是相等向量，若和相等，记为 ，相等向量与起点、终点位置无关。
（五）平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量是平行向量，也叫共线向量，规定零向量与任意向量平行，向量和平行记作 。
（一）向量概念的理解与判断
此考点考查对向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念的掌握，常以判断命题真假的形式出现。
（23 - 24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；
（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；
（4）零向量的长度为0。
A．1
B．2
C．3
D．4
（多选）（23 - 24高一下·山东青岛）设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（ ）
A．是单位向量
B．
C．
D．
（二）向量的表示与模的计算
考查向量不同表示方法，以及依据向量坐标或几何关系求向量的模。
（23 - 24高二下·江苏南京·期末检测）已知点，，则向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
（23 - 24高三上·湖北武汉·月考）已知向量，则等于（ ）
A．1
B．
C．
D．5
（三）单位向量与共线向量问题
常涉及求与已知向量共线的单位向量，或依据向量共线条件求参数值。
（24 - 25高三·全国·阶段练习）已知向量，，则与共线的单位向量为（ ）
A.
B.
C.或
D.或
（23 - 24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（ ）
A.- 2
B.2
C.-
D.
（一）概念判断类
（23 - 24高二上·四川成都·随堂测验）下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则且与方向相同
C. 单位向量都相等
D. 零向量没有方向
（23 - 24高二下·浙江杭州·单元评估）（多选）下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 向量与向量是相等向量
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则与方向相同或相反
（23 - 24高三上·辽宁大连·模拟训练）给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
②若，则，，，四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形中，一定有；
④若，，则；
⑤若，，则。
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①②⑤
B. ③④
C. ③⑤
D. ①④⑤
（23 - 24高二上·湖南长沙·课堂小测）下列关于向量的说法错误的是（ ）
A. 若向量与向量平行，则存在实数使得
B. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
C. 单位向量不一定都平行
D. 零向量与任意向量的数量积都为
（23 - 24高二下·河南郑州·期中测试）（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A. 向量与平行，则与的方向相同或相反
B. 两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
C. 两个有公共终点的向量，一定是共线向量
D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段
（二）向量表示与模计算类
（23 - 24高二上·福建厦门·期中考试）已知点，，则向量的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高三下·河南郑州·适应性考试）若向量，且，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二下·安徽合肥·期末测试）已知向量，，。若点，，能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二上·山东济南·月考）已知向量，，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高三上·湖北武汉·模拟）已知向量，，若，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
（三）单位向量与共线向量类
（23 - 24高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量，则与同方向的单位向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二上·河北石家庄·周测）已知向量，，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高三下·江苏南京·冲刺训练）已知向量，，。若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（23 - 24高二下·山东青岛·期末）已知向量，则与共线的单位向量的坐标为（ ）
A.
B.
C. 或
D.
（23 - 24高二上·广东惠州·阶段检测）设向量， ，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.专题01 平面向量的概念精讲精练
（一）向量的定义
向量是既有大小又有方向的量。用有向线段表示向量时，有向线段的长度就是向量的大小（即模），箭头所指方向为向量的方向。向量可用字母如、等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 。
（二）零向量
长度为0的向量是零向量，记作。零向量方向任意，它与任意向量平行，在向量运算里，满足等特殊运算规则。
（三）单位向量
模等于1个单位长度的向量叫单位向量。对于非零向量，同方向的单位向量是 ，单位向量常用来明确向量方向。
（四）相等向量
长度相等且方向相同的向量是相等向量，若和相等，记为 ，相等向量与起点、终点位置无关。
（五）平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量是平行向量，也叫共线向量，规定零向量与任意向量平行，向量和平行记作 。
（一）向量概念的理解与判断
此考点考查对向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念的掌握，常以判断命题真假的形式出现。
（23 - 24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；
（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；
（4）零向量的长度为0。
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】：B
【解析】：
向量有大小和方向，有向线段有起点、终点和长度 ，二者概念不同，所以（1）错误；
零向量方向是任意的，并非没有方向，所以（2）错误；
零向量方向任意，（3）正确；
零向量的长度规定为0，（4）正确。
综上，正确的是（3）（4），共2个，选B。
（多选）（23 - 24高一下·山东青岛）设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（ ）
A．是单位向量
B．
C．
D．
【答案】：ABD
【解析】：
根据单位向量定义，对于非零向量 ，表示与同方向的单位向量，所以A正确；
单位向量的模长为1，对于 ，其模，所以B正确；
当时， ，当时，，所以一般情况下二者不相等，C错误；
根据向量点积公式（为与的夹角）， ，因为 ，，所以，D正确。
（二）向量的表示与模的计算
考查向量不同表示方法，以及依据向量坐标或几何关系求向量的模。
（23 - 24高二下·江苏南京·期末检测）已知点，，则向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】：B
【解析】：
向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标。
即
，所以选B。
（23 - 24高三上·湖北武汉·月考）已知向量，则等于（ ）
A．1
B．
C．
D．5
【答案】：C
【解析】：
对于向量 ，其模长公式为。
已知，则
，所以选C。
（三）单位向量与共线向量问题
常涉及求与已知向量共线的单位向量，或依据向量共线条件求参数值。
（24 - 25高三·全国·阶段练习）已知向量，，则与共线的单位向量为（ ）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】：C
【解析】：
先求 ：
。
设与共线的单位向量为，
因为单位向量模为1，所以 ①；
又因为与共线，两向量，共线的充要条件是，所以，即 ②。
将②代入①得：
解得。
当时：
，
对，进行分母有理化并化简，分子分母同乘以，得到，；
当时：
，
同样进行分母有理化并化简，得到，。
所以与共线的单位向量为或，选C。
（23 - 24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（ ）
A.- 2
B.2
C.-
D.
【答案】：A
【解析】：
因为与共线，所以存在实数，使得，
即。
由于、不共线，所以，
将代入，得，
解得，选A。
（一）概念判断类
（23 - 24高二上·四川成都·随堂测验）下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则且与方向相同
C. 单位向量都相等
D. 零向量没有方向
【答案】：B
【解析】：
A选项，当时，因为零向量与任意向量平行，所以即使且，与也不一定平行，A错误。
B选项，根据相等向量的定义，长度相等且方向相同的向量称为相等向量。所以若，必然有且与方向相同，B正确。
C选项，单位向量是指模等于的向量，但方向不一定相同。向量相等需要模相等且方向相同，所以单位向量不一定都相等，C错误。
D选项，零向量的方向是任意的，并不是没有方向，D错误。
（23 - 24高二下·浙江杭州·单元评估）（多选）下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 向量与向量是相等向量
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则与方向相同或相反
【答案】：BD
【解析】：
A选项，向量与向量的大小相等，但方向相反。根据相等向量的定义，它们不是相等向量，A错误。
B选项，向量的模为时，该向量就是零向量，所以若，则，B正确。
C选项，只能说明向量与的模相等，但方向不一定相同。而相等向量要求模相等且方向相同，所以不一定等于，C错误。
D选项，平行向量（共线向量）的定义是方向相同或相反的非零向量，并且规定零向量与任意向量平行。所以若，则与方向相同或相反（当其中一个为零向量时也满足平行关系），D正确。
（23 - 24高三上·辽宁大连·模拟训练）给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
②若，则，，，四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形中，一定有；
④若，，则；
⑤若，，则。
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①②⑤
B. ③④
C. ③⑤
D. ①④⑤
【答案】：B
【解析】：
①相等向量是指大小相等且方向相同的向量，与它们的起点和终点的位置无关。例如，在平面内将一个向量平移后，它的大小和方向不变，仍然与原向量相等，所以①错误。
②当时，，，，四点有可能在同一条直线上，此时这四点不能构成平行四边形，所以②错误。
③在平行四边形中，平行且等于，根据向量相等的定义（大小相等且方向相同），向量与大小相等且方向相同，所以一定有，③正确。
④由相等向量的传递性可知，若，，那么与的大小相等且方向相同，所以，④正确。
⑤若，因为零向量与任意向量平行，所以当且时，与不一定平行，⑤错误。
综上，正确的是③④，【答案】选B。
（23 - 24高二上·湖南长沙·课堂小测）下列关于向量的说法错误的是（ ）
A. 若向量与向量平行，则存在实数使得
B. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
C. 单位向量不一定都平行
D. 零向量与任意向量的数量积都为
【答案】：A
【解析】：
A选项，若，而，因为零向量的方向是任意的，不存在实数使得非零向量与零向量满足，所以A错误。
B选项，根据相等向量的定义，只要两个向量的模相等且方向相同，无论它们的起点位置如何，都认为这两个向量是相等向量，所以起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量，B正确。
C选项，单位向量是模长为的向量，它们的方向可以是任意的。所以单位向量之间的方向不一定相同或相反，即单位向量不一定都平行，C正确。
D选项，根据向量数量积公式（其中为与的夹角），零向量的模，所以零向量与任意向量的数量积，D正确。
（23 - 24高二下·河南郑州·期中测试）（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A. 向量与平行，则与的方向相同或相反
B. 两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
C. 两个有公共终点的向量，一定是共线向量
D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段
【答案】：AB
【解析】：
A选项，平行向量（共线向量）的定义是方向相同或相反的非零向量，并且规定零向量与任意向量平行。所以当向量与平行时，若，都不为零向量，则与的方向相同或相反；若其中一个为零向量，也满足平行关系，A正确。
B选项，相等向量的大小相等且方向相同。若两个向量有共同起点且相等，由于它们的大小和方向都相同，根据向量的性质，将它们的起点固定后，终点的位置是唯一确定的，所以其终点必相同，B正确。
C选项，两个有公共终点的向量，它们的起点位置不确定，方向也不一定相同或相反。共线向量要求方向相同或相反，所以两个有公共终点的向量不一定是共线向量，C错误。
D选项，向量是既有大小又有方向的量，而有向线段是具有方向的线段，它有起点、终点和长度。向量可以用有向线段来表示，但有向线段只是向量的一种直观表示方式，不能说有向线段就是向量，向量就是有向线段，它们的概念是不同的，D错误。
（二）向量表示与模计算类
（23 - 24高二上·福建厦门·期中考试）已知点，，则向量的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】：根据向量坐标运算，对于向量，其坐标等于终点的坐标减去起点的坐标。
即，所以选B。
（23 - 24高三下·河南郑州·适应性考试）若向量，且，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：对于向量，其模长公式为。
已知且，将其代入模长公式可得。
两边同时平方得到，移项可得。
对开平方，解得，所以选C。
（23 - 24高二下·安徽合肥·期末测试）已知向量，，。若点，，能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：若点，，能构成三角形，则向量与不共线。
先求；
再求。
若两向量，共线，则。
对于和，有。
展开式子得，合并同类项得，解得。
所以当时，点，，能构成三角形，选C。
（23 - 24高二上·山东济南·月考）已知向量，，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：
先计算：
已知，
则。
根据向量模长公式，对于向量，有：
，选A。
（23 - 24高三上·湖北武汉·模拟）已知向量，，若，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：D
【解析】：
因为，所以可得方程组。
解第一个方程，根据等式的性质，等式两边同时减去，得到。
解第二个方程，等式两边同时减去，可得。
由此得出，。
所以，先计算括号内的值，，，即。
根据向量模长公式，对于向量，有：
，而，，，，，，，，因为，，这里题目可能是在计算过程中出现了约等情况，按照精确计算，最接近的是（在选项中选择），所以选D。
（三）单位向量与共线向量类
（23 - 24高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量，则与同方向的单位向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：对于非零向量，其模长，这里，则。与同方向的单位向量是 ，即，所以选A。
（23 - 24高二上·河北石家庄·周测）已知向量，，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：已知两向量，，若，则。因为，且，所以，即 ，移项可得，解得，选C。
（23 - 24高三下·江苏南京·冲刺训练）已知向量，，。若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
【解析】：
先计算：
因为 ，
所以。
因为且，根据两向量平行坐标关系，这里，，，，则 ，即，解得，选A。
（23 - 24高二下·山东青岛·期末）已知向量，则与共线的单位向量的坐标为（ ）
A.
B.
C. 或
D.
【答案】：C
【解析】：
对于向量，其模，已知，则。
与共线的单位向量为。
当取正号时，；
当取负号时，。
所以与共线的单位向量的坐标为或，选C。
（23 - 24高二上·广东惠州·阶段检测）设向量， ，若，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】：已知两向量，，若，则。因为，且，所以 。
展开式子得：。
合并同类项：。
移项可得：，选C。
