第7讲 分式方程
分式方程及其解法
1．（2024济宁）解分式方程1－ = - 时，去分母变形正确的是( )
A.2-6x+2＝-5 B.6x-2-2＝-5
C.2-6x-1＝5 D.6x-2+1＝5
2．已知关于x的方程=13的解是x＝1，则a的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3．【注意过程性学习】解分式方程 += 分以下四步，其中错误的一步
是 ( )
A.最简公分母是（x+1）（x-1）
B.去分母，得2（x-1）+3（x+1）＝6
C.解整式方程，得x＝1
D.原方程的解为x＝1
4．（2024广东）方程 ＝ 的解是( )
A.x＝-3 B.x＝-9 C.x＝3 D.x＝9
5．（2023巴中）关于x的分式方程 + ＝3有增根，则．
6．（2024牡丹江）若分式方程 =3 -的解为正整数，则整数m的值为．
7．（2024广州）解方程： ＝3x.
8．（2024福建）解方程：＋1＝．
分式方程的实际应用
9.【数学文化】(2023河西区二模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
A.2× = B.2× = C. =2× D. =2×
10．（2024宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程为( )
A. - =10 B. - =10 C. - = D. - =
11．（2024广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是( )
A. - 50 = B. - 50 =
C. + 50 = D. + 50=
12．（2024扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
13．【真实问题情境】（2024大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00-23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00-次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
1．（2024龙东地区）已知关于x的分式方程 -2= 无解，则k的值为( )
A.k＝2或k＝-1 B.k＝-2 C.k＝2或k＝1 D.k＝-1
2．【传统文化】（2023宁河区期末）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1 200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的1.2倍．
（Ⅰ）求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元；
（Ⅱ）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1 300元，最多购进50 袋甲种汤圆．第7讲 分式方程
分式方程及其解法
1．（2024济宁）解分式方程1－ = - 时，去分母变形正确的是（ A ）
A.2-6x+2＝-5 B.6x-2-2＝-5
C.2-6x-1＝5 D.6x-2+1＝5
2．已知关于x的方程=13的解是x＝1，则a的值为（ C ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3．【注意过程性学习】解分式方程 += 分以下四步，其中错误的一步
是 （ D ）
A.最简公分母是（x+1）（x-1）
B.去分母，得2（x-1）+3（x+1）＝6
C.解整式方程，得x＝1
D.原方程的解为x＝1
4．（2024广东）方程 ＝ 的解是（ D ）
A.x＝-3 B.x＝-9 C.x＝3 D.x＝9
5．（2023巴中）关于x的分式方程 + ＝3有增根，则 m＝ -1 ．
6．（2024牡丹江）若分式方程 =3 -的解为正整数，则整数m的值为 -1 ．
7．（2024广州）解方程： ＝3x.
解：去分母，得x＝6x-15，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x（2x-5）≠0，
故原方程的解为x＝3．
8．（2024福建）解方程：＋1＝．
解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
得3（x-2）+（x+2）（x-2）＝x（x+2），
整理得3x-10＝2x，
解得x＝10，
检验：当x＝10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x＝10．
分式方程的实际应用
9.【数学文化】(2023河西区二模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ B ）
A.2× = B.2× = C. =2× D. =2×
10．（2024宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程为（ C ）
A. - =10 B. - =10 C. - = D. - =
11．（2024广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ C ）
A. - 50 = B. - 50 =
C. + 50 = D. + 50=
12．（2024扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理（x+40）吨垃圾，
根据题意得 + 40=，
解得x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
13．【真实问题情境】（2024大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00-23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00-次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
解：设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为（x+0.2）元/度，
根据题意得 + 0.2=，
解得x＝0.3，
经检验，x＝0.3是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元/度．
1．（2024龙东地区）已知关于x的分式方程 -2= 无解，则k的值为（ A ）
A.k＝2或k＝-1 B.k＝-2 C.k＝2或k＝1 D.k＝-1
2．【传统文化】（2023宁河区期末）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1 200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的1.2倍．
（Ⅰ）求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元；
（Ⅱ）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1 300元，最多购进50 袋甲种汤圆．
解：（Ⅰ）设乙种汤圆的单价是x元，则甲种汤圆的单价是1.2x元，
由题意得 - ＝20，解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×10＝12．
答：甲种汤圆的单价是12元，乙种汤圆的单价是10元．
（Ⅱ）设购进m袋甲种汤圆，则购进（120-m）袋乙种汤圆，
由题意得12m+10（120-m）≤1 300，
解得m≤50，
即最多购进50袋甲种汤圆．故答案为：50．
