第8讲 一元二次方程
解一元二次方程
1.(2024天津)方程x2+4x+3＝0的两个根为( )
A.x1＝1，x2＝3 B.x1＝-1，x2＝3 C.x1＝1，x2＝-3 D.x1＝-1，x2＝-3
一元二次方程根与系数的关系
2.（2023天津）若x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个根，则( )
A.x1+x2＝6 B.x1+x2＝-6 C.x1x2＝76 D.x1x2＝7
一元二次方程及其解法
1．（2024贵州）一元二次方程x2-2x＝0的解是( )
A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0 C.x1＝3，x2＝-2 D.x1＝-2，x2＝-1
2．（2024凉山）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4＝0的一个根是x＝0，则a的值为( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.12
3．（2024赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( )
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
4．【新定义】（2024广州）定义新运算：ab＝例如：-24＝（-2）2-4＝0，23＝-2+3＝1．若x1＝-34，则x的值为．
5．条件开放设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝-1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6.(2024红桥区二模)若一元二次方程x2+x-2＝0的两个根分别为x1，x2，则 +的值
为( )
A.-12 B.12 C.-2 D.2
7．（2024兰州）关于x的一元二次方程9x2-6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝( )A.-9 B.4 C.-1 D.1
8．（2024自贡）关于x的方程x2+mx-2＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
9.(2024河东区二模)若x1，x2是方程x2-8x+7＝0的两个根，则 ＝( )
A.78 B.-78 C.87 D.-87
10．（2024广安）若关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜0且m≠-1 B．m≥0 C．m≤0且m≠-1 D．m＜0
11.(2024和平区三模)若x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
12．（2024烟台）若一元二次方程2x2-4x-1＝0的两根为m，n，则3m2-4m+n2的值为．
13．（2024广州）关于x的方程x2-2x+4-m＝0有两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）化简： ÷·．
一元二次方程的实际应用
14．（2024河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝( )
A.1 B．2-1 C．2+1 D．1或 2+1
15.(2024河西区一模)一个矩形，它的长边比短边长6 cm，面积为27 cm2，则这个矩形的周长为( )
A．18 cm B．24 cm C．28 cm D．32 cm
16．（2024云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是 ( )
A．80（1-x2）＝60 B．80（1-x）2＝60 C．80（1-x）＝60 D．80（1-2x）＝60
17.【津津甄选】（2024通辽）如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5 m）的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门（由其他材料成），则BC长为 ( )
A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m
18．（2024辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
（Ⅰ）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（Ⅱ）该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
1．（2024绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方程是( )
A．x2+6x+5＝0 B．x2-7x+10＝0 C．x2-5x+2＝0 D．x2-6x-10＝0
2.(2024河西区一模)把一根长为80 cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当AF的长是12 cm时，BC的长是8 cm；
②这两个正方形的面积之和可以是198 cm2；
③这两个正方形的面积之和可以是288 cm2．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024南充）已知x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1＝0的两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
4.(2024南开区一模)已知x1，x2是一元二次方程x2+2x+c＝0（c是常数）的两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若c＝-8，求一元二次方程的根；
（Ⅲ）若x1x2＝-3，则c的值为-3 ．第8讲 一元二次方程
解一元二次方程
1.(2024天津)方程x2+4x+3＝0的两个根为（ D ）
A.x1＝1，x2＝3 B.x1＝-1，x2＝3 C.x1＝1，x2＝-3 D.x1＝-1，x2＝-3
一元二次方程根与系数的关系
2.（2023天津）若x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个根，则（ A ）
A.x1+x2＝6 B.x1+x2＝-6 C.x1x2＝76 D.x1x2＝7
一元二次方程及其解法
1．（2024贵州）一元二次方程x2-2x＝0的解是( B )
A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0 C.x1＝3，x2＝-2 D.x1＝-2，x2＝-1
2．（2024凉山）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ A ）
A.2 B.-2 C.2或-2 D.12
3．（2024赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（ C ）
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
4．【新定义】（2024广州）定义新运算：ab＝例如：-24＝（-2）2-4＝0，23＝-2+3＝1．若x1＝-34，则x的值为 -12或74 ．
5．条件开放设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝-1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0，即b2＞4c，∴选②③均可，
选②解方程，则这个方程为x2+3x+1＝0，
∴＝，
∴x1＝ ，x2＝ ；
选③解方程，则这个方程为x2+3x-1＝0，
∴x1＝，x2＝．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6.(2024红桥区二模)若一元二次方程x2+x-2＝0的两个根分别为x1，x2，则 +的值
为（ B ）
A.-12 B.12 C.-2 D.2
7．（2024兰州）关于x的一元二次方程9x2-6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（ D ）A.-9 B.4 C.-1 D.1
8．（2024自贡）关于x的方程x2+mx-2＝0根的情况是（ A ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
9.(2024河东区二模)若x1，x2是方程x2-8x+7＝0的两个根，则 ＝（ A ）
A.78 B.-78 C.87 D.-87
10．（2024广安）若关于x的一元二次方程（m+1）x2-2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ A ）
A．m＜0且m≠-1 B．m≥0 C．m≤0且m≠-1 D．m＜0
11.(2024和平区三模)若x1，x2是方程2x+4＝x2的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是（ A ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
12．（2024烟台）若一元二次方程2x2-4x-1＝0的两根为m，n，则3m2-4m+n2的值为 6 ．
13．（2024广州）关于x的方程x2-2x+4-m＝0有两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）化简： ÷·．
解：（Ⅰ）根据题意得Δ＝（-2）2-4（4-m）＞0，解得m＞3．
（Ⅱ）∵m＞3，∴m-3＞0，
∴ ÷·＝ ·· ＝-2．
一元二次方程的实际应用
14．（2024河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（ C ）
A.1 B．2-1 C．2+1 D．1或 2+1
15.(2024河西区一模)一个矩形，它的长边比短边长6 cm，面积为27 cm2，则这个矩形的周长为（ B ）
A．18 cm B．24 cm C．28 cm D．32 cm
16．（2024云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是 ( B )
A．80（1-x2）＝60 B．80（1-x）2＝60 C．80（1-x）＝60 D．80（1-2x）＝60
17.【津津甄选】（2024通辽）如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5 m）的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门（由其他材料成），则BC长为 （ C ）
A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m
18．（2024辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
（Ⅰ）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（Ⅱ）该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
解：（Ⅰ）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题意知，图象过（45，55），（55，45），
∴45k+b=55,
55k+b=45,∴k=-1,
b=100,
∴所求函数关系式为y＝-x+100．
（Ⅱ）不能.理由如下：
由题意得，日销售额＝x（-x+100）＝-x2+100x，
∵又日销售额是2 600元，
∴2 600＝-x2+100x，
∴x2-100x+2 600＝0，
∴Δ＝（-100）2-4×2 600＝10 000-10 400＝-400＜0，
∴方程没有解，
故该商品日销售额不能达到2 600元．
1．（2024绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来的方程是( B )
A．x2+6x+5＝0 B．x2-7x+10＝0 C．x2-5x+2＝0 D．x2-6x-10＝0
2.(2024河西区一模)把一根长为80 cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当AF的长是12 cm时，BC的长是8 cm；
②这两个正方形的面积之和可以是198 cm2；
③这两个正方形的面积之和可以是288 cm2．
其中，正确结论的个数是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024南充）已知x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1＝0的两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
解：（Ⅰ）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（-2k）2-4×1×（k2-k+1）＝4k2-4k2+4k-4＝4k-4＞0，解得k＞1．
（Ⅱ）∵1＜k＜5，
∴整数k的值为2，3，4，
当k＝2时，方程为 x2-4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
当k＝3或k=4时，此时方程的解不为整数．
综上所述，k的值为2．
4.(2024南开区一模)已知x1，x2是一元二次方程x2+2x+c＝0（c是常数）的两个不相等的实数根．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若c＝-8，求一元二次方程的根；
（Ⅲ）若x1x2＝-3，则c的值为-3 ．
解：(Ⅰ)∵关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22-4×1×c＞0，解得c＜1，
∴c的取值范围是c＜1.
(Ⅱ)当c＝-8时，原方程为x2+2x-8＝0，
解得x1＝2，x2＝-4.
(Ⅲ)∵x1x2=-3,
∴c1=-3，∴c=-3．
故答案为：-3．
