第13讲 二次函数的图象与性质
二次函数的图象与a，b，c的关系
1.(2024天津)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.（2023天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜-．其中，正确结论的个数是( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数的实际应用
3.(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t-5t2（0 ≤t ≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数的图象与性质
1．（2024广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝的图象上，则（ A ）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
2．（2024乐山）已知二次函数y＝x2-2x（-1≤x≤t-1），当x＝-1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ C ）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
3．（2024陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -4 2 0 -3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ D ）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
4．（2024广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2均随着x的增大而减小.（ D ）
A．x＜-1 B．-1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1
5．（2024苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，-m），
C（2，n），D（3，-m），其中m，n为常数，则 的值为 - ．
6．（2024安徽）已知抛物线y＝-x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝-x2+2x的顶点横坐标大1．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）点A（x1，y1）在抛物线y＝-x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝-x2+bx上．
①若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
②若x1＝t-1，求h的最大值．
解：（Ⅰ）∵抛物线y＝-x2+bx的顶点横坐标为b2，y＝-x2+2x的顶点横坐标为1，
∴ －1＝1，∴b＝4．
（Ⅱ）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝-x2+2x上，
∴y1＝-x21＋2x1，
∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝-x2+4x上，
∴y1+h＝－(x1＋t)2＋4(x1+t)，
∴-x21＋2x1+h＝－(x1＋t)2＋4(x1+t)，
∴h＝-t2-2x1t+2x1+4t．
①∵h＝3t，
∴3t＝-t2-2x1t+2x1+4t，
∴t（t+2x1）＝t+2x1，
∵x1≥0，t＞0，
∴t+2x1＞0，
∴t＝1，∴h＝3．
②将x1＝t-1代入h＝-t2-2x1t+2x1+4t，
得h＝-3t2+8t-2＝－3(t－ )2＋，
∵-3＜0，
∴当t＝，即x1＝时，h取最大值为．
二次函数的图象与a，b，c的关系
7．（2024甘孜）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②- ＞0；③当-1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ D ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2024湖北）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（-1，-2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（ C ）
A．a＜0 B．c＜0 C．a-b+c＝-2 D．b2-4ac＝0
9.(2024西青区二模)抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线y＝-x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①a-b+c＜0；②2a+b+c＞0；③a＜-1．其中，正确结论的个数是（ D ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10.(2023东丽区一模)已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）图象的对称轴是直线x＝1，经过点（x1，0），（x2，0），且-2＜x1＜-1，3＜x2＜4，现有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③3a+c＞0；④5a+b+2c＞0.其中正确结论的个数是（ C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2023南开区二模)如图所示是抛物线y=ax2＋bx＋c(a＜0)的部分图象，其顶点坐标为
(1，n)，抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：
①a-b＋c＞0；
②3a＋c＞0；
③b2=4a(c-n)；
④一元二次方程ax2＋bx＋c=n-2没有实数根.
其中正确的结论个数是（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(2023部分区一模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），其顶点在线段AB上运动（形状保持不变），且A（-4，3），B（1，3），有下列结论：①c≤3；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③若x2的最大值为4，则x1的最小值为-7.其中，正确结论的个数是（ C ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二次函数图象的平移
13．（2024包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ A ）
A．y＝（x+1）2-3 B．y＝（x+1）2-2 C．y＝（x-1）2-3 D．y＝（x-1）2-2
14．（2024牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（-2，4），则6a-3b-7＝ 2 ．
二次函数的实际应用
15.(2024河东区二模)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论：
①设每件涨价x元，则实际卖出（300-10x）件；
②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6 250元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价57.5元时利润最大.
其中，正确结论的个数是（ B ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16.(2024南开区一模)如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2 m时，水面AB的宽度为4 m．有下列结论：①当水面宽度为5 m时，水面下降了1.125 m；②当水面下降1 m时，水面宽度为2 m；③当水面下降2 m 时，水面宽度增加了(4- 4)m．其中，正确的是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
17.(2024红桥区二模)如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH．已知AD＝20 m，AB＝40 m，有下列结论：
①铺设草坪的面积可以是360 m2;
②种花的面积的最大值为450 m2;
③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为432 m2．
其中，正确结论的个数是（ D ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2024泰安）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 450 平方米．
19．（2024兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：
水平距 离x（m） 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高 度y（m） 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
（Ⅰ）根据表格中数据，请确定抛物线的表达式；
（Ⅱ）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离地面的竖直高度．
解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝15，∴抛物线的顶点为（15，9）．
∴可设抛物线为y＝a（x-15）2+9，
又∵抛物线过（10，8），
∴25a＝-1,∴a＝- ，
∴抛物线的表达式为y＝- （x-15）2+9．
（Ⅱ）由题意，结合（Ⅰ）y＝- （x-15）2+9，
∴令x＝5，则y＝-×（5-15）2+9＝5,
∴水火箭距离地面的竖直高度为5 m．
1．（2024福建）已知二次函数y＝x2-2ax+a（a≠0）的图象经过A(，y1)，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ C ）
A．可以找到一个实数a，使得y1＞a
B．无论实数a取什么值，都有y1＞a
C．可以找到一个实数a，使得y2＜0
D．无论实数a取什么值，都有y2＜0
2.(2024部分区一模)已知等边三角形ABC的边长为3，D为BC边上的一点（点D不与点B，C重合），过点D作AB边的垂线，交AB于点G，用x表示线段AG的长度，y表示Rt△GBD的面积，有下列结论：①＜x＜3；②DB＝x；③y＝（3-x）2.其中，正确结论的个数是( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
3.(2024和平区一模)已知抛物线y＝ax2+bx-1（a，b为常数，a≠0）经过（2，3），（1，0）两个点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）抛物线的顶点为(0，-1) ；
（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为y=(x-1)2-3 ．
解：(Ⅰ)∵抛物线 y＝ax2+bx-1 经过（2，3），（1，0）两个点，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2-1.
（Ⅱ）∵抛物线y＝x2-1，
∴抛物线的顶点为（0，-1）.故答案为：（0，-1）.
（Ⅲ）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，就得到抛物线
y＝（x-1）2-1-2，即y＝（x-1）2-3．
故答案为：y＝（x-1）2-3．第13讲 二次函数的图象与性质
二次函数的图象与a，b，c的关系
1.(2024天津)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.（2023天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜-．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数的实际应用
3.(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t-5t2（0 ≤t ≤6）．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数的图象与性质
1．（2024广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝的图象上，则( )
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
2．（2024乐山）已知二次函数y＝x2-2x（-1≤x≤t-1），当x＝-1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是( )
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
3．（2024陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -4 2 0 -3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
4．（2024广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2均随着x的增大而减小.( )
A．x＜-1 B．-1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1
5．（2024苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，-m），
C（2，n），D（3，-m），其中m，n为常数，则 的值为 ．
6．（2024安徽）已知抛物线y＝-x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝-x2+2x的顶点横坐标大1．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）点A（x1，y1）在抛物线y＝-x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝-x2+bx上．
①若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
②若x1＝t-1，求h的最大值．
二次函数的图象与a，b，c的关系
7．（2024甘孜）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②- ＞0；③当-1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2024湖北）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（-1，-2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．c＜0 C．a-b+c＝-2 D．b2-4ac＝0
9.(2024西青区二模)抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线y＝-x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①a-b+c＜0；②2a+b+c＞0；③a＜-1．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
10.(2023东丽区一模)已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）图象的对称轴是直线x＝1，经过点（x1，0），（x2，0），且-2＜x1＜-1，3＜x2＜4，现有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③3a+c＞0；④5a+b+2c＞0.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2023南开区二模)如图所示是抛物线y=ax2＋bx＋c(a＜0)的部分图象，其顶点坐标为
(1，n)，抛物线与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：
①a-b＋c＞0；
②3a＋c＞0；
③b2=4a(c-n)；
④一元二次方程ax2＋bx＋c=n-2没有实数根.
其中正确的结论个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.(2023部分区一模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），其顶点在线段AB上运动（形状保持不变），且A（-4，3），B（1，3），有下列结论：①c≤3；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③若x2的最大值为4，则x1的最小值为-7.其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二次函数图象的平移
13．（2024包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为( )
A．y＝（x+1）2-3 B．y＝（x+1）2-2 C．y＝（x-1）2-3 D．y＝（x-1）2-2
14．（2024牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（-2，4），则6a-3b-7＝ ．
二次函数的实际应用
15.(2024河东区二模)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论：
①设每件涨价x元，则实际卖出（300-10x）件；
②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6 250元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价57.5元时利润最大.
其中，正确结论的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16.(2024南开区一模)如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2 m时，水面AB的宽度为4 m．有下列结论：①当水面宽度为5 m时，水面下降了1.125 m；②当水面下降1 m时，水面宽度为2 m；③当水面下降2 m 时，水面宽度增加了(4- 4)m．其中，正确的是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
17.(2024红桥区二模)如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH．已知AD＝20 m，AB＝40 m，有下列结论：
①铺设草坪的面积可以是360 m2;
②种花的面积的最大值为450 m2;
③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为432 m2．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2024泰安）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
19．（2024兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：
水平距 离x（m） 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高 度y（m） 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
（Ⅰ）根据表格中数据，请确定抛物线的表达式；
（Ⅱ）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离地面的竖直高度．
1．（2024福建）已知二次函数y＝x2-2ax+a（a≠0）的图象经过A(，y1)，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是( )
A．可以找到一个实数a，使得y1＞a
B．无论实数a取什么值，都有y1＞a
C．可以找到一个实数a，使得y2＜0
D．无论实数a取什么值，都有y2＜0
2.(2024部分区一模)已知等边三角形ABC的边长为3，D为BC边上的一点（点D不与点B，C重合），过点D作AB边的垂线，交AB于点G，用x表示线段AG的长度，y表示Rt△GBD的面积，有下列结论：①＜x＜3；②DB＝x；③y＝（3-x）2.其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3.(2024和平区一模)已知抛物线y＝ax2+bx-1（a，b为常数，a≠0）经过（2，3），（1，0）两个点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）抛物线的顶点为(0，-1) ；
（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为y=(x-1)2-3 ．
