第14讲 二次函数的综合应用
1.（2023天津）已知抛物线y＝ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D.
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标.
解：∵抛物线y＝ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），
∴c＝-1.
(Ⅰ)当a＝1时，
抛物线的解析式为y＝x2-2x-1＝（x-1）2-2，
故抛物线的顶点坐标为（1，-2）.
(Ⅱ)∵y＝ax2-2ax-1＝a（x-1）2-a-1，
∴点D（1，-a-1），
由DE＝2DC得DE2＝8DC2，
即（1-0）2+（-a-1-1-a）2＝8[（1-0）2+（-a-1+1）2]，
整理得4a2-8a+3=0,
解得a＝或a＝，
故抛物线的解析式为y＝x2-x-1或y＝x2-3x-1.
(Ⅲ)如答图，先将点D（1，-a-1）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点D′（-2，-a），过点D′作D′H⊥y轴于点H，作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a-1），
由图象的平移知DN＝D′M，
∵FM+DN＝F′M+D′M≥F′D′，∴当D′，M，F′三点共线时，FM+DN的值最小，最小值即为F′D′的长，
∴F′D′＝2，
则F′D′2＝F′H2+D′H2
＝（1-2a）2+4
＝（2）2，
解得a＝（舍去）或a= - ，
则点D′，F′的坐标分别为（-2，），（0，- ），
由点D′，F′的坐标得直线D′F′的解析式为y＝-3x- ，
当y＝0时，-3x - ＝0，
解得x＝ - ，
∴m=- ，
则m+3＝，
∴点M的坐标为（- ，0），点N的坐标为（，-1）．
1．（2024甘肃）如图1，抛物线y＝a（x-h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（Ⅰ）求抛物线y＝a（x-h）2+k的表达式；
（Ⅱ）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（Ⅲ）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
解：（Ⅰ）由题意得y＝a（x-2）2+2，
将点A(4，0)代入上式，
得0＝a×（4-2）2+2，
解得a＝- ，
∴y=-(x-2)2+2=-x2+2x,
即抛物线的表达式为y＝-x2+2x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y＝ - （x-2）2+2，
由中点坐标公式得点C（1，3），
当x＝1时，
y＝- ×（1-2）2+2＝，
则CE＝ -＝．
（Ⅲ）①由（Ⅱ）知，点C（1，3），
当y＝3 时，- （x-2）2+2＝，
解得x＝2+（不符合题意的值已舍去），
即点F（2+，）.
②设点D（m，0），则点F（m+1，），
如答图，过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接BF′，DF′，则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D，B，F′三点共线时，BD+BF的值最小，
由定点F′，D的坐标得，直线DF′的表达式为y＝3（x-m），
将点B(2，2)代入y=3(x-m),
得2＝3（2-m），
解得m＝，
则点F′（，3），点D（4，0），
则DF′＝＝，
即BD+BF的最小值为 .
2．（2024德阳）如图，抛物线y＝x2-x+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C.
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）当0＜x≤2时，求y＝x2-x+c的函数值的取值范围；
（Ⅲ）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+ PM的最小值．
解：（Ⅰ）把点A（-1，0）代入y＝x2-x+c，
得0＝1+1+c，
解得c＝-2，
∴抛物线的解析式为y＝x2-x-2．
（Ⅱ）∵y＝x2-x-2＝（x- ）2- ，
∴抛物线y＝x2-x-2开口向上，顶点坐标为（，-），对称轴为直线x＝ .
∵|0-|＜|2- |，
∴在0＜x≤2内，当x＝2时，y取得最大值，最大值为22-2-2＝0；
当x＝时，y取得最小值，最小值为- ，
∴当0＜x≤2时，函数值的取值范围是- ≤ y ≤ 0．
（Ⅲ）如答图,连接BM，过点A作AH⊥BM于点H，交抛物线的对称轴直线x＝于点P′，
设直线x＝交x轴于点N，
在y＝x2-x-2中，令y＝0，得0＝x2-x-2，
解得x＝-1或x＝2，
∴点B（2，0），
∴BN＝2- ＝，
∵将抛物线的顶点（，- ）向下平移个单位长度得到点M，
∴点M（，-3），MN＝3，
∴BM＝
＝()2 +
＝，
∴sin∠BMN＝ ＝ = ，
∴ =，
∴P′H＝P′M，
∴P′A+P′M＝P′A+P′H＝AH，
由垂线段最短可知，当点P与P′重合时，PA+PM最小，最小值为AH的长度，
∵2S△ABM＝AB·MN＝BM·AH，
∴AH＝＝＝，
∴P′A+P′M的最小值为．
3.（2023河北区一模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为P，经过点C（0，3），与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧）.
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为（m，n），求4n-2m的最大值；
（Ⅲ）若抛物线的对称轴为直线x＝2，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（点M在点N上方），MN＝1，D（4，0），连接CM，ND，当CM+MN+ND取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式.
解：(Ⅰ)把C（0，3）代入y=x2+bx+c，
得c=3，
∵b=2，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x+3，
∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，2）.
(Ⅱ)将抛物线y=x2+bx+3向右平移2个单位后，得新抛物线y′=（x-2）2+b（x-2）+3=x2+（b-4）x+7-2b，
∵平移后抛物线的顶点坐标为（m，n），
∴m= -，
n= =，
∴4n-2m=4×-2×(-)
=-b2+b+8
=-(b- )2+，
∵-1＜0，
∴当b= 时，4n-2m取得最大值，最大值为，
∴4n-2m的最大值为.
(Ⅲ)∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2，
∴- =2，解得b=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），
∵MN=1，
∴CM+MN+ND取得最小值即是CM+ND取得最小值，
如答图1，将点C（0，3）沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接C′N，
∵CC′=MN=1，CC′∥MN，
∴四边形CC′NM是平行四边形，
∴CM=C′N，∴CM+ND=C′N+ND，
∴当C′，N，D三点共线时，C′N+ND取得最小值，即CM+ND最小，如答图2，此时D（4，0），C′（0，2），
∴直线C′D的解析式为y= - x+2，
在y= - x+2中，令x=2，得y=1，
∴N（2，1），
∵将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，原抛物线的顶点坐标为（2，-1），
∴新抛物线顶点为N（2，1），
∴y=（x-2）2+1=x2-4x+5，
∴新抛物线的函数解析式为y=x2-4x+5.
4.(2024河西区一模)已知点P是直线l：y＝-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-2．
①当直线m∥x轴，求A，B两点的坐标；
②当PA＝AB时，求A，B两点的坐标；
（Ⅱ）试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．
（Ⅰ）解：∵点P是直线l：y＝-2x-2上的点，其横坐标为-2，
∴y＝-2×（-2）-2＝2，
∴点P（-2，2），
①当直线m∥x轴时，
∵直线m经过点P，交抛物线 y＝x2 于A，B两点，
∴点A，B的纵坐标为2，
则2＝x2，
解得x=- 或x=，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为(-，)，点B的坐标为(，).
②当PA＝AB时，易知A为PB的中点，
设点A（m，m2），B（p，p2），
∴由中点坐标可得m=-2+p2，
整理得p＝2m+2，
同理可得m2 = ，
∴p2＝2m2-2，
∴2m2-2＝（2m+2）2，
整理得m2+4m+3＝0，
解得m＝-1或m＝-3（舍去），
则m＝-1，p＝2m+2＝0,
∴点A的坐标为（-1，1），点B的坐标为（0，0）．
（Ⅱ）证明：如答图，分别过点P，A，B作x轴的垂线，垂足分别为Q，E，F，
则BF∥AE∥PQ，
由PA＝AB，得QE＝EF．
设点P（a，-2a-2），
点A（m，m2），点B（p，p2），
则有m= ，
整理得p＝2m-a，
同理可得m2= ，
整理得p2＝2m2+2a+2，
∴2m2+2a+2＝（2m-a）2，
整理得关于m的一元二次方程 2m2-4am+a2-2a-2＝0，
其中Δ＝16a2-8（a2-2a-2）
＝8a2+16a+16
＝8（a+1）2+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根，
即对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使 PA＝AB成立．
5.(2024西青区一模)已知抛物线y＝-x2-4ax-12a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.
（Ⅰ）若点D（4，12）在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点A的坐标；
②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；
（Ⅱ）已知点Q的坐标为（-2a，-8a），连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
解：（Ⅰ）①由题意，把点D（4，12）代入 y＝-x2-4ax-12a，
得-16-4×4a-12a＝12，
∴a＝-1，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+4x+12．
当y＝0时，有-x2+4x+12＝0，
解得 x1＝-2，x2＝6，
∴点A的坐标为（-2，0）.
②由题意，设点P的坐标为（m，-m2+4m+12）,其中-2＜m＜4，
设直线AD的解析式为 y＝kx+b，
把点A（-2，0），D（4，12）分别代入 y＝kx+b，
得
解得
∴直线AD的解析式为y＝2x+4，
如答图1，过点P作x轴的垂线，交AD于点E，
∴点E的坐标为（m，2m+4），
∴S△PAD＝ PE·(xD-xA)
＝（-m2+4m+12-2m-4）（4+2），
即S△PAD＝-3m2+6m+24
＝-3（m-1）2+27，
∴当m＝1时，△PAD的面积最大，最大面积是27，
此时点P的坐标为（1，15）.
（Ⅱ）由抛物线的解析式y＝-x2-4ax-12a，可知其对称轴是直线x＝-2a，点C的坐标为（0，-12a），
故点Q（-2a，-8a）在抛物线对称轴上．
∵将线段QC绕点Q顺时针旋转90°后，点C的对应点是点M，
∴QC＝QM，∠CQM＝90°，
如答图2，分别过点C，M作直线x＝-2a 的垂线，垂足分别为E，N，
∴∠MNQ＝∠QEC＝90°,
∴∠CQE+∠MQN＝∠CQE+∠QCE＝90°,
∴∠MQN＝∠QCE,
∴△MNQ≌△QEC（AAS）,
∴MN＝EQ＝-4a，QN＝CE＝-2a，
∴点M的坐标为（-6a，-10a）．
把点M的坐标代入y＝-x2-4ax-12a，
得-（-6a）2-4a×（-6a）-12a＝-10a，
解得a1＝0（舍去）， a2＝-16，
∴抛物线的解析式为y=-x2+ x+2．
1.(2024红桥区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，M为抛物线上横坐标为m的点．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）当1＜m＜4时，过点M作x轴的垂线与BC相交于点N，若MN＝OC，求点M的坐标；
（Ⅲ）D为线段OC的中点，当∠MDB＝∠DBO时，求点M的坐标．
解：（Ⅰ）把A（1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，
得
解得
∴该抛物线的解析式为y＝x2-5x+4.
（Ⅱ）如答图1，
在y＝x2-5x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
由C（0，4），B（4，0）可得直线BC的解析式为y＝-x+4，
设M（m，m2-5m+4），则N（m，-m+4），
∴MN＝-m+4-（m2-5m+4）＝-m2+4m，
∵MN＝OC，
∴-m2+4m＝4，
解得m＝2，
∴M（2，-2）.
（Ⅲ）∵C（0，4），D为线段OC的中点，
∴D（0，2）.
如答图2，
当点M在BD上方时，
∵∠MDB＝∠DBO，
∴DM∥OB，
∴yM=yD=2,
将yM=2代入x2-5x+4,
解得x1= ,x2= ,
∴M1(,2),M2(,2);
当点M在BD下方时，设DM交x轴于点N，
∵∠MDB＝∠DBO，
∴DN＝BN，
设N（t，0），则t2+4＝（4-t）2，
解得t＝ ，
∴N（ ，0），
由N（，0），D（0，2）可得直线DN的解析式为y＝ - x+2，
联立
解得或
∴M3（3，-2）或M4（，）.
综上所述，点M的坐标为(,2)或(,2)或（3，-2）或（，）．
2.(2024滨海新区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0），对称轴为直线
x＝-1，与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，且OB＝OC，连接AC.
（Ⅰ）求抛物线解析式；
（Ⅱ）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线AC于点E，过点A作AF∥BC交直线PE于点F，若S△AEF＝，求点P坐标；
（Ⅲ）点D是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线AC平移，点D的对应点为D′，过点D′作D′M⊥x轴于点M，在平移的过程中，是否存在以DD′为腰的等腰三角形DD′M？若存在，直接写出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）∵OB＝OC，B(2,0),且在抛物线中a>0,对称轴为直线x=-1,
∴点C（0，-2），即c＝-2，
易得,解得
则抛物线的解析式为y＝14x2+12x-2.
（Ⅱ）∵点P在抛物线上，PH⊥x轴且交x轴于点H，
∴设点P（p， p2+ p-2），点H（p，0）.
令 p2+ =0,解得x1=-4,x2=2,
∴A(-4,0),
∵直线BC过点B（2，0），C（0，-2），直线AC过点A（-4，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为y＝x-2，直线AC的解析式为y＝x-2，
又∵AF∥BC，点A（-4，0），
∴直线AF的解析式为y=x+4，
∴点E（p， p-2），点F（p，p+4），
∴AH=p+4，EF= p+6，
∵S△AEF＝12EF·AH＝12×（ p+6）×（p+4）＝，
解得p1＝- ,p2＝-203（舍去），
∴点P的坐标为（- ，- ）.
（Ⅲ）存在.
由抛物线的表达式知点D（-1，- ），
将抛物线沿着射线AC平移，则当抛物线向右平移2m个单位长度时，向下平移了m个单位长度，则点D′（-1+2m，- -m），
则点M（2m-1，0），
由点D，D′，M，的坐标得DD′＝m，D′M＝ +m，DM2＝4m2+ ，
当DD′＝D′M时，
则m＝ + m，
解得m＝，
则点D′（，-）；
当DD′＝DM时，
则5m2＝4m2+ ，
解得m＝（负值已舍去），
则点D′（，- ）．
综上所述，满足条件的点D′的坐标为（，- ）或（，-）.第14讲 二次函数的综合应用
1.（2023天津）已知抛物线y＝ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D.
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标.
1．（2024甘肃）如图1，抛物线y＝a（x-h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（Ⅰ）求抛物线y＝a（x-h）2+k的表达式；
（Ⅱ）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（Ⅲ）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
2．（2024德阳）如图，抛物线y＝x2-x+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C.
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）当0＜x≤2时，求y＝x2-x+c的函数值的取值范围；
（Ⅲ）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+ PM的最小值．
3.（2023河北区一模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为P，经过点C（0，3），与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧）.
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为（m，n），求4n-2m的最大值；
（Ⅲ）若抛物线的对称轴为直线x＝2，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（点M在点N上方），MN＝1，D（4，0），连接CM，ND，当CM+MN+ND取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式.
4.(2024河西区一模)已知点P是直线l：y＝-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-2．
①当直线m∥x轴，求A，B两点的坐标；
②当PA＝AB时，求A，B两点的坐标；
（Ⅱ）试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．
5.(2024西青区一模)已知抛物线y＝-x2-4ax-12a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.
（Ⅰ）若点D（4，12）在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点A的坐标；
②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；
（Ⅱ）已知点Q的坐标为（-2a，-8a），连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
1.(2024红桥区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，M为抛物线上横坐标为m的点．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）当1＜m＜4时，过点M作x轴的垂线与BC相交于点N，若MN＝OC，求点M的坐标；
（Ⅲ）D为线段OC的中点，当∠MDB＝∠DBO时，求点M的坐标．
2.(2024滨海新区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0），对称轴为直线
x＝-1，与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，且OB＝OC，连接AC.
（Ⅰ）求抛物线解析式；
（Ⅱ）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线AC于点E，过点A作AF∥BC交直线PE于点F，若S△AEF＝，求点P坐标；
（Ⅲ）点D是抛物线的顶点，将抛物线沿着射线AC平移，点D的对应点为D′，过点D′作D′M⊥x轴于点M，在平移的过程中，是否存在以DD′为腰的等腰三角形DD′M？若存在，直接写出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．
