第17讲 全等三角形
全等三角形的性质与判定
1．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝9，则DF的长为 ( )
A．5 B．6 C．9 D．5或9
2．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是( )
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
3．如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是( )
A．AC＝DE B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠D＝∠A
4．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
5．如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．（2024浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝( )
A．5 B．26 C．17 D．4
7．【注意过程性学习】（2024北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是( )
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．如图，将△ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF，点D落在线段AC上，BC与DE交于点G．则下列结论：①AD＝CF；②AB∥DE；③BC∥EF；④∠B＝∠E；
⑤S四边形ABGD＝S四边形GEFC．其中正确的结论个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9.（2023西青区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（3，0），B（0，-1），点C在第四象限，且AB=BC，∠ABC=90°，则点C的坐标为( )
A.（-4，1） B.（1，-4） C.（-1，4） D.（4，-1）
10．【→新定义】（2024遂宁）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11．（2024广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( )
A．18 B．9 C．9 D．6
12．（2024宜宾）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为( )
A．2+3 B．6+2 C．5 D．8
13．【条件开放】（2024牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE＝CE．（只添加一种情况即可）
14．（2024成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 ．
15．（2024临夏）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
16．（2023福建）如图，在?ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 ．
17．（2023辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 ．
18．（2023重庆A卷）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
19．（2024云南）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD.求证：△ABC≌△AED.
20．（2024宜宾）如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．
21.（2023苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（Ⅰ）求证：△ADE≌△ADF；
（Ⅱ）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
22．（2024南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
（Ⅰ）求证：△BDE≌△CDA；
（Ⅱ）若AD⊥BC，求证：BA＝BE．
23．【条件开放】（2024盐城）已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ，则AB＝CD.
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
1．如图，△ABC中，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，且AF＝FD＝DE．若BC＝6，则AC＝ ．
2．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝∠C，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD= ．第17讲 全等三角形
全等三角形的性质与判定
1．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝9，则DF的长为 （ B ）
A．5 B．6 C．9 D．5或9
2．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ A ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
3．如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（ B ）
A．AC＝DE B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠D＝∠A
4．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ A ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
5．如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ C ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．（2024浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（ C ）
A．5 B．26 C．17 D．4
7．【注意过程性学习】（2024北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（ A ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．如图，将△ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF，点D落在线段AC上，BC与DE交于点G．则下列结论：①AD＝CF；②AB∥DE；③BC∥EF；④∠B＝∠E；
⑤S四边形ABGD＝S四边形GEFC．其中正确的结论个数是（ D ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.（2023西青区二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（3，0），B（0，-1），点C在第四象限，且AB=BC，∠ABC=90°，则点C的坐标为（ B ）
A.（-4，1） B.（1，-4） C.（-1，4） D.（4，-1）
10．【→新定义】（2024遂宁）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（ D ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11．（2024广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ C ）
A．18 B．9 C．9 D．6
12．（2024宜宾）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ D ）
A．2+3 B．6+2 C．5 D．8
13．【条件开放】（2024牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件 DE＝EF ，使得AE＝CE．（只添加一种情况即可）
14．（2024成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为100° ．
15．（2024临夏）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 （1，4） ．
16．（2023福建）如图，在?ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 10 ．
17．（2023辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 ．
18．（2023重庆A卷）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 3 ．
19．（2024云南）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD.求证：△ABC≌△AED.
证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）．
20．（2024宜宾）如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
21.（2023苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（Ⅰ）求证：△ADE≌△ADF；
（Ⅱ）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
（Ⅰ）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作图知AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF（SAS）.
（Ⅱ）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝40°，
由作图知AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝×（180°-40°）＝70°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC,
即∠ADB=90°,
∴∠BDE＝90°-∠ADE＝20°．
22．（2024南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
（Ⅰ）求证：△BDE≌△CDA；
（Ⅱ）若AD⊥BC，求证：BA＝BE．
证明：（Ⅰ）∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA（AAS）．
（Ⅱ）∵点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝CA，
由（Ⅰ）可知：△BDE≌△CDA，
∴BE＝CA，
∴BA＝BE．
23．【→条件开放】（2024盐城）已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ① ，则AB＝CD.
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
证明：选择①，理由如下.
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD.(答案不唯一，选②无法证明；选③可证明)
1．如图，△ABC中，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，且AF＝FD＝DE．若BC＝6，则AC＝ 3 ．
2．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝∠C，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD= 70 ° ．
