第18讲 相似三角形(含位似)
比例线段与平行线分线段成比例
1．已知 = ，则的值为( )
A．- B．-19 C． D．19
2．（2024南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为( )
A. B. C.1 D.2
3．（2023北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则BEEC的值为 ．
相似三角形的证明与计算
4．（2024内江）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
5.(2024和平区期末)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，BC=8，则DE的长为( )
A.4 B.2 C.8 D.4
6.(2024和平区一模)如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是( D )
7．（2024绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，）
8．（2024河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为( )
A． B．1 C． D．2
9.(2024和平区期末)如图，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=4，CD=6，则线段GH的长为( )
A.5 B.3 C.2.5 D.2.4
10．（2023陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为( )
A. B.7 C. D.8
11．如图，在边长为1的正方形网格上有△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为( )
A．135° B．90° C．60° D．45°
12．（2023东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为( )
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
13．如图，点A（0，3），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC.若∠ABC＝90°，
BC＝2AB，则点C的坐标为( )
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
14.(2023和平区一模)如图，△AOB的顶点O（0，0），顶点A在第一象限，顶点B在y轴正半轴上，点C为OA上的一点，AC∶OC＝1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D，CD＝2，则点B的坐标为 .
15．（2023滨海新区结课）如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形: ．
16．（2024云南）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若＝，则＝ ．
17．（2024乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若
＝，则＝ .
18．（2024重庆A卷）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ ．
19.(2024红桥区结课)如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，若AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4．
（Ⅰ）求证：∠ADE＝∠ACB；
（Ⅱ）若BC＝7，求DE的长．
20．（2023南开区期末）如图1，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.
（Ⅰ）求证：△ADE∽△EFC；
（Ⅱ）如图2，若DE＝EF＝a，AB＝3，BC＝4，求a的值．
相似三角形的实际应用
21.(2024红桥区结课)如图，为测量旗杆高度，小亮在脚下P处水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在平面镜中看到旗杆的顶端．若小亮的眼睛离地面的高度为1.6 m，小亮与平面镜的水平距离为2 m，平面镜与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为( B )
A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m
22.【数学文化】(2024河西区结课)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为( C )
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
23．（2024扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离 ．
24．【传统文化】圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆MN的影长MA在水平地面上，将标杆AB（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆AB的影长为AD.经测量，AD＝1.2米，AM＝12.1米．
（Ⅰ）根据以上信息，计算旗杆MN的高度．（结果保留整数）
（Ⅱ）若该同学在操作过程中，测量完AD的长度后，准备测量AM的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量AM的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
1.(2023红桥区三模)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AC，若BC=4，AD=5，∠ADB=2∠CBD，则AB的长为 .
2．（2024河北区一模）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE，BE，BE交对角线AC于点F，连接FD交AE于点G，如果DF＝4，那么AB的长为 ．第18讲 相似三角形(含位似)
比例线段与平行线分线段成比例
1．已知 = ，则的值为（ A ）
A．- B．-19 C． D．19
2．（2024南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（ A ）
A. B. C.1 D.2
3．（2023北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则BEEC的值为 ．
相似三角形的证明与计算
4．（2024内江）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是（ B ）
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
5.(2024和平区期末)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，BC=8，则DE的长为（ D ）
A.4 B.2 C.8 D.4
6.(2024和平区一模)如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是( D )
7．（2024绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（ D ）
A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，）
8．（2024河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（ B ）
A． B．1 C． D．2
9.(2024和平区期末)如图，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=4，CD=6，则线段GH的长为（ D ）
A.5 B.3 C.2.5 D.2.4
10．（2023陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ C ）
A. B.7 C. D.8
11．如图，在边长为1的正方形网格上有△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ D ）
A．135° B．90° C．60° D．45°
12．（2023东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ C ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
13．如图，点A（0，3），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC.若∠ABC＝90°，
BC＝2AB，则点C的坐标为（ A ）
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
14.(2023和平区一模)如图，△AOB的顶点O（0，0），顶点A在第一象限，顶点B在y轴正半轴上，点C为OA上的一点，AC∶OC＝1∶2，过C作CD∥OB交AB于点D，CD＝2，则点B的坐标为 (0，6) .
15．（2023滨海新区结课）如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形: △ADF∽△ECF ．
16．（2024云南）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若＝，则＝ ．
17．（2024乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若
＝，则＝ .
18．（2024重庆A卷）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ 3 ．
19.(2024红桥区结课)如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，若AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4．
（Ⅰ）求证：∠ADE＝∠ACB；
（Ⅱ）若BC＝7，求DE的长．
(Ⅰ)证明：∵AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4，
∴ = = ，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 = = ，
又∵BC=7，
∴DE＝ BC= ．
20．（2023南开区期末）如图1，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.
（Ⅰ）求证：△ADE∽△EFC；
（Ⅱ）如图2，若DE＝EF＝a，AB＝3，BC＝4，求a的值．
（Ⅰ）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，
∴△ADE∽△EFC.
（Ⅱ）解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
又∵DE＝EF＝a，∴四边形DEFB是菱形，
∴BD＝BF＝EF＝DE＝a，
∴AD＝3-a，FC＝4-a，
∵△ADE∽△EFC，∴ = ，
∴ = ，∴a＝，
经检验，a＝是原方程的解，
∴a的值为．
相似三角形的实际应用
21.(2024红桥区结课)如图，为测量旗杆高度，小亮在脚下P处水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在平面镜中看到旗杆的顶端．若小亮的眼睛离地面的高度为1.6 m，小亮与平面镜的水平距离为2 m，平面镜与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为( B )
A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m
22.【数学文化】(2024河西区结课)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为( C )
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
23．（2024扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离 20 cm ．
24．【传统文化】圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆MN的影长MA在水平地面上，将标杆AB（长度1米）竖直放置在影长的最远端点A处，此时标杆AB的影长为AD.经测量，AD＝1.2米，AM＝12.1米．
（Ⅰ）根据以上信息，计算旗杆MN的高度．（结果保留整数）
（Ⅱ）若该同学在操作过程中，测量完AD的长度后，准备测量AM的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量AM的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可知BD∥AN，
∴∠NAM＝∠D，
∵∠NMA＝∠BAD＝90°，
∴△MNA∽△ABD，
∴ = ，即 = ，
∴MN≈10．
答：旗杆MN的高度约为10米．
（Ⅱ）不可以．理由如下：
旗杆和标杆的影长随着时间的变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测量旗杆影长，此时旗杆影长已经发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．
1.(2023红桥区三模)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AC，若BC=4，AD=5，∠ADB=2∠CBD，则AB的长为 .
2．（2024河北区一模）如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，连接AE，BE，BE交对角线AC于点F，连接FD交AE于点G，如果DF＝4，那么AB的长为 ．
