第19讲 锐角三角函数及其实际应用
特殊角的锐角三角函数值
1.(2024天津)2cos45°-1的值等于( )
A．0 B．1 C． -1 D．-1
2.(2024天津)tan45°的值等于( )
A.2 B.1 C. D.
3.（2023天津）tan30°的值等于( )
A. B. C.1 D.2
4.（2023天津）2sin45°的值等于( )
A.1 B.2 C.3 D.2
锐角三角函数的实际应用
5.(2024天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
6.（2023天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）.
参考数据：tan40°≈0.84， 取1.73．
7.（2023天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
8.(2024天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图1）．某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥AB，垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
（Ⅰ）求线段CD的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
特殊角的锐角三角函数值
1．（2023无锡）cos60°的值为( )
A. B. C. D.3
2.(2024河西区二模)3tan30°+1的值等于( )
A.+1 B.+1 C.2 D.1
3.(2024部分区二模)sin60°+ 的值等于( )
A．1 B． C． D．2
4.(2024和平区一模)cos60°-sin45°的值等于( )
A．0 B． C．2 D． -1
5.(2024南开区三模)1-2sin30°·cos30°的值等于( )
A. B. C.D.
6.(2024西青区一模)sin60°-tan45°的值等于( )
A．0 B． C．1 D．
7.(2024南开区一模)-2×cos45°的值等于( )
A. B.2 C.2-1 D.2-2
8.(2024河东区二模)计算cos245°+tan30°sin60°的值等于( )
A． B． C．1 D．2
解直角三角形
9．（2024云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝( )
A. B. C. D.
10．(2024红桥区结课)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则下列结论中正确的是( )
A．sinA＝ B．cosA= C．tanA= D．tanA=
11．（2023宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
12．（2024宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2 cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11 cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5 cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为
cm（结果精确到0.1 cm）．
（参考数据：sin80°≈0.984 8，cos80°≈0?173 6，tan80°≈5.671 3，3≈1.732）
锐角三角函数的实际应用
13.【真实问题情境】(2024河西区一模)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
14.（2023河东区一模）小华想利用测量知识测算湖中小山的高度.如图，小华站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，且在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°.已知点O到湖面的距离OD=3 m，OD⊥DB，AB⊥DB，A，B，A′三点共线，A′B=AB，求小山的高度（光线的折射忽略不计，结果取整数）.
参考数据：3≈1.73.
15.(2024南开区一模)如图，旗杆AC上有一面宽为AB的旗子，C，D，F在同一水平线上，小明在距旗杆6 m的点D处测得点B的仰角为53°，随后小明沿坡角（∠EDF）为30°的斜坡走了2 m到达点E处，测得点A的仰角为45°．
（Ⅰ）求斜坡的高度EF的长；
（Ⅱ）求旗面宽AB的长度（参考数据：≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果精确到0.1 m）．
16.(2024红桥区一模)如图，某渔船在A处测得小岛C位于A的北偏西30°方向，小岛D位于A的北偏东31°方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C位于B的南偏西60°方向，且B，C相距20海里，小岛D位于B的南偏东45°方向．
（Ⅰ）求该渔船航行的距离AB；
（Ⅱ）求B处与小岛D之间的距离BD（结果取整数）．
参考数据：tan31°≈0.60， 取1.4．
17.(2024部分区一模)为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度．如图，已知舞台台阶AB＝5 m，∠BAD＝24°，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角∠CBF＝45°，在距离B点2 m的E处测得屏幕最高点C的仰角∠CEF＝60°，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上．参考数据：sin24°取0.4， 取1.7．
（Ⅰ）求BG的长（结果保留整数）；
（Ⅱ）求最高点C离地面的高度CD的长（结果保留整数）．
18．（2024资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（Ⅰ）求B，C两处的距离；
（Ⅱ）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
19.(2024红桥区二模)综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度．如图，在梯形平台CDEF上有一座高为AB的古塔，已知CD＝6 m，∠DCF＝30°，点A在水平线DE上.某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为50.2°，在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为60°．
（Ⅰ）求梯形平台的高AG的长；
（Ⅱ）设古塔AB的高为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段CG的长；（结果保留根号）
②求古塔AB的高度（tan50.2°≈1.2，取1.7，结果取整数）．
20.(2024河东区二模)如图，l1，l2是两条南北向的笔直的公路，CD是公路l2上一座南北走向的大桥，一辆汽车在公路l1上由南向北行驶．已知在A处测得桥头C在北偏东α方向上，继续行驶1 500米后到达B处，测得桥头C在北偏东67°方向上，桥头D在北偏东45°方向上．
（Ⅰ）求线段AB的长和∠CBD的度数；
（Ⅱ）设两条公路之间的距离AE的长度为x（单位：m）．
①用含有x及α的式子表示线段EC的长；
②若α＝37°，求大桥CD的长度（tan67°≈2.36，tan37°≈0.75，结果保留整数）．
1.(2024南开区二模)校庆期间，小南同学从家到学校瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从家出发后，导航给出两条路线，如图：①A→E→D→M；②A→B→C→M．经勘测，点E在点A的北偏西45°方向120 米处，点D在点E的正北方向，点M在点D的正东方向90米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东30°方向；点C在点M的正东方向40米处，且在点B的北偏西37°方向．
（Ⅰ）求EB的长度；（结果保留根号）
（Ⅱ）由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择哪条路线距离更短（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin37°取0.6，cos37°取0?8，tan37°取0.75）．
2.(2024西青区二模)如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为58°，测得某建筑物CD的顶端D的俯角为45°，操控者在点B处测得建筑物CD的顶端D的仰角为42°．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，无人机距地面BC的高度AE是32 m．
（Ⅰ）求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长；（结果保留整数）
（Ⅱ）设建筑物CD的高为h．
①用含有h的式子表示BC；
②求建筑物CD的高度．（结果保留整数）
参考数据：tan58°取1.6，tan42°取0.9．第19讲 锐角三角函数及其实际应用
特殊角的锐角三角函数值
1.(2024天津)2cos45°-1的值等于（ A ）
A．0 B．1 C． -1 D．-1
2.(2024天津)tan45°的值等于( B )
A.2 B.1 C. D.
3.（2023天津）tan30°的值等于( A )
A. B. C.1 D.2
4.（2023天津）2sin45°的值等于( B )
A.1 B.2 C.3 D.2
锐角三角函数的实际应用
5.(2024天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
解：设AP＝x m，
在Rt△APB中，∠APB＝35°，
∴AB＝AP·tan35°≈0.7x(m).
∵BC＝32 m，
∴AC＝AB+BC＝(0.7x+32) m.
在Rt△APC中，∠APC＝42°，
∴tan42°＝＝ ≈0.9，
解得x＝160.
经检验，x＝160是原分式方程的根，且符合题意.
∴AB≈0.7x＝112.
答:这座山AB的高度约为112 m.
6.（2023天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）.
参考数据：tan40°≈0.84， 取1.73．
解：如答图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝ ，cos∠BAH＝ ，
∴BH＝AH·tan60°＝AH，AB＝＝2AH.
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝ ，
∴CH＝ ＝ .
又∵CA＝CH+AH，∴257＝ + AH，
解得AH＝，
∴AB＝ ≈ ＝168（海里）.
答：AB的长约为168海里.
7.（2023天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
解：如答图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，
∵∠ACB=45°，
∴AD=CD.
设AB=x m，
在Rt△ADB中，
∵sin∠ABC= ，
∴AD=AB·sin58°≈0.85x（m），
∴CD=0.85x m.
又∵cos∠ABC= ，
∴BD=AB·cos58°≈0.53x（m）.
又∵BC=221 m，即CD+BD=221，
∴0.85x+0.53x=221，
解得x≈160.
答：AB的长约为160 m．
8.(2024天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图1）．某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥AB，垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
（Ⅰ）求线段CD的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
解：(Ⅰ)设CD＝x m.
∵DE＝36 m，
∴CE＝CD+DE＝（x+36）m.
∵EC⊥AB，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°.
∵tan∠CDB＝，∠CDB＝45°，
∴BC＝CD·tan∠CDB＝x·tan45°＝x(m),
∵tan∠CEB＝，∠CEB＝31°，
∴BC＝CE·tan∠CEB＝（x+36）·tan31°，
∴x＝（x+36）·tan31°，
解得x＝ ≈=54．
答：线段CD的长约为54 m．
（Ⅱ）∵tan∠CDA＝，∠CDA＝6°，
∴AC＝CD·tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1＝5.4（m），
∴AB＝AC+BC≈5.4+54≈59（m）．
答：桥塔AB的高度约为59 m．
特殊角的锐角三角函数值
1．（2023无锡）cos60°的值为（ B ）
A. B. C. D.3
2.(2024河西区二模)3tan30°+1的值等于（ A ）
A.+1 B.+1 C.2 D.1
3.(2024部分区二模)sin60°+ 的值等于（ C ）
A．1 B． C． D．2
4.(2024和平区一模)cos60°-sin45°的值等于( A )
A．0 B． C．2 D． -1
5.(2024南开区三模)1-2sin30°·cos30°的值等于（ C ）
A. B. C.D.
6.(2024西青区一模)sin60°-tan45°的值等于( B )
A．0 B． C．1 D．
7.(2024南开区一模)-2×cos45°的值等于( A )
A. B.2 C.2-1 D.2-2
8.(2024河东区二模)计算cos245°+tan30°sin60°的值等于（ C ）
A． B． C．1 D．2
解直角三角形
9．（2024云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（ C ）
A. B. C. D.
10．(2024红桥区结课)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则下列结论中正确的是( B )
A．sinA＝ B．cosA= C．tanA= D．tanA=
11．（2023宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ 22 ．
12．（2024宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2 cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11 cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5 cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为
34.1 cm（结果精确到0.1 cm）．
（参考数据：sin80°≈0.984 8，cos80°≈0?173 6，tan80°≈5.671 3，3≈1.732）
锐角三角函数的实际应用
13.【真实问题情境】(2024河西区一模)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
解：如答图，过点A分别作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K，
在Rt△ABT中，
BT＝AB·sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB·cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，
AK＝CT＝BC-BT＝4-1.4＝2.6（米），
在Rt△AKD中，
∵∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝2.6米，
∴CD＝CK-DK＝4.8-2.6＝2.2（米）.
答：阴影CD的长约为2.2米．
14.（2023河东区一模）小华想利用测量知识测算湖中小山的高度.如图，小华站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，且在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°.已知点O到湖面的距离OD=3 m，OD⊥DB，AB⊥DB，A，B，A′三点共线，A′B=AB，求小山的高度（光线的折射忽略不计，结果取整数）.
参考数据：3≈1.73.
解：如答图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得EB＝OD＝3 m，
设AE＝x m，
则AB＝A′B＝AE+BE＝（x+3）m，
∴EA′＝EB+A′B＝（x+6）m，
在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，
∴OE＝AE＝x m，
在Rt△OEA′中，∠EOA′＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得x＝3+3，
经检验，x=3+3是方程的解，且符合题意，
∴AB＝x+3＝3+6≈11 （m）.
答：小山的高度约为11 m.
15.(2024南开区一模)如图，旗杆AC上有一面宽为AB的旗子，C，D，F在同一水平线上，小明在距旗杆6 m的点D处测得点B的仰角为53°，随后小明沿坡角（∠EDF）为30°的斜坡走了2 m到达点E处，测得点A的仰角为45°．
（Ⅰ）求斜坡的高度EF的长；
（Ⅱ）求旗面宽AB的长度（参考数据：≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果精确到0.1 m）．
解：（Ⅰ）∵EF⊥CF，∠EDF＝30°，DE＝2 m，
∴EF＝DE＝1（m），
即斜坡的高度EF的长为1 m.
（Ⅱ）如答图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，
由题意得EF＝CG，FC＝EG，
∵DE＝2 m，EF＝1 m，
∴DF＝EF＝（m），CG＝EF＝1（m），
∵DC＝6 m，
∴EG＝FC＝CD+DF＝（6+）m，
在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，
∴AG＝EG＝（6+）m，
在Rt△BCD中，∠BDC＝53°，
∴BC＝DC·tan53°≈6×1.33＝7.98（m），
∴AB＝AG+CG-BC＝6++1-7.98＝-0.98≈0.8（m），
∴旗面的宽AB的长度约为0.8 m．
16.(2024红桥区一模)如图，某渔船在A处测得小岛C位于A的北偏西30°方向，小岛D位于A的北偏东31°方向．该渔船沿正北方向航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C位于B的南偏西60°方向，且B，C相距20海里，小岛D位于B的南偏东45°方向．
（Ⅰ）求该渔船航行的距离AB；
（Ⅱ）求B处与小岛D之间的距离BD（结果取整数）．
参考数据：tan31°≈0.60， 取1.4．
解：（Ⅰ）∵∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝＝40（海里），
∴该渔船航行的距离AB为40海里．
（Ⅱ）如答图，过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，
∴设BE＝DE＝x海里，
在Rt△ADE中，∠DAE＝31°，
∴AE＝≈ = ，
∴AB＝AE+BE＝ +x＝ ＝40，
∴x＝15，
∴BD＝DE≈21（海里）.
答：B处与小岛D之间的距离BD约为21海里．
17.(2024部分区一模)为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点C离地面高度．如图，已知舞台台阶AB＝5 m，∠BAD＝24°，某学习小组在舞台边缘B处测屏幕最高点C的仰角∠CBF＝45°，在距离B点2 m的E处测得屏幕最高点C的仰角∠CEF＝60°，已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且A，G，D三点在同一直线上，B，E，F三点在同一直线上．参考数据：sin24°取0.4， 取1.7．
（Ⅰ）求BG的长（结果保留整数）；
（Ⅱ）求最高点C离地面的高度CD的长（结果保留整数）．
解：（Ⅰ）在Rt△ABG中，
∵AB＝5 m，∠BAD＝24°，
∴BG＝AB·sin∠BAD＝5×sin24°≈2（m），
答：BG的长约为2 m．
（Ⅱ）在Rt△BCF中，
∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF，
在Rt△CEF中，
∵∠CEF＝60°，∴EF＝＝CF，
∵BF-EF＝BE＝2(m)，
∴CF-CF＝2(m)，∴CF≈5（m），
由题意得四边形BFDG是矩形，
∴FD＝BG＝2 m，
∴CD＝CF+DF＝5+2＝7（m）.
答：最高点C离地面的高度CD的长约为7 m．
18．（2024资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（Ⅰ）求B，C两处的距离；
（Ⅱ）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
解：（Ⅰ）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴AB＝AC＝海里，
如答图，过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHC＝∠AHB＝90°，
CH＝BH，
∴CH＝BH＝AB＝×＝8（海里），
∴BC＝BH+CH=16(海里)．
答：B，C两处的距离为16海里．
（Ⅱ）如答图，过点D作DG⊥BC于点G，
第18题答图在Rt△BDG中，BG＝≈ ＝2DG，
在Rt△CDG中，
CG＝ ≈ ，
∵BC＝BG-CG，
∴2DG - ＝16，
∴DG＝10.5（海里），
∴CG＝5海里，
∴BG＝BC+CG＝21（海里），
∴BD＝= （海里），
∴÷18= (时).
答：渔政船的航行时间为 小时．
19.(2024红桥区二模)综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度．如图，在梯形平台CDEF上有一座高为AB的古塔，已知CD＝6 m，∠DCF＝30°，点A在水平线DE上.某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为50.2°，在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为60°．
（Ⅰ）求梯形平台的高AG的长；
（Ⅱ）设古塔AB的高为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段CG的长；（结果保留根号）
②求古塔AB的高度（tan50.2°≈1.2，取1.7，结果取整数）．
解：（Ⅰ）如答图，过点D作DH⊥CF，垂足为H，
由题意得DH＝AG，
在Rt△CDH中，∠DCH＝30°，
CD＝6 m，
∴DH＝CD＝3（m），
∴AG＝DH＝3 m，
∴梯形平台的高AG的长为3 m.
第19题答图（Ⅱ）①由题意得BA⊥DE，DA＝HG，
在Rt△ABD中，AB＝h m，∠BDA＝60°，
∴DA＝=＝h（m），
∴HG＝AD＝hm，
在Rt△CDH中，∠DCH＝30°，CD＝6 m，
∴CH＝CD·cos30°＝6×＝3（m），
∴CG＝CH+HG＝（3+ h)m，
∴线段CG的长为（3+ h）m.
②由题意得BG⊥CF，
在Rt△BCG中，∠BCG＝50.2°，CG＝（3+ h）m，
∴BG＝CG·tan50.2°≈[(3+ h)×1.2]m，
∵AB+AG＝BG，∴h+3＝（3+ h）×1.2，
解得h≈10，
∴古塔AB的高度约为10 m．
20.(2024河东区二模)如图，l1，l2是两条南北向的笔直的公路，CD是公路l2上一座南北走向的大桥，一辆汽车在公路l1上由南向北行驶．已知在A处测得桥头C在北偏东α方向上，继续行驶1 500米后到达B处，测得桥头C在北偏东67°方向上，桥头D在北偏东45°方向上．
（Ⅰ）求线段AB的长和∠CBD的度数；
（Ⅱ）设两条公路之间的距离AE的长度为x（单位：m）．
①用含有x及α的式子表示线段EC的长；
②若α＝37°，求大桥CD的长度（tan67°≈2.36，tan37°≈0.75，结果保留整数）．
解：（Ⅰ）由题意可知AB＝1 500米，∠CBD＝67°-45°＝22°.
（Ⅱ）①由题意知l1∥l2，∠ACE＝α，
在Rt△ACE中，
EC＝ = （m）.
②如答图，过点C作CF⊥l1于点F，过点D作DG⊥l1于点G，
第20题答图由题意知CF＝AE＝DG＝x m，
在Rt△ACF中，
AF＝ = （m），
在Rt△BCF中，
BF＝ = （m），
∵AF-BF＝AB＝1 500（m），
∴ - ＝1 500，
解得x≈1 649.07，
∴DG＝1 649.07 m，BF＝ ≈ 698.76（m），
在Rt△BDG中，
∵∠DBG＝45°，∴BG＝DG≈1 649.07 m，
∴CD＝FG＝BG-BF＝1 649.07-698.76≈950（m）.
答：大桥CD的长度约为950 m．
1.(2024南开区二模)校庆期间，小南同学从家到学校瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从家出发后，导航给出两条路线，如图：①A→E→D→M；②A→B→C→M．经勘测，点E在点A的北偏西45°方向120 米处，点D在点E的正北方向，点M在点D的正东方向90米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东30°方向；点C在点M的正东方向40米处，且在点B的北偏西37°方向．
（Ⅰ）求EB的长度；（结果保留根号）
（Ⅱ）由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择哪条路线距离更短（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin37°取0.6，cos37°取0?8，tan37°取0.75）．
解：（Ⅰ）如答图，过点A作AG⊥BE于点G，
在Rt△AEG中，
∵∠EAG＝45°，
AE＝120 米，
∴EG＝AG＝AE·sin45°＝120（米），
在Rt△ABG中，
∵∠BAG＝30°，AG＝120米，
∴BG＝AG·tan30°＝40（米），
则EB＝BG+EG＝（40+120）米.
答：EB的长度为（40+120）米.
（Ⅱ）如答图，过点B作BH⊥CD，交DC的延长线于点H，
在Rt△ABG中，AB＝＝80（米），
由题意知四边形DEBH是矩形，
∴DH＝EB＝（40+120）米，DE=BH，
∵CM＝40 米，DM＝90米，
∴CH＝DH-（CM+DM）＝30(米)，
则在Rt△BCH中，有BC＝≈50(米)，BH＝≈40(米)，∴DE=BH=40米.
①：AE+DE+DM≈120+40+90≈299.2（米），
②：AB+BC+CM≈80+50+40≈257.6（米），
∵299.2＞257.6，∴路线②距离更短.
答：应该选择路线②．
2.(2024西青区二模)如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为58°，测得某建筑物CD的顶端D的俯角为45°，操控者在点B处测得建筑物CD的顶端D的仰角为42°．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，无人机距地面BC的高度AE是32 m．
（Ⅰ）求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长；（结果保留整数）
（Ⅱ）设建筑物CD的高为h．
①用含有h的式子表示BC；
②求建筑物CD的高度．（结果保留整数）
参考数据：tan58°取1.6，tan42°取0.9．
解：（Ⅰ）如答图，由题意得AF∥BC，
∴∠ABE＝∠FAB＝58°，
在Rt△ABE中，AE＝32 m，
∴BE＝≈ ＝20（m），
∴操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长为20 m.
（Ⅱ）①由题意得DC⊥BC，
在Rt△BCD中，∠DBC＝42°，CD＝h m，
∴BC＝＝ ≈＝ h（m），
∴BC的长约为h m.
②如答图，延长CD交AF于点G，
由题意得CG⊥FG，AG＝CE，CG＝AE＝32 m，
∵CD＝h m，
∴DG＝CG-CD＝（32-h）m，
在Rt△ADG中，
∵∠DAG＝45°，
∴AG＝＝（32-h）m，
∴CE＝AG＝（32-h）m，
∵BE+CE＝BC，
∴20+32-h≈h，
解得h≈25，
∴建筑物CD的高度约为25 m．
