第20讲 平行四边形与多边形
平行四边形性质的相关计算
1.（2023天津）如图，?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（-2，-2），（2，-2），则顶点D的坐标是( C )
A．（-4，1） B．（4，-2） C．（4，1） D．（2，1）
2.（2023天津）如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 .
平行四边形的性质与判定
1.（2023南开区二模）如图，平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(5，2)，则点D的坐标为（ A ）
A.(5，5) B.(5，6) C.(6，6) D.(5，4)
2.（2024乐山）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ D ）A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
3.（2024滨海新区结课）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，BE交对角线AC于点F，则EF∶FB的值是( B )
A．3∶2 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
4.（2024辽宁）如图平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ C ）
A．4 B．6 C．8 D．16
5.(2023泸州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2024巴中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若平行四边形ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ B ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7.（2024眉山）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.（2024广州）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 5 ．
9.【条件开放】（2024济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件：OB＝OD ，使四边形ABCD是平行四边形．
10.（2024北京）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC.
（Ⅰ）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（Ⅱ）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
（Ⅰ）证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE．
∵DF＝BF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，∴CF∥AD.
∵AF∥CD，
∴四边形AFCD为平行四边形．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，EF是△ABD的中位线，
∴AD＝2EF＝2．
∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，
∴BF＝3EF＝3,∴DF＝BF＝3．
∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，
∴AF＝＝．
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴CD＝AF＝．
∵DF＝BF，CE⊥BD，
∴BC＝CD＝．
11.（2024大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（Ⅰ）求证：四边形AECF是平行四边形；
（Ⅱ）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE．
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，
∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（Ⅱ）解：如答图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°-∠ADC＝180°-60°＝120°．
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1．
在Rt△CHD中，
CH＝＝＝3，
∴S△CDF＝DF·CH＝×2×3＝3．
由（Ⅰ）得，四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝DF＝×2＝1．
∵AD∥BC，∴△DGF∽△EGC，
∴＝＝，∴FG＝ CF，
∴S△GDF＝S△CDF＝．
多边形的性质与计算
12.（2024乐山）下列多边形中，内角和最小的是（ A ）
13.（2024枣庄）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ A ）
A．12 B．10 C．8 D．6
14.（2024河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（ B ）
A．115° B．120° C．135° D．144°
15.(2024和平区一模)如图，在平面直角坐标系中，以正六边形ABCDEF的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为( C )
A．(2,-) B．（2，-4） C．(2,-2) D．(,-4)
1.（2024临沂）如图，点E为?平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF的长为（ B ）
A. B.3 C. D.4
2.(2023河西区一模)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠C＝120°，点E是BC边的中点，连接DE，F是ED的中点，连接AF，则AF的长为 .第20讲 平行四边形与多边形
平行四边形性质的相关计算
1.（2023天津）如图，?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（-2，-2），（2，-2），则顶点D的坐标是( )
A．（-4，1） B．（4，-2） C．（4，1） D．（2，1）
2.（2023天津）如图，平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 .
平行四边形的性质与判定
1.（2023南开区二模）如图，平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(5，2)，则点D的坐标为( )
A.(5，5) B.(5，6) C.(6，6) D.(5，4)
2.（2024乐山）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．AB∥DC，AD＝BC
3.（2024滨海新区结课）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，BE交对角线AC于点F，则EF∶FB的值是( )
A．3∶2 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
4.（2024辽宁）如图平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为( )
A．4 B．6 C．8 D．16
5.(2023泸州)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2024巴中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若平行四边形ABCD的周长为12，则△COE的周长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
7.（2024眉山）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.（2024广州）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ ．
9.【条件开放】（2024济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件： ，使四边形ABCD是平行四边形．
10.（2024北京）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC.
（Ⅰ）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（Ⅱ）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
11.（2024大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（Ⅰ）求证：四边形AECF是平行四边形；
（Ⅱ）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
多边形的性质与计算
12.（2024乐山）下列多边形中，内角和最小的是( )
13.（2024枣庄）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
14.（2024河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝( )
A．115° B．120° C．135° D．144°
15.(2024和平区一模)如图，在平面直角坐标系中，以正六边形ABCDEF的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为( )
A．(2,-) B．（2，-4） C．(2,-2) D．(,-4)
1.（2024临沂）如图，点E为?平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF的长为( )
A. B.3 C. D.4
2.(2023河西区一模)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠C＝120°，点E是BC边的中点，连接DE，F是ED的中点，连接AF，则AF的长为 .
