第23讲 与圆有关的位置关系
与切线性质有关的证明与计算
1.（2024天津）已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于
点C.
（Ⅰ）如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
（Ⅱ）如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长．
解：(Ⅰ)∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO.
∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠ABO＝30°，
∴∠AOB＝180°-2∠ABO＝120°.
∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径，
∴∠ECM＝90°.
∵AB∥MN，
∴∠CDB＝∠ECM＝90°.
∵∠BOE＝90°-∠ABO＝60°，∠BCE＝∠BOE，
∴∠BCE＝30°．
（Ⅱ）如答图，连接OC．
同(Ⅰ)，得∠COB＝90°.
∵CG⊥AB，
∴∠FGB＝90°.
∵∠ABO＝30°，
∴∠BFG＝90°-∠ABO＝60°，
∴∠CFO＝∠BFG＝60°.
在Rt△COF中，tan∠CFO＝，
∵OC＝OA＝3，
∴OF＝＝＝．
2.(2024天津)已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图1，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图2，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
解：（Ⅰ）∵为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C为AB的中点，
∴，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴AC＝AB·cos∠CAB＝3.
（Ⅱ）∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵OD⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD＝EC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，
∴BC＝＝4，
∵OD⊥BC，∠ACB=90°,O为AB的中点，
∴OE为Rt△ABC的中位线，
∴EC＝BC＝2，
∴FD＝EC＝2．
3.（2023天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图1，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图2，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
解：（Ⅰ）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°-∠BAC）＝ ×（180°-42°）＝69°.
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠D＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°-∠D＝90°-42°＝48°，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC-∠DBC＝69°-48°＝21°.
（Ⅱ）如答图，连接OD，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°-∠B＝180°-69°＝111°，
∴∠CAD＝180°-∠ACD-∠ADC＝180°-42°-111°＝27°，
∴∠COD＝2∠CAD＝54°.
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝90°-∠DOE＝90°-54°＝36°．
4.（2023天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图1，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图2，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
解：（Ⅰ）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠BCD=∠APC-∠ABC=100°-63°=37°，
由圆周角定理得∠BAD=∠BCD=37°，
∠ADC=∠ABC=63°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-63°=27°.
（Ⅱ）如答图，连接OD，
∵CD⊥AB，
∴∠CPB=90°，
∴∠PCB=90°-∠ABC=90°-63°=27°.
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°.
∵∠BOD=2∠PCB=2×27°=54°，
∴∠E=90°-∠BOD=90°-54°=36°．
三角形的内切圆
1.（2023聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（ C ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
2.（2024南开区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为（ A ）
A．16 B．14 C．12 D．10
3.（2024部分区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，CA，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝13，AC＝5，BC＝12，则⊙O的半径r为 2 .
与切线性质有关的证明与计算
4.（2024红桥区期末）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的大小为（ B ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5.（2024滨海新区期末）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=21°，则∠C的度数是（ C ）
A.21° B.42° C.48° D.69°
6.（2024河东区期末）如图，已知点P是⊙O外一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点M．下面是忠忠给出的两种作法：
作法Ⅰ：如图1，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点M，作直线PM．直线PM即为所求．
作法Ⅱ：如图2，连接OP，交⊙O于点B，作直径BC，以点O为圆心，BC长为半径作弧；以点P为圆心，OP长为半径作弧，两弧相交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM．直线PM即为所求．
对于忠忠的两种作法，下列说法正确的是（ A ）
A．两种作法都正确
B．两种作法都错误
C．作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误
D．作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误
7.(2024河北区一模)在⊙O中，点A，点B，点P在圆上，∠AOB＝150°．
（Ⅰ）如图1，P为弦AB所对的优弧上一点，半径OC经过弦AB的中点M，PB＝AB，求∠AOC和∠ABP的大小；
（Ⅱ）如图2，P为弦AB所对的劣弧上一点，AP＝OB，过点B作⊙O的切线，与AO的延长线相交于点D，若DB=，求PB的长．
解：（Ⅰ）在⊙O中，半径OC经过弦AB的中点M，
∴，∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC= ∠AOB=75°，
∵∠APB= ∠AOB，∴∠APB＝75°，
又∵PB＝AB，
∴∠PAB＝∠APB＝75°，
∴∠ABP＝180°-∠PAB-∠APB＝30°.
（Ⅱ）∵∠AOB＝150°，
∴∠DOB＝30°，
∵DB切⊙O于点B，∴∠OBD＝90°，
在Rt△ODB 中，DB=，tan∠DOB=，
∴OB= =3，
∵AP＝OB，
∴AP＝OB＝OP＝OA，
∴△OAP为等边三角形，∴∠AOP＝60°，
∴∠POB＝180°-∠AOP-∠DOB＝90°，
在Rt△POB 中，PO＝OB=3，
∴PB==．
8.（2024赤峰）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．
（Ⅰ）求证：EF是⊙O的切线；
（Ⅱ）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长．
（Ⅰ）证明：如答图，连接OE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠COE＝2∠ABC＝90°，
∵EF∥CD，
∴∠COE+∠FEO＝180°，
∴∠FEO＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：如答图，过点M作MH⊥BC于点H，
则△BMH是等腰直角三角形，
∵BM＝4，∴BH＝MH＝BM＝4，
在Rt△CHM中，
∵tan∠BCD＝ = ，
∴CH＝2MH＝8，
∴CM＝=4，CB＝CH+BH＝12，
连接BD，
∵CD是⊙O的直径，∴BD⊥BC，
∴MH∥BD，∴ = ，
∴ = ，∴DM＝2，∴CD=6,
∴OD＝CD＝3，
∴OM＝OD-DM＝．
9.(2024西青区一模)已知AB是⊙O的直径，且AB＝8，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，连接AC.
（Ⅰ）如图1，若∠CAO＝67.5°，求∠P的大小和PO的长；
（Ⅱ）如图2，若∠CAO＝60°，过点B作BD∥CP交⊙O于点D，连接CD交AB于点M，求CD的长．
解：（Ⅰ）如答图1，连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，
∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝67.5°，
∴∠AOC＝180°-∠ACO-∠CAO＝45°，
∴△PCO是等腰直角三角形，
∴∠P＝45°，PO＝OC，
∵OC＝AB＝×8＝4，∴PO＝4.
（Ⅱ）如答图2，连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，
∵OA＝OC，∠CAO＝60°，
∴△ACO是等边三角形，∴∠AOC＝60°．
∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，
∵BD∥CP，∴∠B＝∠P＝30°，
∵∠D＝∠CAO＝60°，
∴∠DMB＝180°-∠B-∠D＝90°，
∴直径AB⊥CD，∴CD＝2CM，
∵△ACO是等边三角形，AB⊥CD，
∴CM＝32OC＝2，∴CD＝2×2＝4．
10.(2024部分区一模)已知AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，E为AC上一点，BE与CD交于点F．
（Ⅰ）如图1，若E为AC的中点，连接OE，求∠ABE和∠OAE的大小；
（Ⅱ）如图2，过点E作⊙O的切线，分别与BA，DC的延长线交于点G，H，若⊙O的半径为6，EH＝8，求BF的长．
解：（Ⅰ）∵AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝45°，
∴∠ABE＝∠AOE＝22.5°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝＝67.5°．
第10题答图（Ⅱ）如答图，连接OE，
∵GH为⊙O的切线，
∴OE⊥GH，
∴∠OEH＝90°，
∴OH＝＝．
∵AB⊥CD，∴∠BOF＝90°，
∴∠B+∠OFB＝90°，
∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB+∠OFB＝90°．
∵∠OEB+∠FEH＝90°，∴∠FEH＝∠OFB．
∵∠OFB＝∠EFH，∴∠FEH＝∠EFH，
∴HF＝EH＝8，∴OF＝OH-HF＝2，
∴BF＝＝2．
11.(2024和平区二模)已知AB是半圆O的直径，C是的中点．
（Ⅰ）如图1，若∠BAD＝40°，求∠ABC和∠ADC的大小；
（Ⅱ）如图2，过点C作半圆O的切线CM，过点O作OE⊥CD与CM相交于点E，若CD∥AB，AB＝4，求CE的长．
解：（Ⅰ）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C是的中点，即＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×40°＝20°，
∴∠ABC＝90°-20°＝70°，
∵四边形ABCD为半圆O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-70°＝110°．
第11题答图（Ⅱ）如答图，连接OC，OD，BC，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
由（Ⅰ）知∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝×180°＝60°，
∵OE⊥CD，CD∥AB，∴OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，∴∠COE＝30°，
∵CM为半圆O的切线，∴OC⊥CM，∴∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，
∵∠COE＝30°，OC＝AB＝2，
∴CE＝3OC＝．
12.(2024河北区二模)在⊙O中，AB是⊙O的直径，=，弦CD交OB于点M，
∠CDB＝22.5°．
（Ⅰ）如图1，求∠ACD和∠ODB的大小；
（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线CN，过点A作AH⊥CN于点H，若AB＝8，求CH的长．
解：（Ⅰ）如答图1，连接OC，
∵在⊙O中，=，
∴∠COB＝∠DOB，OM⊥CD，
∵∠CDB＝22.5°，
∴∠CAB＝∠CDB＝22.5°，
∴∠ACD＝90°-∠CAB＝67.5°，
∴∠ABD＝∠ACD＝67.5°，
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD＝67.5°.
（Ⅱ）如答图2，连接OC，
∵CN切⊙O于点C，
∴OC⊥HN于点C，∴∠OCH＝∠OCN＝90°，
∵AH⊥CN于点H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠AHC＝∠OCN＝90°，
∴AH∥OC，
同（Ⅰ）可得∠BOC＝45°，
∴∠HAO＝∠BOC＝45°，
过点O作OP⊥AH于点P，
∴△OPA是等腰直角三角形，
∵AO＝AB＝4，
∴PO＝AO＝×4＝2，
∵∠OCH＝∠CHP＝∠HPO＝90°，
∴四边形CHPO为矩形，
∴CH=PO=2．
13.(2024河东区二模)已知AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上．
（Ⅰ）如图1，若CD∥AB且C是弧BD的中点，AD与BC延长线交于点E，求∠E的大小；
（Ⅱ）如图2，过点D作⊙O的切线l，若切线l∥AB，且AB＝10，BC＝6，求弦CD的长．
解：（Ⅰ）如答图1，连接OC，OD，
∵C是弧BD的中点，∴BC=CD，
∴∠BOC=∠COD，
∵CD∥AB，
∴∠BOC=∠OCD，
∴∠OCD=∠COD，∴CD=OD，
∴OC=OD=CD，∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD=60°，∴∠BOC=∠AOD=60°，
易得△OAD和△OBC都为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，∴∠E=60°.
（Ⅱ）如答图2，连接OD，BD，过点B作BH⊥CD于点H，
∵l为⊙O的切线，∴OD⊥l,
∵AB∥l,∴OD⊥AB，
∴∠BOD=90°，∴∠BCD= ∠BOD=45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴CH=BH=BC=3，
在Rt△BOD中，BD===5，
在Rt△BDH中，DH==4，
∴CD=CH+DH=3+4=7.
14.(2024西青区二模)已知AB是⊙O的直径，点C，D是AB上方半圆上的两点，连接BC，CD，DA．
（Ⅰ）如图1，若点C是的中点，∠BCD＝110°，求∠ADC和∠ABC的大小；
（Ⅱ）如图2，若点D是半圆的中点，且DC＝OA，过点C作⊙O的切线，与AD的延长线交于点E，CE＝4，求AD的长．
解：（Ⅰ）如答图1，连接，
第14题答图1∵∠BCD＝110°，
∴∠A＝180°-∠BCD＝180°-110°＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°-70°＝20°，
∵点C是BD的中点，∴=，∴CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°-110°）＝35°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°+35°＝125°，
∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝20°+35°＝55°.
（Ⅱ）如答图2，连接OD，OC，
∵点D是半圆的中点，∴OD⊥AB，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝45°，
∵CD＝OA，∴CD＝OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠CDE＝180°-45°-60°＝75°，
∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，
∴∠DCE＝30°，∴∠E＝180°-30°-75°＝75°，
∴∠E＝∠CDE，∴CD＝CE＝4，
∴OA＝CD＝4，∴AD＝OA＝4．
1.(2024河西区二模)在⊙O中，延长直径AB至点C，以AC为一边的等腰三角形CAD，CA＝CD，底边DA与⊙O交于点E，直线EF是⊙O的切线，交CD于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠C＝40°时，求∠A和∠EFD的大小；
（Ⅱ）如图2，当∠C＝60°且直线FB恰与⊙O相切．若OA＝3，求FD的长．
解：（Ⅰ）如答图1，连接OE，则OE＝OA，
∴∠A＝∠OEA.
∵CA＝CD，∠C＝40°，
∴∠A＝∠D＝12×（180°-40°）＝70°，
∴∠D＝∠OEA，∴CD∥OE.
∵直线EF是⊙O的切线，
∴EF⊥OE，∴∠EFD＝∠OEF＝90°，
∴∠A和∠EFD的大小分别是70°和90°．
（Ⅱ）如答图2，连接OE，OF.
∵CA＝CD，∠C＝60°，
∴△CAD是等边三角形，
∴∠A＝∠D＝60°.
∵OE＝OA＝3，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝∠OEA＝60°.
∵直线BF，EF都是⊙O的切线，
∴BF⊥OB，EF⊥OE，
∴∠FBO＝∠FEO＝90°，∠BFO＝∠EFO.
∵∠FOB+∠BFO＝90°，∠FOE+∠EFO＝90°，
∴∠FOB＝∠FOE＝ ＝60°，
∴∠FOB＝∠A，∠OEA＝∠D，
∴OF∥ED，OE∥FD，
∴四边形OEDF是平行四边形，
∴FD＝OE＝3，∴FD的长为3．
2.(2024部分区二模)已知AB是⊙O的直径，AD，DE是⊙O的弦．
（Ⅰ） 如图1，若E为AB的中点，∠DAB＝28°，求∠ABD和∠DAE的大小；
（Ⅱ） 如图2，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点C，连接CE，若DE是⊙O的直径，AD＝DC，CB＝2，求CE的长．
解：（Ⅰ）如答图1，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°，
∵∠DAB＝28°，
∴∠ABD＝90°-∠DAB＝90°-28°＝62°，
∠DAE＝∠DAB+∠EAB＝28°+45°＝73°，
∴∠ABD的度数为62°，∠DAE的度数为73°．
（Ⅱ）如答图2，连接BD，BE，
∵DC与⊙O相切于点D，DE是⊙O的直径，
∴DC⊥DE，∠EBD＝90°，
∴∠CDE＝∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADO＝90°-∠ODB，
∵AD＝CD，
∴∠DCB＝∠A，
∴△DCB≌△DAO（ASA），
∴BD＝OD＝OB，∴△BOD是等边三角形，
∴∠ODB＝∠OBD＝∠BOD＝60°，
∴∠DCB＝∠A＝∠BOD＝30°，∠CDB＝∠CDE-∠ODB＝30°，
∴∠DCB＝∠CDB，∴BD＝CB＝，
∴OE＝OD＝2，∴DE＝OE+OD＝2+2＝4，
∵DCOD＝tan60°＝，
∴DC＝OD＝×2＝2，
∴CE＝==2，
∴CE的长是2．第23讲 与圆有关的位置关系
与切线性质有关的证明与计算
1.（2024天津）已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于
点C.
（Ⅰ）如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
（Ⅱ）如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长．
2.(2024天津)已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图1，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图2，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
3.（2023天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图1，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图2，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
4.（2023天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．
（Ⅰ）如图1，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（Ⅱ）如图2，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
三角形的内切圆
1.（2023聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
2.（2024南开区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
3.（2024部分区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，CA，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝13，AC＝5，BC＝12，则⊙O的半径r为 .
与切线性质有关的证明与计算
4.（2024红桥区期末）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的大小为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
5.（2024滨海新区期末）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=21°，则∠C的度数是( )
A.21° B.42° C.48° D.69°
6.（2024河东区期末）如图，已知点P是⊙O外一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点M．下面是忠忠给出的两种作法：
作法Ⅰ：如图1，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点M，作直线PM．直线PM即为所求．
作法Ⅱ：如图2，连接OP，交⊙O于点B，作直径BC，以点O为圆心，BC长为半径作弧；以点P为圆心，OP长为半径作弧，两弧相交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM．直线PM即为所求．
对于忠忠的两种作法，下列说法正确的是( )
A．两种作法都正确
B．两种作法都错误
C．作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误
D．作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误
7.(2024河北区一模)在⊙O中，点A，点B，点P在圆上，∠AOB＝150°．
（Ⅰ）如图1，P为弦AB所对的优弧上一点，半径OC经过弦AB的中点M，PB＝AB，求∠AOC和∠ABP的大小；
（Ⅱ）如图2，P为弦AB所对的劣弧上一点，AP＝OB，过点B作⊙O的切线，与AO的延长线相交于点D，若DB=，求PB的长．
8.（2024赤峰）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．
（Ⅰ）求证：EF是⊙O的切线；
（Ⅱ）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长．
9.(2024西青区一模)已知AB是⊙O的直径，且AB＝8，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，连接AC.
（Ⅰ）如图1，若∠CAO＝67.5°，求∠P的大小和PO的长；
（Ⅱ）如图2，若∠CAO＝60°，过点B作BD∥CP交⊙O于点D，连接CD交AB于点M，求CD的长．
10.(2024部分区一模)已知AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，E为AC上一点，BE与CD交于点F．
（Ⅰ）如图1，若E为AC的中点，连接OE，求∠ABE和∠OAE的大小；
（Ⅱ）如图2，过点E作⊙O的切线，分别与BA，DC的延长线交于点G，H，若⊙O的半径为6，EH＝8，求BF的长．
11.(2024和平区二模)已知AB是半圆O的直径，C是的中点．
（Ⅰ）如图1，若∠BAD＝40°，求∠ABC和∠ADC的大小；
（Ⅱ）如图2，过点C作半圆O的切线CM，过点O作OE⊥CD与CM相交于点E，若CD∥AB，AB＝4，求CE的长．
12.(2024河北区二模)在⊙O中，AB是⊙O的直径，=，弦CD交OB于点M，
∠CDB＝22.5°．
（Ⅰ）如图1，求∠ACD和∠ODB的大小；
（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线CN，过点A作AH⊥CN于点H，若AB＝8，求CH的长．
13.(2024河东区二模)已知AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上．
（Ⅰ）如图1，若CD∥AB且C是弧BD的中点，AD与BC延长线交于点E，求∠E的大小；
（Ⅱ）如图2，过点D作⊙O的切线l，若切线l∥AB，且AB＝10，BC＝6，求弦CD的长．
14.(2024西青区二模)已知AB是⊙O的直径，点C，D是AB上方半圆上的两点，连接BC，CD，DA．
（Ⅰ）如图1，若点C是的中点，∠BCD＝110°，求∠ADC和∠ABC的大小；
（Ⅱ）如图2，若点D是半圆的中点，且DC＝OA，过点C作⊙O的切线，与AD的延长线交于点E，CE＝4，求AD的长．
1.(2024河西区二模)在⊙O中，延长直径AB至点C，以AC为一边的等腰三角形CAD，CA＝CD，底边DA与⊙O交于点E，直线EF是⊙O的切线，交CD于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠C＝40°时，求∠A和∠EFD的大小；
（Ⅱ）如图2，当∠C＝60°且直线FB恰与⊙O相切．若OA＝3，求FD的长．
2.(2024部分区二模)已知AB是⊙O的直径，AD，DE是⊙O的弦．
（Ⅰ） 如图1，若E为AB的中点，∠DAB＝28°，求∠ABD和∠DAE的大小；
（Ⅱ） 如图2，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点C，连接CE，若DE是⊙O的直径，AD＝DC，CB＝2，求CE的长．
