第24讲 与圆有关的计算
弧长与扇形面积的计算
1.（2024部分区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A＝36°，则的长是 ( )
A． B． C． D．
2.（2024包头）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则 的长为( )
A. B. C. D.π
3.（2024广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 的长度为( )
A. B. C. D.
4.【传统文化】（2024自贡）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30 cm，扇面的BD边长为18 cm，则扇面面积为
cm2（结果保留π）．
5.（2024深圳）如图，在矩形ABCD中，BC=AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 ．
6.（2024苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ ．（结果保留π）
圆锥的相关计算
7.（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是( )
A. B. C.2π D.
8.（2024扬州）若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm．
9.（2024通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm2（结果用含π的式子表示）．
10.（2024齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
11.（2024烟台）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作 ，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
阴影部分面积的计算
12.（2023南开区期末）如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为( )
A.π B.π C.π D.π
13.（2024重庆A卷）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为( )
A．32-8π B．16-4 C．32-4π D．16-8π
14.（2024河南）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为( )
A.π B.4π C.π D.16π
15.（2024泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( )
A.π- B.π C.π- D.π -
16.（2024和平区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是 .
17.（2024吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D.OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
18.（2024资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
19.（2024宁夏）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：BC∥EF；
（Ⅱ）连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=12，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
1.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，⊙O的半径为6 cm，则图中 的长为 cm.（结果保留π）
2.【传统文化】窗格是汉族传统木结构建筑中的框架结构设计，是汉族传统建筑中最重要的构成元素和审美文化.如图，窗格的整体外形结构是扇形的一部分，其上段AB两个端点A，B之间的弧长为80 cm，下段CD两个端点C，D两点之间的弧长为50 cm，边AC＝BD＝30 cm，若要在该窗格上镶嵌一块玻璃，则所镶嵌玻璃的面积为 cm2.第24讲 与圆有关的计算
弧长与扇形面积的计算
1.（2024部分区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A＝36°，则的长是 （ A ）
A． B． C． D．
2.（2024包头）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则 的长为( B )
A. B. C. D.π
3.（2024广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 的长度为（ C ）
A. B. C. D.
4.【传统文化】（2024自贡）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30 cm，扇面的BD边长为18 cm，则扇面面积为
252π cm2（结果保留π）．
5.（2024深圳）如图，在矩形ABCD中，BC=AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 4π ．
6.（2024苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ 8π ．（结果保留π）
圆锥的相关计算
7.（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（ D ）
A. B. C.2π D.
8.（2024扬州）若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 5 cm．
9.（2024通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 60π cm2（结果用含π的式子表示）．
10.（2024齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 15 cm．
11.（2024烟台）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作 ，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 3 ．
阴影部分面积的计算
12.（2023南开区期末）如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（ C ）
A.π B.π C.π D.π
13.（2024重庆A卷）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ D ）
A．32-8π B．16-4 C．32-4π D．16-8π
14.（2024河南）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（ C ）
A.π B.4π C.π D.16π
15.（2024泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ A ）
A.π- B.π C.π- D.π -
16.（2024和平区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是 π .
17.（2024吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D.OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 11π m2（结果保留π）．
18.（2024资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 π ．
19.（2024宁夏）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：BC∥EF；
（Ⅱ）连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=12，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
（Ⅰ）证明：如答图，连接OE，交BC于点G．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵D为△ABC 的内心，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径，
∴∠FEO＝90°，
∴∠BGO＝∠FEO，
∴BC∥EF．
（Ⅱ）解：如答图，连接BE．
∵sin∠AEC = ，
∴∠AEC＝30°，
∴∠ABC＝∠AEC＝30°，
∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°，
∴EF＝OE·tan60°＝2，
∴S阴影部分＝S△EFO-S扇形BOE
＝×2×2-
＝2- π．
1.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P.若∠P＝120°，⊙O的半径为6 cm，则图中 的长为 2π cm.（结果保留π）
2.【传统文化】窗格是汉族传统木结构建筑中的框架结构设计，是汉族传统建筑中最重要的构成元素和审美文化.如图，窗格的整体外形结构是扇形的一部分，其上段AB两个端点A，B之间的弧长为80 cm，下段CD两个端点C，D两点之间的弧长为50 cm，边AC＝BD＝30 cm，若要在该窗格上镶嵌一块玻璃，则所镶嵌玻璃的面积为 1 950 cm2.
