题型二 二次函数的图象与性质(针对第12题)
二次函数的实际应用
1.(2024河东区一模)如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
y＝- x2+ x+1的一部分（水平地面为x轴，单位：m），有下列结论：
①出球点A离点O的距离是1 m；
②羽毛球最高达到 m；
③羽毛球横向飞出的最远距离是3 m.
其中，正确结论的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.(2024南开区二模)已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6 120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6 250元．
其中，正确结论的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．(2024滨海新区二模)如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t-5t2．有下列结论：
①小球从飞出到落地用时为4 s；
②小球飞行的最大高度为20 m；
③小球的飞行高度为15 m时，小球飞行的时间是1 s．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.(2024河北区二模)如图，一男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）是水平距离x（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：
①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米；
②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为：y=- x2+ x+ ；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．
其中，正确结论的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．在科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：
温度/℃ … -4 -2 0 2 4 4.5 …
植物每天高 度增长量/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法：
①该植物在0 ℃时，每天高度增长量最大；
②该植物在-6 ℃时，每天高度增长量仍能保持在20 mm以上；
③该植物在-1至6 ℃的环境下，每天高度增长量随温度的增大而减小．
其中正确说法的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6.为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小矩形组成的矩形ABCD区域（如图），若BC=x米，则下列4个结论：
①AB＝(40- x)米；
②BC=2CF；
③AE=2BE；
④矩形ABCD的最大面积为300平方米.
其中正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
7.某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x（元/千克）（x≥30，且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y（千克）．有下列说法：①当x＝36时，y＝420；
②y与x之间的函数关系式为y＝-30x+1 500；
③若使日销售利润为2 880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克；
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
8.(2024和平区三模)用一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园．
方案一：如图1，围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，其中AD≥AB；
方案二：如图2，围成一个扇形菜园，一条半径EF是墙，其余用篱笆．
有下列结论：
①AB的长可以是13 m；
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160 m2；
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162 m2；
④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9.(2024西青区一模)如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地ABCD，墙角两边DC和DA足够长，用总长28 m的篱笆围成另外两边AB和BC.
有下列结论：
第9题图①当AB的长是10 m时，劳动基地ABCD的面积是180 m2；
②AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积为192 m2；
③点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12 m，到墙DA的距离是8 m，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是196 m2，最小值是160 m2．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
10.(2024河北区一模)如图，是一块菱形新型平面材料ABCD，∠BAD＝135°，AB＝50 cm，点E在BC上，且EA垂直于AD，先沿着AE切开材料，然后在四边形ADCE内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在AD，AE上，一个顶点落在CD边上．设边AE上矩形的边长为x cm，矩形的面积为y cm2.有下列结论：
①y与x之间的函数关系式为：y=-x2+50x(0②当x＝10时，切割出矩形后，四边形AECD剩余的面积为（1 250-625）cm2；
③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为1.5元 /cm2，则当x＝25时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为937.5元 ．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数的图象与a，b，c之间的关系
11.(2024滨海新区一模)抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，对称轴是x＝1，与x轴的一个交点在（-2，0）和（-1，0）之间（不包括这两个点）．有下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③方程ax2+bx-b＝0没有实数根．
其中，正确结论的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，它的对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＜0；
②当x＞2时，y＞0；
③a＋c＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）.
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.(2023西青区一模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0，c＞-1）对称轴为
x＝，且经过点（-1，0）.下列结论：
①a-b＝0；
②0＜a＜；
③关于x的方程ax2+bx+c+1＝0恰好有两个相等的实数根，则a＝.
其中，正确的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
14.(2023部分区二模)如图是抛物线y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的交点是B（3，0）.有下列结论：
①抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；
②关于x的方程 ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；
③x（ax+b）≤a+b.
其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
15.(2023河西区一模)若关于x的一元二次方程x2-4x+3＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，有下列结论：
①m＜-2；
②x1＝1，x2＝3；
③二次函数y＝（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）.
其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
16.(2023和平区一模)二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -3 x1 -1 x2 x3 1 …
y … m 0 k 0 n m …
其中-3＜x1＜-1＜0＜x2＜x3＜1，n＜m.有下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③ =-3；
④当t≤x≤1时，y有最大值为m，最小值为k，此时t的取值范围是-3≤t≤-1.
其中，正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
17.(2023南开区三模)如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点（m，0）和（1，0），有下列结论：
①abc＞0；
② + +1=0；
③关于x的方程ax2+bx+c+m=0必有两个不相等的实数根.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
18.(2023滨海新区二模)二次函数y=ax2+bx+c的大致图象如图所示，其中顶点为（2，-9a），则下列结论：
①abc＜0；
②4a-2b+c＞0；
③若方程a（x-5）（x+1）=-1有两根为x1和x2，且x1＜x2，
则x1＜-1＜5＜x2.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
19.(2024和平区一模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（- ，0），其对称轴是直线x＝1，当x＝-1时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＜0；
②若点（-3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；
③若方程a（2x+1）（2x-5）+2＝0的两根为x1，x2且x1＜x2，则-＜x1＜x2＜；
④a＞．
其中，正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20.(2023红桥区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c均是不为0的常数)经过点(1，0).有如下结论：
①若此抛物线过点(-3，0)，则b＝2a；
②若b＝c，则关于x的方程cx2+bx+a＝0一定有一根x＝-2；
③点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2.
其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3题型二 二次函数的图象与性质(针对第12题)
二次函数的实际应用
1.(2024河东区一模)如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
y＝- x2+ x+1的一部分（水平地面为x轴，单位：m），有下列结论：
①出球点A离点O的距离是1 m；
②羽毛球最高达到 m；
③羽毛球横向飞出的最远距离是3 m.
其中，正确结论的个数是( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.(2024南开区二模)已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6 120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6 250元．
其中，正确结论的个数是（ C ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．(2024滨海新区二模)如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t-5t2．有下列结论：
①小球从飞出到落地用时为4 s；
②小球飞行的最大高度为20 m；
③小球的飞行高度为15 m时，小球飞行的时间是1 s．
其中，正确结论的个数是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4.(2024河北区二模)如图，一男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）是水平距离x（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：
①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米；
②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为：y=- x2+ x+ ；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．
其中，正确结论的个数是（ B ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．在科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：
温度/℃ … -4 -2 0 2 4 4.5 …
植物每天高 度增长量/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法：
①该植物在0 ℃时，每天高度增长量最大；
②该植物在-6 ℃时，每天高度增长量仍能保持在20 mm以上；
③该植物在-1至6 ℃的环境下，每天高度增长量随温度的增大而减小．
其中正确说法的个数是（ C ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6.为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小矩形组成的矩形ABCD区域（如图），若BC=x米，则下列4个结论：
①AB＝(40- x)米；
②BC=2CF；
③AE=2BE；
④矩形ABCD的最大面积为300平方米.
其中正确结论的序号是（ D ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
7.某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x（元/千克）（x≥30，且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y（千克）．有下列说法：①当x＝36时，y＝420；
②y与x之间的函数关系式为y＝-30x+1 500；
③若使日销售利润为2 880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克；
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克.
其中正确结论的序号是（ B ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
8.(2024和平区三模)用一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园．
方案一：如图1，围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，其中AD≥AB；
方案二：如图2，围成一个扇形菜园，一条半径EF是墙，其余用篱笆．
有下列结论：
①AB的长可以是13 m；
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160 m2；
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162 m2；
④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．
其中，正确结论的个数是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9.(2024西青区一模)如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地ABCD，墙角两边DC和DA足够长，用总长28 m的篱笆围成另外两边AB和BC.
有下列结论：
第9题图①当AB的长是10 m时，劳动基地ABCD的面积是180 m2；
②AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积为192 m2；
③点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12 m，到墙DA的距离是8 m，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是196 m2，最小值是160 m2．
其中，正确结论的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
10.(2024河北区一模)如图，是一块菱形新型平面材料ABCD，∠BAD＝135°，AB＝50 cm，点E在BC上，且EA垂直于AD，先沿着AE切开材料，然后在四边形ADCE内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在AD，AE上，一个顶点落在CD边上．设边AE上矩形的边长为x cm，矩形的面积为y cm2.有下列结论：
①y与x之间的函数关系式为：y=-x2+50x(0②当x＝10时，切割出矩形后，四边形AECD剩余的面积为（1 250-625）cm2；
③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为1.5元 /cm2，则当x＝25时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为937.5元 ．
其中，正确结论的个数是( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
二次函数的图象与a，b，c之间的关系
11.(2024滨海新区一模)抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，对称轴是x＝1，与x轴的一个交点在（-2，0）和（-1，0）之间（不包括这两个点）．有下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＜0；
③方程ax2+bx-b＝0没有实数根．
其中，正确结论的个数是( A )
A．3 B．2 C．1 D．0
12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，它的对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＜0；
②当x＞2时，y＞0；
③a＋c＜0；
④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）.
其中正确结论的个数是（ A ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.(2023西青区一模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0，c＞-1）对称轴为
x＝，且经过点（-1，0）.下列结论：
①a-b＝0；
②0＜a＜；
③关于x的方程ax2+bx+c+1＝0恰好有两个相等的实数根，则a＝.
其中，正确的个数是（ B ）
A.3 B.2 C.1 D.0
14.(2023部分区二模)如图是抛物线y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的交点是B（3，0）.有下列结论：
①抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；
②关于x的方程 ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；
③x（ax+b）≤a+b.
其中，正确结论的个数是（ D ）
A.0 B.1 C.2 D.3
15.(2023河西区一模)若关于x的一元二次方程x2-4x+3＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，有下列结论：
①m＜-2；
②x1＝1，x2＝3；
③二次函数y＝（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）.
其中，正确结论的个数是（ B ）
A.0 B.1 C.2 D.3
16.(2023和平区一模)二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -3 x1 -1 x2 x3 1 …
y … m 0 k 0 n m …
其中-3＜x1＜-1＜0＜x2＜x3＜1，n＜m.有下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③ =-3；
④当t≤x≤1时，y有最大值为m，最小值为k，此时t的取值范围是-3≤t≤-1.
其中，正确结论的个数是（ D ）
A.1 B.2 C.3 D.4
17.(2023南开区三模)如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点（m，0）和（1，0），有下列结论：
①abc＞0；
② + +1=0；
③关于x的方程ax2+bx+c+m=0必有两个不相等的实数根.
其中正确的有（ C ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
18.(2023滨海新区二模)二次函数y=ax2+bx+c的大致图象如图所示，其中顶点为（2，-9a），则下列结论：
①abc＜0；
②4a-2b+c＞0；
③若方程a（x-5）（x+1）=-1有两根为x1和x2，且x1＜x2，
则x1＜-1＜5＜x2.
其中正确的个数是（ C ）
A.0 B.1 C.2 D.3
19.(2024和平区一模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（- ，0），其对称轴是直线x＝1，当x＝-1时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＜0；
②若点（-3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；
③若方程a（2x+1）（2x-5）+2＝0的两根为x1，x2且x1＜x2，则-＜x1＜x2＜；
④a＞．
其中，正确结论的个数有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20.(2023红桥区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c均是不为0的常数)经过点(1，0).有如下结论：
①若此抛物线过点(-3，0)，则b＝2a；
②若b＝c，则关于x的方程cx2+bx+a＝0一定有一根x＝-2；
③点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2.
其中，正确结论的个数是( D )
A.0 B.1 C.2 D.3
