题型六 二次函数的综合应用(针对第25题)
线段问题
1.（2024天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点．
（Ⅰ）当a＝1，c＝-1时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）当OM＝OP＝ 时，求a的值；
（Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，NE＋NF＝DM，当DE+MF取得最小值为 时，求a的值．
解：(Ⅰ)∵2a+b＝0，a＝1，
∴b＝-2a＝-2，
又∵c＝-1，
∴该抛物线的解析式为y＝x2-2x-1.
∵y＝x2-2x-1＝（x-1）2-2，
∴该抛物线顶点P的坐标为（1，-2）．
（Ⅱ）如答图1，过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m，
在Rt△MOH中，由HM2＋OH2＝OM2，OM＝，
∴1＋m2＝()2，
解得m1＝，m2＝－（舍去），
∴点M的坐标为(，1).
∵2a+b＝0，即－＝1，
∴抛物线y＝ax2-2ax+c的对称轴为直线x＝1．
∵对称轴与x轴相交于点D，
∴OD＝1，∠ODP＝90°．
在Rt△OPD中，
由OD2＋PD2＝OP2，OP＝，
∴1＋PD2＝()2，
解得PD＝（负值舍去），
由a＞0，得该抛物线顶点P的坐标为(1，－)，
∴该抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－.
∵点M(，1)在该抛物线上，
∴1＝a(－1)2－，
∴a＝10．
（Ⅲ）如答图2，过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m，
∴DH＝OH-OD＝m-1，
在Rt△DMH中，DM2＝DH2+HM2＝（m-1）2+1，
过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN＝90°，
∵∠MDN＝90°，DM＝DN，
∴∠DNK＝90°-∠NDK＝∠MDH，
∴在Rt△NDK和Rt△DMH中，
∴Rt△NDK≌Rt△DMH（AAS），
∴DK=MH=1,NK=DH=m-1,
∴点N的坐标为（2，1-m），
在Rt△DMN中，∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2，即MN＝DM．
∵NE＋NF＝DM，
∴ME＝NF.
在△DMN的外部，作∠DNG＝45°，且NG＝DM，连接GM，
得∠MNG＝∠DNM+∠DNG＝90°，
易得△GNF≌△DME，
∴GF＝DE，
∴DE+MF＝GF+MF≥GM，
当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即GM＝，
在Rt△GMN中，GM2＝NG2+MN2＝3DM2，
∴()2＝3DM2，
∴DM2＝5，
∴（m-1）2+1＝5，
解得m1＝3，m2＝-1（舍去），
∴点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（2，-2）.
∵点M（3，1），N（2，-2）都在抛物线y＝ax2-2ax+c上，
∴1＝9a-6a+c，-2＝4a-4a+c，
∴a＝1．
2.（2023天津）已知抛物线y＝-x2+bx+c(b，c为常数，c＞1)的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且-c＜m＜ ，过点M作MN⊥AC，垂足为N.
（Ⅰ）若b＝-2，c＝3.
①求点P和点A的坐标；
②当MN＝时，求点M的坐标；
（Ⅱ）若点A的坐标为（-c，0），且MP∥AC，当AN＋3MN＝9时，求点M的坐标.
解：(Ⅰ)①∵b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴P（-1，4），
当y=0时，则-x2-2x+3=0，
解得x1=-3，x2=1，
∵点A在点B的左侧，∴A（-3，0）.
②如答图1，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，
∵A（-3，0），C（0，3），
∴OA=OC，
∴在Rt△AOC中，∠OAC=45°，
∴在Rt△AEF中，EF=AE，
∵抛物线上的点M的横坐标为m,其中-3＜m＜-1，
∴M（m,-m2-2m+3），E（m,0），
∴EF=AE=m-（-3）=m+3，
∴F（m,m+3），
∴FM=（-m2-2m+3）-（m+3）=-m2-3m,
∵在Rt△FMN中，∠MFN=45°，
∴FM＝MN＝×＝2，
∴-m2-3m=2，解得m1=-2，m2=-1（舍去），
∴M（-2，3）.
(Ⅱ)∵点A（-c,0）在抛物线y=-x2+bx+c上，其中c＞1，
∴-c2-bc+c=0，
整理得b=1-c,
∴抛物线的解析式为y=-x2+（1-c）x+c,
∴M（m，-m2+（1-c）m+c），其中-c＜m＜,
∴顶点P的坐标为（，），对称轴为直线l：x= .
如答图2，过点M作MQ⊥l于点Q，
则∠MQA＝45°，Q（，-m2+(1-c)m+c），
∵MP∥AC，
∴∠PMQ=45°，
∴MQ=QP，
∴-m＝-[-m2+(1-c)m+c]，
整理得（c+2m）2=1，
解得c1=-2m-1，c2=-2m+1（舍去），
过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，
则点E（m,0），点F（m,-m-1），点M（m,m2-1），
∴AN+3MN＝AF+FN+3MN＝EF+2FM＝9，
∴(-m-1)+2(m2-1+m+1)＝9，
整理得2m2+m-10=0，
解得m1＝- ，m2＝2（舍去），
∴点M的坐标为（- ，）.
3.（2023天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝-3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
解：(Ⅰ)当a=1，m=-3时，抛物线的解析式为y=x2+bx-3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0=1+b-3，解得b=2，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4）.
(Ⅱ)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），且m＜0，
∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，
即am+b+1=0,
∴am-a-m+1=0,即（a-1）（m-1）=0,
∴a=1，b=-m-1,
∴抛物线的解析式为y=x2-（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
如答图，过点A作AH⊥直线l于点H，
由点A（1，0），得点H（1，m）．
在Rt△EAH中，EH=1-（m+1）=-m，
HA=0-m=-m，
∴AE==-m.
∵AE=EF=2，
∴-m=2，解得m=-2．
此时，点E（-1，-2），点C（0，-2），∴EC=1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF===，
∴点F的坐标为（0，-2-）或（0，-2+）.
②如答图，取EF的中点N，连接CN，CM，由N是EF的中点，得CN= EF=．
根据题意知，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO=CO=-m，
∴在Rt△MCO中，MC==-m．
当MC≥，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，
MN的最小值为MC-CN=-m-= ，
解得m=- ；
当MC＜，即-1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为CN-MC=-（-m）=，
解得m=- ．
综上所述，当m的值为- 或- 时，MN的最小值是 ．
4.(2024滨海新区一模)已知抛物线y＝-x2+2mx+c（m，c为常数，且m＞0），与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴相交于点C.
（Ⅰ）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点M为抛物线对称轴上一点，点M的纵坐标为 ，若MB＝MC，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）当m＞1时，抛物线的对称轴与x轴交于点D，过点P(m，1－m)作直线l垂直于y轴，垂足为E，Q为直线l上一动点，N为线段CP上一动点，当DQ+QN的最小值为时，求m的值．
解：（Ⅰ）将点A的坐标代入抛物线解析式得-1-2m+c＝0，则c＝2m+1，
当m=1时，c=3,即点C（0，3），
由抛物线的解析式知，其对称轴为直线x＝m＝1，
当x＝1时，y＝-x2+2mx+2m+1＝-1+2+2+1＝4，
即顶点坐标为（1，4）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点C（0，2m+1），
由抛物线的解析式知，其对称轴为直线x＝m，
则点M（m，），
由抛物线的对称性可知点B（2m+1，0），
由点B，C，M的坐标得MC2＝m2+（2m+ ）2，MB2＝+（m+1）2，
∵MB＝MC，
∴ +（m+1）2=m2+（2m+ ）2，
解得m＝- （舍去）或m= ，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2．
（Ⅲ）如答图，设直线CP交抛物线的对称轴于点T，
作点D关于直线l的对称点D′（m，2-2m），过点D′作D′N⊥PC于点N，此时DQ+QN的值最小，
理由：DQ+QN＝D′Q+QN≥D′N，
∴当D′,Q,N三点共线时，DQ+QN的值最小，最小值即为D′N＝，
由点C（0，2m+1），P(m,1-m)得直线PC的解析式为y＝-x+1+2m，
则∠EPC＝60°，点T（m，2m-m+1），
则∠ECP＝30°＝∠D′TN，
则TD′＝2ND′，
∵TD′＝yT-yD′＝（2m-m+1）-(2-2m)＝2× ，
∴m＝ ．
5.(2024河西区二模)已知抛物线y＝x2+bx+2b-1（b为常数）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C.
（Ⅰ）当b＝-2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若点M是y轴上一点，连接BM，点N是BM的中点，连接CN．
①当点M的坐标为（0，2），且MB＝MC时，求b的值；
②当AN+CN的最小值是13时，求b的值．
解：（Ⅰ）当b＝-2时，y＝x2-2x-5＝（x-4）2-9，
∴抛物线的顶点坐标为（4，-9）.
（Ⅱ）①在y＝ x2+bx+2b-1中，
令x＝0，得y＝2b-1，
∴C（0，2b-1），
在y＝ x2+bx+2b-1中，
令y＝0，得0＝ x2+bx+2b-1，
解得x1＝-2，x2＝2-4b.
∵点C在y轴负半轴，
∴2b-1＜0，即b＜，
∴2-4b＞0.
∵点A在点B的左侧，
∴A（-2，0），B（2-4b，0）.
∵点M的坐标为（0，2），点C（0，2b-1）在y轴负半轴，
∴MC＝2-（2b-1）＝3-2b，MB2＝（2-4b）2+22＝（2-4b）2+4.
∵MB＝MC，即MB2＝MC2，
∴（2-4b）2+4＝（3-2b）2，
解得b＝或b＝- .
∵b＜，
∴b＝- .
②由①知，A（-2，0），B（-4b+2，0），C（0，2b-1）.
∵xM＝0，点N为BM的中点，
∴xN＝ =-2b+1，
∴随着点M的运动，点N的运动轨迹为直线x＝-2b+1.
如答图，作点A（-2，0）关于直线x＝-2b+1的对称点A′，连接A′C交直线x＝-2b+1于点N′，
则AN＝A′N，
∴AN+CN＝A′N+CN，
∴A′，N，C三点共线时，AN+CN的值最小，此时N与N′重合，AN+CN的最小值即为A′C的长.
∵AN+CN的最小值是13，
∴A′C＝13，
由对称的性质可知，点A′的坐标为（-4b+4，0）.
∵点C在y轴负半轴，
∴OC＝1-2b，
在Rt△A′OC中，A′C2＝OC2+OA′2,
即132＝（1-2b）2+（-4b+4）2，
解得b＝-2或b＝ .
∵b＜，
∴b＝-2．
6.(2024和平区一模)已知抛物线C1:y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点为M（-1，-4），与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴相交于点C，抛物线C1上的点P的横坐标为t．
（Ⅰ）求点B和点C坐标；
（Ⅱ）若点P在直线BC下方的抛物线C1上，过点P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，分别与直线BC相交于点E和点F，当EF取得最大值时，求点P的坐标；
（Ⅲ）抛物线C2:y=mx2+2mx-1（m是常数，m≠0）经过点A，若点P在x轴下方的抛物线C1上运动，过点P作PD⊥x轴于点D，在与抛物线C2相交于点H，在点P运动过程中，的比值是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2-4，
将点A(1，0)代入可得0＝a（1+1）2-4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）2-4＝x2+2x-3，
当x＝0 时，y＝-3，
∴点C的坐标为（0，-3），
当y＝0时，（x+1）2-4＝0，
解得x1＝1，x2＝-3，
∴点B的坐标为（-3，0）.
（Ⅱ）设直线BC的解析式为y＝kx-3，
把 B（-3，0）代入，得-3k-3＝0，
解得k＝-1,
∴直线BC的解析式为y＝-x-3，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如答图1,
∵PF⊥y轴，AB⊥y轴，
∴AB∥PF，
∴∠OBC＝∠BFP＝45°，
∴在Rt△PEF中，EF＝PE，
∵点P的横坐标为t，-3＜t＜0，
∴P（t，t2+2t-3），
∵PE⊥x轴，
∴点E的坐标为（t，-t-3），
∴EF＝（-t-3-t2-2t+3）＝-（t+ ）2+ ，
∴当t＝- 时，EF有最大值，此时P（- ，-）.
（Ⅲ）在点P运动过程中，的比值是一个定值，理由如下：
如答图2，
∵抛物线C2：y＝mx2+2mx-1经过点A，
∴0＝m+2m-1，解得m＝，
∴抛物线C2 的解析式为y= x2+ x-1，
当y＝0时， x2+ x-1＝0，
解得x1＝1，x2＝-3，
∴抛物线C2 经过点B，
∵点P的横坐标为t，-3＜t＜0，
∴P（t，t2+2t-3），H(t, t2+ t-1)，
∴HP＝ t2+ t-1-（t2+2t-3）＝- t2 - t+2，DH＝- t2 - t+1，
∴＝＝2，
∴在点P运动过程中，的比值是一个定值，这个定值是2．
7.(2024部分区二模)已知抛物线y＝ax2-2x+c（a，c为常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点C的坐标为（0，-3）．
（Ⅰ）求a，c的值及抛物线顶点坐标；
（Ⅱ）点C关于x轴对称点为D，P为线段BC上的一个动点，连接AP．
①当AP最短时，求点P的坐标；
②若Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，求DQ的长．
解：（Ⅰ）把B（3，0），C（0，-3）代入y＝ax2-2x+c，
得解得
∴y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
（Ⅱ）①如答图1，过P作PH⊥x轴于点H，
在y＝x2-2x-3中，令y＝0得0＝x2-2x-3，
解得x＝-1或x＝3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB＝4，OA=1，OB=3，
∵C（0，-3），
∴OC＝3，
∴OB=OC,
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
当AP最短时，AP⊥BC，
∴∠APB＝90°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∵PH⊥x轴，
∴BH＝AH＝PH＝AB＝×4＝2，
∴OH＝AH-OA＝2-1＝1，
∴P（1，-2）.
②如答图2，过Q作QG∥BC交x轴于点G，作点A关于直线QG的对称点A′，
连接A′Q，A′D，A′G，
∵C（0，-3），C，D两点关于x轴对称，
∴D（0，3），
∵AQ＝3PQ，QG∥BC，
∴AG＝3BG，AQ＝ AP，AG= AB,∠AGQ＝∠OBC＝45°，
∵AB＝4，
∴AG＝3，∴BG＝1，
∴OG＝AG-OA＝3-1＝2，
∴G（2，0），
∵A，A′两点关于直线QG对称，
∴A′G＝AG＝3，∠AGQ＝∠A′GQ＝45°，
∴∠AGA′＝90°，
∴A′（2，-3），
∵DQ+AQ＝DQ+A′Q，
∴如答图3，当D，Q，A′三点共线时，DQ+AQ的值最小，
即DQ+ AP的值最小，
即4（DQ+ AP）＝3AP+4DQ的值最小，
由D（0，3），A′（2，-3）可得，当3AP+4DQ的值最小时，直线A′D的解析式为y＝-3x+3，
由B（3，0），C（0，-3）可得直线BC的解析式为y＝x-3，
∵G（2，0），QG∥BC，
∴直线QG的解析式为y＝x-2，
联立解得
∴Q（，- ），
∴DQ＝2= ，
∴当3AP+4DQ的值最小时，DQ的长为 ．
8.(2024和平区三模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过坐标原点，顶点P的坐标为(1，－1)，与x轴的另一个交点为A．
（Ⅰ）求抛物线解析式和点A的坐标；
（Ⅱ）抛物线上有一点D，过点D作直线y＝x－4的垂线，垂足为点E，DE＝4，求点D的坐标；
（Ⅲ）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx＋m(k，m为常数，|k|＜2)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GO，GA相交于点H，K，求GH＋GK的值．
解：（Ⅰ）∵该抛物线顶点P的坐标为(1，－1),
∴ 设抛物线解析式为y＝a(x－1)2－1，
∵抛物线经过坐标原点，
∴a=1,
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x，
当y＝0时，可得x2－2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∴点A的坐标为(2，0)．
（Ⅱ）如答图1，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，与直线y＝x－4相交于点B.
∵抛物线上有一点D，
∴设点D的坐标为(t，t2－2t)，则点B的坐标为(t，t－4)，
∴DB＝t2－2t－(t－4)＝t2－3t＋4，
在y=x-4中，
当y＝0时，可得x－4＝0，解得x＝4，
当x＝0时，y＝－4，
∴直线y＝x－4与坐标轴的交点为M(4，0)，N(0，－4)，
∴ON＝OM＝4.
∵∠MON＝90°，
∴∠OMN＝∠ONM＝45°.
∵DC⊥x轴，ON⊥x轴，
∴DC∥ON，∴∠DBE＝∠ONM＝45°，
在Rt△DEB中，sin∠DBE＝，
∴DB＝ = ＝8，
可得方程t2－3t＋4＝8，解得t1＝－1，t2＝4，
∴点D的坐标为(－1,3)或(4，8)．
（Ⅲ）如答图2，过点H作HI⊥FG，过点K作KL⊥FG.
∵点G是点F(1，0)关于点P(1，－1)的对称点，
∴点G的坐标为(1，－2)，
∴OF＝1，FG＝2.
∵∠OFG＝90°，
∴OG＝=5，
∴在Rt△OFG中，
sin∠OGF＝ = .
∵点O和点A关于抛物线的对称轴对称，
∴OG＝AG＝，∠OGF＝∠AGF.
∵直线l：y＝kx＋m(k，m为常数，|k|＜2)与抛物线只有一个公共点，
∴x2－2x＝kx＋m有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(-2-k)2－4(－m)＝0，
解得m＝- (2+k)2，
∴直线l的解析式为y＝kx- (2+k)2.
设直线OG的解析式为y＝k1x，
把点G(1，－2)代入y＝k1x，得k1＝－2，
∴直线OG的解析式为y＝－2x，
∴－2x＝kx- (2+k)2，解得xH＝(2+k).
∵在Rt△HIG中，sin∠OGF＝ ，
∴HG＝＝(1－xH)，
设直线AG的解析式为y＝k2x＋b2，
把点G(1，－2)，A(2，0)代入y＝k2x＋b2，
得解得
∴直线AG的解析式为y＝2x－4，
∴2x－4＝kx- (2+k)2，解得xK＝(k+6).
∵在Rt△KLG中，sin∠AGF＝ ,
∴KG＝ =(-1)，
∴HG＋KG＝(1)＋(-1)＝(－＋)＝[- (k+2)+(k+6)]＝．
角度问题
9.(2024河东区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b，c为常数）．
（Ⅰ）若直线l：x＝2是抛物线的对称轴，且a＝1．
①求抛物线与x轴的交点坐标；
②在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，3），若动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，当△OPA面积最大时，求点P坐标；
（Ⅱ）若b＝-6a，抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B′，当点B′恰好落在抛物线上，且满足∠BNB′+∠BCB′＝180°时，求n的值．
解：（Ⅰ）①∵直线l:x=2是抛物线的对称轴，
∴x=- =2,∴b=-4a,
又∵a=1,∴b=-4,
∴抛物线解析式为y=x2-4x+4,
当y=0时，x2-4x+4=0,
解得x1=x2=2,
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）.
②如答图1，连接OA并延长，过点P作PQ∥y轴，交OA于点Q，设点P（m,m2-4m+4）,
∵点O（0，0），点A（3，3），
∴可得直线OA的解析式为y=x,
∴点Q（m,m）,
∴PQ=m-（m2-4m+4）=-m2+5m-4,
∴S△OPA=S△OPQ+S△AQP=- （m2-5m+4）,
∵- <0,
∴当m=时，△OPA面积最大，
此时点P的坐标为（,）.
（Ⅱ）∵抛物线过点B（-2，0），
∴2a-b+2=0,
又∵b=-6a,
∴a=- ,b= ,
∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+4,
如答图2，过点N作NF⊥B′C，交B′C于点F，
过点N作NG⊥BC，交CB的延长线于点G，
则∠G=∠CFN=90°,
∴∠BCB′+∠GNF=180°,
设CB′与x轴交于点K，由旋转的性质可得BN=B′N，
∵∠BNB′+∠BCB′=180°,
∴∠BNB′=∠GNF,
∴∠BNG=∠B′NF,
∴△NGB≌△NFB′(AAS),
∴NG=NF,
∴CN平分∠BCB′,
∵CO⊥OB,
∴OK=OB=2,
∴点K（2,0）,
∴直线CK的解析式为y=-2x+4,
∴-2x+4=- x2+ x+4,
解得x1=0(舍去),x2=14,
∴点B′（14,-24）,
∵N（0，n），BN=B′N,
∴（-2）2 + n2=142 +（-24-n）2,
解得n=-16.
10.(2023和平区一模)已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（-2，-1），B（0，-3）.
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）.
①如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
②点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标.
解：（Ⅰ）将A（-2，-1），B（0，-3）代入y= x2+bx+c，
得
∴抛物线的解析式为y= x2-3.
（Ⅱ）①∵y= x2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-3），
即点B是原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），m>0,
∴抛物线向右平移了|m|个单位，
∴S△OPB= ×3|m|=3，
∴m=2，
即平移后的抛物线的对称轴为直线x=2，
∵在直线x=k的右侧，两条抛物线都呈上升趋势，原抛物线的对称轴为y轴，两条抛物线开口向上，
∴k≥2.
②把P（m，n）代入y= x2-3，
得n= m2-3，
∴P(m， m2-3)，
由题意得，新抛物线的解析式为y= （x-m）2+n= x2-mx+m2-3，
∴Q（0，m2-3），
∵B（0，-3），
∴BQ=m2，
BP2=m2+( m2-3+3)2=m2+ m4,
PQ2=m2+[(m2-3)-（m2-3）]2=m2+ m4,
∴BP=PQ，
如答图，过点P作PC⊥y轴于点C，
则PC=|m|，
∵PB=PQ，PC⊥BQ，
∴BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，
∴tan∠BPC=tan60°= = = ，
∴m=2或m=-2（舍去），
∴n= m2-3=3，
∴点P的坐标为（2，3）.
11.(2023河东区二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P，与x轴交于点A（-1，0）.
（Ⅰ）若b=4，c=3，求点P的坐标.
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为B（4，0），与y轴交于点C，点Q（-3，n）（n是常数，且n＜0）是抛物线上一点，直线QB与y轴交于点D，连接BC，△BCD的面积为12.
①求n的值；
②点E是线段BC上的动点，点B关于直线OE的对称点为点B′，连接EB′，当直线EB′与直线BD相交所成锐角为45°时，求点B′的坐标.
解：（Ⅰ）∵b=4，c=3，∴y=ax2+4x+3，
把A（-1，0）代入得a-4+3=0，
解得a=1，∴y=x2+4x+3=（x+2）2-1，
∴顶点P的坐标为（-2，-1）.
（Ⅱ）①把A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+c得
整理得
∴y=ax2-3ax-4a,
令x=0得y=-4a,∴C（0，-4a），
把Q（-3，n）代入y=ax2-3ax-4a得n=9a+9a-4a=14a,
∴Q（-3，14a），
由Q（-3，14a），B（4，0）可得直线QB的解析式为y=-2ax+8a,
在y=-2ax+8a中，令x=0得y=8a,∴D（0，8a），
∵n＜0，∴a＜0，∴CD=-4a-8a=-12a,
∵△BCD的面积为12，
∴×（-12a）×4=12，解得a=- ，
∴n=14a=14×(- )=-7,∴n的值为-7.
②如答图1，当B′在第一象限时，
设直线BC的解析式为y=k′x+b′，
∴
解得
∴y=- x+2，
设E(t,- t+2)，∵D（0，-4），B（4，0），∴OB=OD，
∴∠ODB=45°，
∵直线EB′与直线BD相交所成锐角为45°，
∴EB′∥CD，
∴直线EB′⊥x轴，设直线EB′交x轴于点H，
∴OH=t,EH= - t+2，
由对称可知OB′=BO=4，BE=B′E，
在Rt△OHB′中，B′H=，
∴B′E=-(- t+2)=+ t-2，
∴BE=+ t-2，
在Rt△BHE中，(+ t-2)2=（4-t）2+（- t+2）2，
解得t= ± ，
∵0≤t≤4，∴t= ，∴B′(，)；
如答图2，当B′在第二象限，∠BGB′=45°时，
∵∠ABD=45°，∴B′G∥x轴，∴∠B′EO=∠BOE，
由B，B′关于直线OE对称得BE=B′E，OB=OB′，∠BOE=∠B′OE，
∴∠B′OE=∠B′EO，∴B′E=B′O，
∴B′E=BE=B′O=BO，∴四边形 B′OBE是菱形，
由BE=BO得＝4，
解得t=4+ 或t=4- ，
∵0≤t≤4，∴t=4- ，∴B′(- ，).
综上所述，点B′的坐标为(，)或(-，).
其他问题
12.（2023红桥区二模）抛物线y=ax2+bx+8（a为常数，a≠0）经过点A（-2，0）和点B（8，0），与y轴相交于点C，顶点为D.
（Ⅰ）求该抛物线的函数解析式；
（Ⅱ）P是第一象限内该抛物线上的动点.
①当S△PBC= S△ABC时，求点P的坐标；
②BC与该抛物线的对称轴l相交于点E，M是线段DE上一点，当点P在对称轴l的右侧时，若△MPE是等腰直角三角形，求点M的坐标.
解：(Ⅰ)由题意得y＝a（x+2）（x-8）＝a（x2-6x-16），
将点C（0，8）代入上式，得-16a＝8，解得a＝-，
∴该抛物线的函数解析式为y＝- x2+3x+8.
（Ⅱ）如答图1，过点A作直线n∥BC，交y轴于点N，在点C上方取点M，使CM＝CN，过点M作直线m∥BC，交抛物线于点P，则S△PBC＝S△ABC.
由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y＝-x+8，
则直线n的解析式为y＝-x-2，
∴点N（0，-2），
则CN＝10，则CM＝6，
∴点M（0，14），
∴直线m的解析式为y＝-x+14，
联立
解或
∴点P的坐标为（2，12）或（6，8）.
②由抛物线解析式y＝- x2+3x+8，可得对称轴为直线l:x＝3，
∴点D（3，12.5），
当x＝3时，y＝-x+8＝5，
∴点E（3，5），
设点M（3，m），P（t,- t2+3t+8）,
则EM＝m-5，
当∠MEP为直角时，如答图2，
则EP＝EM＝m-5，
∴点P的坐标为（m-2，5），
将点P（m-2，5）代入y=-x2+3x+8,
得5＝-（m-2）2+3（m-2）+8，
解得m=5+或m=5-（舍去），
此时点M的坐标为（3，5+）；
当∠EMP为直角时，如答图3，
有-t2+3t+8=m，
又∵MP=EM,
∴m-5=t-3,即m=t+2,
∴- t2+3t+8=t+2.
解得t=-2（舍去）或t=6,
∴m=t+2=8,此时点M的坐标为（3，8）;
第12题答图4
当∠MPE为直角时，如答图4，
过点P作PH⊥DE,垂足为H.
由PH=EH，得t-3= - t2+3t+8-5,
解得t=-2（舍去）或t=6,
∴EM=2PH=6，
∴m=5+6=11,
此时点M的坐标为（3，11）.
综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，5+）或（3，8）或（3，11）.
13.(2024南开区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，a＜0，c≠0）与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且点A坐标为（3-c，0）．点D（3，c）在抛物线上，连接AD.过抛物线的顶点E作直线EP∥AD，EP交抛物线于点P，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）若c＝6时，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（Ⅱ）若c＝-10a，求a，m的值；
（Ⅲ）过点P作PQ∥x轴交直线AD于点Q，连接BQ，恰有BQ∥y轴，求a，m的值（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）如答图1，∵抛物线与y轴的交点为C，
∴点C的坐标为（0，c）,
又∵抛物线过点D（3,c）,
∴抛物线的对称轴为直线x= ,
即- = ,且 = ,
可得b=-3a,且点B的坐标为（c，0）.
∵c=6,
∴抛物线解析式为y=ax2-3ax+6,且过点B（6，0），
可得0=36a-18a+6，∴a=- ,
∴抛物线解析式为y=-x2+x+6=-（x-）2+ ,∴点E的坐标为（,）.
（Ⅱ）∵c=-10a,
∴抛物线解析式为y=ax2-3ax-10a,
即y=a（x2-3x-10）=a（x+2）（x-5）,
∴抛物线与x轴交点坐标为A（-2，0），B（5，0），
解得c=5,a=- ,点D的坐标为（3，5），
∴抛物线解析式为y=- x2+ x+5=-（x-）2+ ，
且直线AD解析式为y=x+2,
∴点E的坐标为（,）,∠DAB=45°.
如答图2，过点E作EF∥y轴，过点P作PF∥x轴，EF与PF交于点F，
∴yP=-（m- ）2+ ,
∴PF=xF-xP= -m，EF=yE-yF= -[-（m- ）2+ ]= （m- ）2,
易得PF=EF，则 -m= （m- ）2,
解得m= （为点E的横坐标，舍去），m=-,
∴m的值为-.
(Ⅲ)将D（3，c）代入y＝ax2+bx+c，得c＝9a+3b+c，
∴b＝-3a，∴y＝ax2-3ax+c，
将A（3-c，0）代入y＝ax2-3ax+c，
得a（3-c）2-3a（3-c）+c＝0，
化简，得ac2-3ac+c＝0，
∵c≠0，∴ac-3a+1＝0，
∵a＜0，∴c＝3- ，即3-c＝，
∴y＝ax2-3ax+3- ，A（，0），D（3，3- ），
∵y＝ax2-3ax+3- ＝a（x-）2+ ，
∴E（，），
设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，
∴解得
∴直线AD的解析式为y＝x-，
∵PE∥AD，
设直线EP的解析式为y＝x+b2，
将点E（，）的坐标代入，
得 +b2＝，
解得b2＝，
∴y＝x+，
当x+ ＝ax2-3ax+3- 时，
解得x＝ 或x＝，
∴P（，），m＝，
∵PQ∥x轴，∴yQ＝，∴x- ＝，
解得xQ＝，
当y＝0时，ax2-3ax+3- ＝0，
解得x＝ 或x＝3- ，∴B（3- ，0），
∵BQ∥y轴，∴3- ＝ ，
解得a＝- 或a＝（舍去），
∴m＝ ．题型六 二次函数的综合应用(针对第25题)
线段问题
1.（2024天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点．
（Ⅰ）当a＝1，c＝-1时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）当OM＝OP＝ 时，求a的值；
（Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，NE＋NF＝DM，当DE+MF取得最小值为 时，求a的值．
2.（2023天津）已知抛物线y＝-x2+bx+c(b，c为常数，c＞1)的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且-c＜m＜ ，过点M作MN⊥AC，垂足为N.
（Ⅰ）若b＝-2，c＝3.
①求点P和点A的坐标；
②当MN＝时，求点M的坐标；
（Ⅱ）若点A的坐标为（-c，0），且MP∥AC，当AN＋3MN＝9时，求点M的坐标.
3.（2023天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝-3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
4.(2024滨海新区一模)已知抛物线y＝-x2+2mx+c（m，c为常数，且m＞0），与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴相交于点C.
（Ⅰ）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点M为抛物线对称轴上一点，点M的纵坐标为 ，若MB＝MC，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）当m＞1时，抛物线的对称轴与x轴交于点D，过点P(m，1－m)作直线l垂直于y轴，垂足为E，Q为直线l上一动点，N为线段CP上一动点，当DQ+QN的最小值为时，求m的值．
5.(2024河西区二模)已知抛物线y＝x2+bx+2b-1（b为常数）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C.
（Ⅰ）当b＝-2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若点M是y轴上一点，连接BM，点N是BM的中点，连接CN．
①当点M的坐标为（0，2），且MB＝MC时，求b的值；
②当AN+CN的最小值是13时，求b的值．
6.(2024和平区一模)已知抛物线C1:y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点为M（-1，-4），与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴相交于点C，抛物线C1上的点P的横坐标为t．
（Ⅰ）求点B和点C坐标；
（Ⅱ）若点P在直线BC下方的抛物线C1上，过点P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，分别与直线BC相交于点E和点F，当EF取得最大值时，求点P的坐标；
（Ⅲ）抛物线C2:y=mx2+2mx-1（m是常数，m≠0）经过点A，若点P在x轴下方的抛物线C1上运动，过点P作PD⊥x轴于点D，在与抛物线C2相交于点H，在点P运动过程中，的比值是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
7.(2024部分区二模)已知抛物线y＝ax2-2x+c（a，c为常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点C的坐标为（0，-3）．
（Ⅰ）求a，c的值及抛物线顶点坐标；
（Ⅱ）点C关于x轴对称点为D，P为线段BC上的一个动点，连接AP．
①当AP最短时，求点P的坐标；
②若Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，求DQ的长．
8.(2024和平区三模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过坐标原点，顶点P的坐标为(1，－1)，与x轴的另一个交点为A．
（Ⅰ）求抛物线解析式和点A的坐标；
（Ⅱ）抛物线上有一点D，过点D作直线y＝x－4的垂线，垂足为点E，DE＝4，求点D的坐标；
（Ⅲ）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点G是点F关于点P的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx＋m(k，m为常数，|k|＜2)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GO，GA相交于点H，K，求GH＋GK的值．
角度问题
9.(2024河东区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b，c为常数）．
（Ⅰ）若直线l：x＝2是抛物线的对称轴，且a＝1．
①求抛物线与x轴的交点坐标；
②在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，3），若动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，当△OPA面积最大时，求点P坐标；
（Ⅱ）若b＝-6a，抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B′，当点B′恰好落在抛物线上，且满足∠BNB′+∠BCB′＝180°时，求n的值．
10.(2023和平区一模)已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（-2，-1），B（0，-3）.
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）.
①如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
②点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标.
11.(2023河东区二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P，与x轴交于点A（-1，0）.
（Ⅰ）若b=4，c=3，求点P的坐标.
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为B（4，0），与y轴交于点C，点Q（-3，n）（n是常数，且n＜0）是抛物线上一点，直线QB与y轴交于点D，连接BC，△BCD的面积为12.
①求n的值；
②点E是线段BC上的动点，点B关于直线OE的对称点为点B′，连接EB′，当直线EB′与直线BD相交所成锐角为45°时，求点B′的坐标.
其他问题
12.（2023红桥区二模）抛物线y=ax2+bx+8（a为常数，a≠0）经过点A（-2，0）和点B（8，0），与y轴相交于点C，顶点为D.
（Ⅰ）求该抛物线的函数解析式；
（Ⅱ）P是第一象限内该抛物线上的动点.
①当S△PBC= S△ABC时，求点P的坐标；
②BC与该抛物线的对称轴l相交于点E，M是线段DE上一点，当点P在对称轴l的右侧时，若△MPE是等腰直角三角形，求点M的坐标.
13.(2024南开区二模)已知抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，a＜0，c≠0）与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且点A坐标为（3-c，0）．点D（3，c）在抛物线上，连接AD.过抛物线的顶点E作直线EP∥AD，EP交抛物线于点P，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）若c＝6时，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（Ⅱ）若c＝-10a，求a，m的值；
（Ⅲ）过点P作PQ∥x轴交直线AD于点Q，连接BQ，恰有BQ∥y轴，求a，m的值（直接写出结果即可）．
