题型三 几何图形的相关计算(针对第17题)
三角形的相关计算
1.（2024河西区二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，F为DE的中点，连接AF，则AF的长为 .
2.(2024河西区结课)如图，等腰直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝4，M为AB
的中点，∠PMQ＝45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP＝3，则
AQ＝ .
3.(2024和平区二模)如图,已知∠AED=∠ACB=90°,AC=BC=3,AE=DE=1,点D在AB上,连接CE,点M,点N分别为BD,CE的中点,则MN的长为 .
4.(2024河北区二模)如图，已知等边三角形ABC，点D，E分别在CA，CB的延长线上，且BE＝CD，点F为BC的中点，FG⊥AB交DE于点G，FG＝4，则CD＝ .
5.(2024南开区一模)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BC，连接BD，交AC于点E，点F为BD中点，连接AF，AD，若AF=CD=10，则AD＝ 5 .
第5题图第6题图
6.(2023部分区二模)如图，△ABC是等边三角形，AB=，D为AB边上一点，DB= AB，DE⊥AB与BC的延长线交于点E，F为DE的中点，H为BC的中点，连接FH，则FH的长为 .
7.如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AC边上一动点，M为BP的中点，连接CM．
（Ⅰ）当点P为AC的中点时，则CM的长为 ；
（Ⅱ）若点P移动到使∠PMC＝60°时，则CM的长为 ．
8.(2024红桥区三模)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，D为边AB的中点，点E在边AC上，且AD＝AE．
（Ⅰ）CE的长为 1 ；
（Ⅱ）若点F为DE的中点，点G为BC的中点，则FG的长为 ．
9.(2024河东区一模)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在△ABC外，连接AE，BE，CE，过点A作AF⊥AE，交CE于点F，连接BF，若AE＝AF＝BF=，则
（Ⅰ）线段EF的长等于 2 ；
（Ⅱ）△ABC的面积为 5 ．
10.(2024南开区二模)如图，△CAB，△CDE均为等腰直角三角形，其中AC＝BC，DC＝EC，点A，E，D在同一直线上，AD与BC相交于点F，G为AB的中点，连接BD，EG．
（Ⅰ）∠ADB的度数为90° ；
（Ⅱ）若F为BC的中点，且AB＝10，则EG的长为 ．
四边形的相关计算
11.(2024天津)如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．
（Ⅰ）线段AE的长为2 ；
（Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 ．
12.(2024天津)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
13.(2024南开区三模)如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB＝4，BC＝3．
（Ⅰ）AC的长度为5 ；
（Ⅱ）MN的长度为 ．
14.(2024部分区一模)如图，E是正方形ABCD对角线上一点，过点E作DE的垂线，交BC于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG，连接CG，CG＝3．
（Ⅰ）AE的长为 3 ；
（Ⅱ）若AB＝9，则DE的长为 3 ．
15.如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E，F分别为AB，BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．
（Ⅰ）若AE＝1，则EF的长为 ；
（Ⅱ）在整个运动过程中，OP长的最小值为 ．
16.(2024滨海新区一模)如图，菱形ABCD的边长为6，对角线AC的长为4，E为AD的中点，过点E作AC的垂线，垂足为P，与AB交于点G，与CB的延长线交于点F．
（Ⅰ）AG的长为 3 ；
（Ⅱ）若H为FC的中点，连接GH，则GH的长为 ．
17.(2023南开区二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=4，则线段BC的长为 16 .
18.(2024河西区一模)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，连接对角线AC，BD，AC＝10，BD＝8，若E为AB的中点，F为CD的中点，连接EF．
（Ⅰ）四边形ABCD的面积为 40 ；
（Ⅱ）EF的长为 ．
19.(2024西青区二模)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上一点，连接BE并延长至点F，使得EF＝BE，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接DF．
（Ⅰ）∠BDF的度数是 90 （度）；
（Ⅱ）若CH= BC，FH＝3，则DF的长为 3 ．
20.(2024滨海新区二模)如图，四边形ABCD是正方形，边长为6，M是AD边上的动点，在正方形ABCD的外侧以AM为边作正方形AMEF，连接BE，若N为BE的中点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
21.(2023东丽区二模)如图，正方形ABCD的边长是，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE=，CF⊥BE，连接OF，则OF= .
22.(2024河西区二模)如图，在边长为4的正方形ABCD的外侧，作直角三角形ADE，∠AED＝90°，且∠ADE＝30°．
（Ⅰ）AE与DE的长度和为 2+2 ；
（Ⅱ）若O为AC的中点，连接OE，则OE的长为+ ．
23.(2024西青区一模)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，即AB＝OB，∠CAD＝45°，E为AC上一点，BE平分∠ABO，过点E作EF⊥BC于点F，交BD于点M．
（Ⅰ）写出图中的一个等腰直角三角形是 △CEF ；
（Ⅱ）若BM＝，则BC的长为 4 ．
24.(2024河北区一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为AB的中点，点E在AD上，AE= AD，等腰三角形EDF中，ED＝FD，∠EDF＝120°．
（Ⅰ）△EDF的面积为 4 ；
（Ⅱ）若N为EF的中点，则MN2的值为 37-6 ．
25.如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，E是边BC的中点，连接DE，AE，BD．
（Ⅰ）DE的长是 2 ；
（Ⅱ）若F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF，则DF的长
为 1 ．
26.如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，连接CE交BD于点M，连接AM并延长,交BC于点F．
（Ⅰ）若E是AB的中点，则＝ ；
（Ⅱ）若∠CMF＝45°，则＝ -1 ．
27.(2024和平区二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE= ，作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．
（Ⅰ）CF的长为 ；
（Ⅱ）若M为AF的中点，连接DM，则DM的长为 ．
28.(2024河东区二模)如图，E为平行四边形ABCD外一点，且满足∠EDC＝90°，DE＝DC＝4，AD=，∠DAB＝60°．
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积为 6 ；
（Ⅱ）若点M，N分别在线段AB，CD上，连接MN，当MN∥BC时，连接EM，EN，EM+EN的最小值为 ．题型三 几何图形的相关计算(针对第17题)
三角形的相关计算
1.（2024河西区二模）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，F为DE的中点，连接AF，则AF的长为 .
2.(2024河西区结课)如图，等腰直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝4，M为AB
的中点，∠PMQ＝45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP＝3，则
AQ＝ .
3.(2024和平区二模)如图,已知∠AED=∠ACB=90°,AC=BC=3,AE=DE=1,点D在AB上,连接CE,点M,点N分别为BD,CE的中点,则MN的长为 .
4.(2024河北区二模)如图，已知等边三角形ABC，点D，E分别在CA，CB的延长线上，且BE＝CD，点F为BC的中点，FG⊥AB交DE于点G，FG＝4，则CD＝ .
5.(2024南开区一模)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BC，连接BD，交AC于点E，点F为BD中点，连接AF，AD，若AF=CD=10，则AD＝ .
第5题图第6题图
6.(2023部分区二模)如图，△ABC是等边三角形，AB=，D为AB边上一点，DB= AB，DE⊥AB与BC的延长线交于点E，F为DE的中点，H为BC的中点，连接FH，则FH的长为 .
7.如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AC边上一动点，M为BP的中点，连接CM．
（Ⅰ）当点P为AC的中点时，则CM的长为 ；
（Ⅱ）若点P移动到使∠PMC＝60°时，则CM的长为 ．
8.(2024红桥区三模)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，D为边AB的中点，点E在边AC上，且AD＝AE．
（Ⅰ）CE的长为 ；
（Ⅱ）若点F为DE的中点，点G为BC的中点，则FG的长为 ．
9.(2024河东区一模)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在△ABC外，连接AE，BE，CE，过点A作AF⊥AE，交CE于点F，连接BF，若AE＝AF＝BF=，则
（Ⅰ）线段EF的长等于 ；
（Ⅱ）△ABC的面积为 ．
10.(2024南开区二模)如图，△CAB，△CDE均为等腰直角三角形，其中AC＝BC，DC＝EC，点A，E，D在同一直线上，AD与BC相交于点F，G为AB的中点，连接BD，EG．
（Ⅰ）∠ADB的度数为90° ；
（Ⅱ）若F为BC的中点，且AB＝10，则EG的长为 ．
四边形的相关计算
11.(2024天津)如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE．
（Ⅰ）线段AE的长为2 ；
（Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 ．
12.(2024天津)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
13.(2024南开区三模)如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB＝4，BC＝3．
（Ⅰ）AC的长度为5 ；
（Ⅱ）MN的长度为 ．
14.(2024部分区一模)如图，E是正方形ABCD对角线上一点，过点E作DE的垂线，交BC于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG，连接CG，CG＝3．
（Ⅰ）AE的长为 ；
（Ⅱ）若AB＝9，则DE的长为 ．
15.如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E，F分别为AB，BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．
（Ⅰ）若AE＝1，则EF的长为 ；
（Ⅱ）在整个运动过程中，OP长的最小值为 ．
16.(2024滨海新区一模)如图，菱形ABCD的边长为6，对角线AC的长为4，E为AD的中点，过点E作AC的垂线，垂足为P，与AB交于点G，与CB的延长线交于点F．
（Ⅰ）AG的长为 ；
（Ⅱ）若H为FC的中点，连接GH，则GH的长为 ．
17.(2023南开区二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=4，则线段BC的长为 .
18.(2024河西区一模)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，连接对角线AC，BD，AC＝10，BD＝8，若E为AB的中点，F为CD的中点，连接EF．
（Ⅰ）四边形ABCD的面积为 ；
（Ⅱ）EF的长为 ．
19.(2024西青区二模)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上一点，连接BE并延长至点F，使得EF＝BE，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接DF．
（Ⅰ）∠BDF的度数是 （度）；
（Ⅱ）若CH= BC，FH＝3，则DF的长为 ．
20.(2024滨海新区二模)如图，四边形ABCD是正方形，边长为6，M是AD边上的动点，在正方形ABCD的外侧以AM为边作正方形AMEF，连接BE，若N为BE的中点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
21.(2023东丽区二模)如图，正方形ABCD的边长是，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE=，CF⊥BE，连接OF，则OF= .
22.(2024河西区二模)如图，在边长为4的正方形ABCD的外侧，作直角三角形ADE，∠AED＝90°，且∠ADE＝30°．
（Ⅰ）AE与DE的长度和为 ；
（Ⅱ）若O为AC的中点，连接OE，则OE的长为 ．
23.(2024西青区一模)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，即AB＝OB，∠CAD＝45°，E为AC上一点，BE平分∠ABO，过点E作EF⊥BC于点F，交BD于点M．
（Ⅰ）写出图中的一个等腰直角三角形是 ；
（Ⅱ）若BM＝，则BC的长为 ．
24.(2024河北区一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为AB的中点，点E在AD上，AE= AD，等腰三角形EDF中，ED＝FD，∠EDF＝120°．
（Ⅰ）△EDF的面积为 ；
（Ⅱ）若N为EF的中点，则MN2的值为 ．
25.如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，E是边BC的中点，连接DE，AE，BD．
（Ⅰ）DE的长是 ；
（Ⅱ）若F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF，则DF的长
为 ．
26.如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，连接CE交BD于点M，连接AM并延长,交BC于点F．
（Ⅰ）若E是AB的中点，则＝ ；
（Ⅱ）若∠CMF＝45°，则＝ ．
27.(2024和平区二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，BE= ，作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．
（Ⅰ）CF的长为 ；
（Ⅱ）若M为AF的中点，连接DM，则DM的长为 ．
28.(2024河东区二模)如图，E为平行四边形ABCD外一点，且满足∠EDC＝90°，DE＝DC＝4，AD=，∠DAB＝60°．
（Ⅰ）平行四边形ABCD的面积为 ；
（Ⅱ）若点M，N分别在线段AB，CD上，连接MN，当MN∥BC时，连接EM，EN，EM+EN的最小值为 ．
