题型五 平面直角坐标系中的图形变换(针对第24题)
折叠问题
1.(2024天津)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 3或 （请直接写出两个不同的值即可）．
解：(Ⅰ)如答图1，过点O′作O′H⊥OA于点H．
在Rt△POQ中，∠OPQ＝30°，
∴∠PQO＝60°，
由翻折的性质可知QO′＝QO＝1，∠PQO′＝∠PQO＝60°，
∴∠O′QH＝180°-60°-60°＝60°，
∴QH＝QO′·cos 60°＝，O′H＝3QH＝，
∴OH＝OQ+QH＝1+ = ，
∴O′（，）.
(Ⅱ)∵A（3，0），
∴OA＝3，
∵OQ＝t，
∴AQ＝3-t．
∵∠EQA＝60°，
∴QE＝2QA＝6-2t，
∵O′Q＝OQ＝t，
∴O′E＝t-（6-2t）＝3t-6（2＜t＜3）.
(Ⅲ)如答图2，当点Q与点A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．
在Rt△PGF中，PG＝OA＝3，∠PFG＝60°，
∴PF＝ ＝2，
∵∠OPA＝∠APF＝∠PAF＝30°，
∴FP＝FA＝2，
∴S△APF＝AF·PG＝×2×3＝3，
观察图象可知当3≤t＜2时，重叠部分的面积是定值3，
∴满足条件的t的值可以为 3或 （答案不唯一）．
故答案为：3或．
2.（2023天津）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图1，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O′，设OP＝t．
①如图2，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
解：(Ⅰ)如答图，过点P作PH⊥OA于点H．
∵∠OAB=90°，∠B=30°，
∴∠BOA=90°-30°=60°，
∴∠OPH=90°-60°=30°.
∵OP=1，
∴OH=OP=，PH=OP·cos30°=，
∴P（，）.
(Ⅱ)①由折叠的性质可知△O′PQ≌△OPQ，
∴OP=O′P，OQ=O′Q.
∵OP=OQ=t，
∴OP=OQ=O′P=O′Q，
∴四边形OPO′Q是菱形，
∴QO′∥OB，∴∠ADQ=∠B=30°.
∵A（2，0），∴OA=2，QA=2-t.
在Rt△AQD中，DQ=2QA=4-2t.
∵O′D=O′Q-QD=t-(4-2t)=3t-4，
∴＜t＜2.
②≤S≤.理由如下：
当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，
此时t=，S=×（）2=，
∴当1≤t≤时，点O′在△AOB内部（含边界），
此时S=S△O′PQ=S△OPQ=t2,≤S≤;
当＜t＜2时，重叠部分是四边形PQDC，S=S△O′PQ-S△O′CD=t2-×× =-t2+3t-2，
当t=- = 时，S有最大值，最大值为，
∴＜S≤;
当2≤t≤3时，点O′在△AOB外部，Q在OA的延长线上，S△CDP=CP·CD=·(2-)·(2-)=(2-)2,
∴ ≤ S ≤.
综上所述， ≤ S ≤．
3.(2024红桥区一模)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，4)，D为边OC的中点，P为x轴正半轴上的动点，沿DP折叠该纸片，点O的对应点为O′．
（Ⅰ）填空：如图1，当∠ODP = 30° 时，点P的坐标为 (,0) ; 点O′的坐标为 (,1) ；
（Ⅱ）如图2，连接AC，当点O′落在AC上时，求点O′的坐标；
（Ⅲ）当OP=6时，求点O′的坐标（直接写出结果即可）.
解：（Ⅰ）∵C(0，4)，
∴OC=4，
∵D为边OC的中点，
∴OD=2，
∵∠ODP=30°，
∴OP=OD·tan∠ODP =，∠OPD=60°，
∴P(，0)，
∴OP=，
由折叠的性质可得∠OPD=∠O′PD=60°，O′P=OP=，
如答图1，过点O′作O′M⊥x轴于点M，
∴∠O′PA=60°，
∴PM=，O′M=1，
∴OM=OP+PM=，
∴O′(，1)．
故答案为：(，0)，(，1)．
（Ⅱ）如答图2，连接OO′，过点O′作O′H⊥OA，垂足为H，
∵点A(3，0)，点C(0，4)，D为边OC的中点，
∴OA=3，OC=4 ，DO=DC=2，
根据折叠知△ODP≌△O′DP，OO′⊥DP，
∴DO=DO′，∴DO= DC = DO′，
∴点O′在以点D为圆心，OC为直径的圆上，
∴ OO′⊥AC，
∴∠O′OA= ∠OCA，
在Rt△OAC中，
AC==5，
∴sin∠O′OA= sin∠OCA= ，
cos∠O′OA= cos∠OCA=，
OO′= = ，
在Rt△OO′H中，
O′H=OO′·sin∠O′OH= ，
OH=OO′·cos∠O′OH= ，
∴点O′的坐标为( ，)．
（Ⅲ）(，)．
4.(2024河西区一模)将直角三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点O（0，0），点A（0，2），∠ABO＝30°，点C在边OB上（C不与点O，B重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点C，并与边AB交于点D，且∠BCD＝60°，点B的对应点为点E．设BC＝t．
（Ⅰ）如图1，当t＝1时，求∠OCE的大小和点E的坐标；
（Ⅱ）如图2，若折叠后重合部分为四边形，CE与OA交于点F，试用含有t的式子表示FE的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）请直接写出折叠后重合部分面积的最大值．
解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（0，2），∠ABO＝30°，
∴OA＝2，OB=2，
如答图1，过点E作EM⊥OB于点M，
根据题意可知△BCD≌△ECD，
∴EC＝BC＝1，∠CEB＝∠CBA＝30°，
∴∠ECD＝∠BCD＝60°，
∴∠OCE＝180°-∠ECD-∠BCD＝60°，
∴在Rt△ECM中，CM＝ CE＝，
∴EM＝＝，
∴OM=OB－BC－CM=2- ，
∴点E的坐标为(2- ，)．
（Ⅱ）∵EC＝BC＝t，∴OC=2-t，
在Rt△FCO中，∵∠FCO＝60°，
∴∠OFC＝30°，
∴FC=2CO=4-2t，
∴FE＝EC-FC＝t-（4-2t）＝3t-4．
如答图2，当点E与点A重合时，
∵∠CEB＝∠CBA＝30°，∠OAB＝60°，
∴∠CAO＝30°，
∴OC＝ CE＝ CB＝ t，
∴2-t＝ t，
∴t＝，
∴t的取值范围为＜t＜2．
（Ⅲ）①当0＜t≤ 时，折叠后重合部分为△CDE，
由(Ⅰ)可知△BCD≌△ECD,
∴折叠后重合部分的面积为CD·DB＝×t×t＝t2，
∴当t＝时，折叠后重合部分面积最大，最大值为；
②如答图3，当＜t＜2时，折叠后重合部分为四边形ADCF，过点E作EH⊥OA，与OA的延长线交于点H，
由（Ⅱ）可知，FE＝3t-4，
∠EFH=∠OFC=30°,
∴EH＝ EF＝，
∵OF＝OC＝6-t，
∴AF＝OA-OF＝t-4，
∴S△AEF = AF·EH＝ ×（t-4）×＝t2-6t+4,
∴S四边形ADCF = S△CDE-S△AEF
＝t2-（t2-6t+4）
＝- （t-）2 + ．
∵-＜0，
∴当t＝时，折叠后重合部分面积有最大值，最大值为．
∵ < ，
∴折叠后重合部分面积的最大值为．
5.(2024河东区二模)将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点P在y轴正半轴上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与边OA相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）填空：如图1，当t＝1时，∠O′QA的大小为 60° ，点O′的坐标为 (,) ；
（Ⅱ）如图2，若折叠后重合部分为五边形，点C的对应点为C′，O′Q，O′C′分别与边AB，BC相交于点D，E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）求折叠后重合部分的面积的最大值，以及相应的t的值（请直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）在Rt△OPQ中，∠OPQ＝30°，∠POQ＝90°，
则∠PQO＝60°，
由折叠的性质知∠PQO′＝∠PQO＝60°，O′Q＝OQ＝1，
∴∠O′QA＝60°，
如答图1，过点O′作Q′H⊥OA于点H，
在Rt△O′QH中，O′Q＝1，
∠O′QH＝60°，
∴QH＝O′Q·cos60°＝1×＝，
O′H＝O′Q·sin60°＝1×＝，
∴OH＝OQ＋QH＝1＋＝，
∴点O′的坐标为(，).
故答案为：60°，(，).
（Ⅱ）∵点A（3，0），∴OA=3，
∵OQ=t，∴QA=3-t,
∵∠DQA=60°,∴QD=2QA=6-2t,
又∵O′Q=OQ=t,∴O′D=O′Q-QD=3t-6,
在Rt△O′DE中，∵∠O′DE=30°,
∴O′E= O′D =（t-2）,
t的取值范围是2（Ⅲ）设t时的重合部分的面积为S，
如答图2，当0＜t＜3 时，重叠部分为△PO′Q，
则O′Q=OQ=t，O′P＝t，
∴S=O′Q·O′P=t×t＝t2；
如答图3所示，当＜t≤2时，重叠部分为四边形QO′FL，
在Rt△OPQ中，∠OPQ=30°，
∴OP=OQ=t,
∴PC=OP-OC=t-3，
∴CL=PC=t-，
由折叠的性质得△PCL≌△PC′L≌△FC′L，
∴S=S△PO′Q-S△PC′L-S△FC′L=S△POQ-2S△PCL=OQ·OP-2×CP·CL=
×t×t-(t-3)(t-)= - t2+6t-3，
∴当t=2时，S有最大值，最大值为12-5；
如答图4，当2＜t＜+1时，此时重叠部分为五边形EFLQD，
∴S=S△PO′Q-S△PC′L-S△FC′L-S△EO′D=S△POQ-2S△PCL-S△EO′D= - t2+6t - 3- O′E·O′D=
- t2+6t-3- ×（3t-6）×（t-2）=-2t2+（6+6）t-9，
当t=时，S取得最大值9-3．
(当+1≤t＜3时，重叠部分为四边形，其重叠部分的面积函数与答图4情况一致)
综上所述，当t= 时，S取得最大值9-3．
6.(2024部分区二模)在平面直角坐标系中，O为原点，△AOB顶点A（0，3），B（4，0），点C是线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），过C作CD⊥OB交AB于点D，将△AOB沿CD翻折，使点B落在x轴的点E处．
（Ⅰ）如图1，当点E与点O重合时，求点D的坐标；
（Ⅱ）设BC＝t，△CDE与△AOB重叠部分的面积为S．
①如图2，当重叠部分为四边形时，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 ≤ S ≤时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵A(0，3)，B(4，0)，
∴OA=3，OB=4，
当点E与点O重合时，即OC＝BC＝ OB＝2，
∵CD⊥OB，
∴∠BCD＝∠BOA＝90°，
∴CD∥OA，
∴△BCD∽△BOA，
∴ ＝ ，即 ＝，
∴CD＝，
∴点D的坐标为（2，）.
（Ⅱ）①当重叠部分为四边形时，如答图1，设DE与OA交于点F，2＜BC＜4，即2＜t＜4，则△CDE与△AOB重叠部分为梯形CDFO，
由翻折得△ECD≌△BCD，
∴CE＝BC＝t，OC＝4-t，
∴OE＝2t-4，
∵CD∥OA，
∴△BCD∽△BOA，
∴ ＝ ，即 ＝，
∴CD＝，
∵OF∥CD，
∴△EFO∽△EDC，
∴ ＝ ，即 ＝ = ，
∴OF＝，
∴S梯形CDFO＝×OC×（OF+CD）＝×（4-t）×（ + ）＝-t2+6t-6，
∴S＝- t2+6t-6（2＜t＜4）.
②∵当0＜t≤2时，△CDE与△AOB重叠部分为△CDE，
∴S＝t×t＝t2，
∵当0＜t≤2时，S随t的增大而增大，
∴当t＝2时，S取得最大值，S最大= × 22＝，
∴0＜ S ≤ ，
∵ ≤ S ≤，
∴ ≤ S ≤ ，
当S＝ 时， t2＝ ，
解得t＝ 或t＝-（舍去），
∴≤ t ≤2；
当2＜t＜4时，S＝- t2+6t-6，
令S＝ ，得- t2+6t-6＝ ，
解得t1＝＜2，t2＝，
令S＝，得- t2+6t-6＝ ，
解得t3＝，t4＝3，
如答图2，观察图象可知：当 ≤ S ≤ 时，2＜t≤ 或3≤t＜.
综上所述，当 ≤ S ≤ 时，t的取值范围为≤ t ≤或3 ≤ t＜．
平移问题
7.（2023天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），F(-，），H（0，）.
（Ⅰ）填空：如图1，点C的坐标为 （，2） ，点G的坐标为 （- ，） ；
（Ⅱ）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′F′G′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′.设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S.
①如图2，当边E′F′与AB相交于点M，边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 ≤ t ≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
解：(Ⅰ)如答图1，连接AC，BD，交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，且A（，0），B（0，1），
D（2，1）
∴AB=AD=＝2，AC⊥BD，
CM=AM=OB=1，OA=，
∴AC=2，∴C（，2）.
∵四边形EFGH是矩形，且E（0，），F（-，），H（0，），∴EF=GH=，OH=，
∴G（-，）.
故答案为：（，2），（-，）.
(Ⅱ)①∵E（0，），F（-，），H（0，），
∴在矩形EFGH中，EF∥x轴，EH⊥x轴，EF=，EH=1，
∴在矩形E′F′G′H′中，E′F′∥x轴，E′H′⊥x轴，E′F′=，E′H′=1，
由（Ⅰ）知OA=，OB=1，
在Rt△ABO中，tan∠ABO= =，∴∠ABO=60°，
在Rt△BME中，由EM=EB·tan60°，EB=1- =，∴EM= ，∴S△BME= EB·EM= ，
同理可得S△BNH= ，
∵EE′=t,∴S矩形EE′H′H=EE′·EH=t,
又∵S=S矩形EE′H′H-S△BME-S△BNH，∴S=t- ，
当EE′=EM=时，矩形E′F′G′H′和菱形ABCD重叠部分为△BE′H′，
∴t的取值范围是＜t≤.
②由①及题意可知，
当≤t≤时，矩形E′F′G′H′和菱形ABCD重叠部分的面积S是增大的，
当 ∴当t= 时，矩形E′F′G′H′和菱形ABCD重叠部分如答图2所示，
此时面积S最大，最大值为S=1×=；
当t= 时，矩形E′F′G′H′和菱形ABCD重叠部分如答图3所示，
由（Ⅰ）可知B，D之间的水平距离为2，
则点D到G′F′的距离为 -（ -2）＝，
由①可知∠CDA=∠CBA=60°，
∴矩形E′F′G′H′和菱形ABCD重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为2× =，
∴此时面积S最小，最小值为××＝，
综上所述，当 ≤ t ≤时，S的取值范围为 ≤S≤.
8.(2024西青区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的顶点A的坐标为（16，0），点B在第一象限，∠OBA＝90°，BO＝BA，矩形OCDE的顶点E在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D坐标为（-4，10）．
（Ⅰ）如图1，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图2，当矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为五边形时，D′E′与OB相交于点M，C′O′与BA相交于点N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3≤t≤14时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）如答图，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵点A的坐标为（16，0），
∴OA＝16，
∵∠OBA＝90°，
BO＝BA，BF⊥x轴，
∴OF＝BF＝ OA＝8，
∴点B的坐标为（8，8）.
（Ⅱ）①∵四边形OCDE是矩形，点D的坐标为（-4，10），
∴EO＝DC＝4，OC＝DE＝10，∠DEO＝∠COE＝90°，
根据题意，有E′O′＝EO＝4，D′E′＝C′O′＝OC=10，∠D′E′O′＝∠DEO＝90°，
∵∠OBA＝90°，BO＝BA，
∴∠BOA＝∠BAO＝45°，
∴∠OME′＝∠BOA＝45°，
∴OE′＝ME′，
同理可得O′A＝O′N，
∵OO′＝t，
∴OE′＝OO′-E′O′＝t-4＝ME′，O′A＝OA-OO′＝16-t＝O′N，
当重合部分为五边形时，8＜t＜12，
∴S＝S△OAB-S△OME′-S△ANO′＝×16×8-OE′·ME′-O′A·O′N＝64- （t-4）2- （16-t）2＝-t2+20t-72，
即S＝-t2+20t-72，其中t的取值范围是8＜t＜12.
②当3≤t≤8时，
S在t=3时取最小值，此时点E′在点O的左边，点O′在点O的右边，且E′O＝1，OO′＝3，
∴S最小＝×3×3＝，
S在t=8时取最大值，
此时S最大= ×8×8 - ×4×4=24;
当8当12≤t≤14时，重叠部分为梯形，
∴S＝ ×（16-t+20-t）×4＝72-4t，
∵-4＜0，
∴S最小＝72-4×14＝16，
S最大＝72-4×12＝24.
综上所述，当3≤t≤14时，S的取值范围为 ≤ S ≤28．
9.(2024滨海新区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形AOB的顶点A（4，0），∠OAB＝30°，等边三角形ODE的一边OD在x轴的负半轴上，点E在第二象限．将等边三角形ODE沿水平方向向右平移，顶点O，D，E的对应点分别为O′，D′，E′．
（Ⅰ）如图1，当边O′D′在x轴的正半轴上，点D′与原点O重合时，点E′恰好落在边AB上．填空：等边三角形O′D′E′的边长等于 2 ，点E′的坐标为 (1，) ；
（Ⅱ）如图2，当O′D′在OA边上，且O′E′，D′E′分别与AB相交于点G，H时，O′A与图中的哪条线段相等？OD′与图中的哪条线段相等？并证明你的结论；
（Ⅲ）设OO′＝t，等边三角形O′D′E′与直角三角形AOB重叠部分的面积为S．当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵∠OAB＝30°，∠BOA＝90°，
∴OB＝OAtan30°＝，AB＝2OB＝，
∴点B（0，），
∵△D′E′O′是等边三角形，
∴∠E′D′O′＝60°，
∴∠BOE′＝30°，
∵∠OBA＝60°，
∴∠BE′O＝90°，
∴OE′⊥AB，
∵S△OAB＝OA·OB＝AB·OE′，
∴OE′＝OA·OBAB＝2，
又∵∠E′OO′＝60°，
∴点E′（1，）．
故答案为：2，（1，）．
（Ⅱ）O′A＝O′G，OD′＝E′G，证明如下：
由（Ⅰ）知D′E′⊥AB，
∴∠E′HG＝90°，
∵△D′E′O′为等边三角形，
∴∠E′＝60°，
∴∠HGE′＝30°，
∴∠O′GA＝30°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠BAO＝∠O′GA，
∴O′A＝O′G，
由（Ⅰ）知O′D′＝O′E′＝2，
∵OA＝4，
∴OD′+O′A＝OA-O′D′＝2，
∵E′G+GO′＝2，
∴OD′＝E′G.
（Ⅲ）如答图，当 ≤ t ≤2时，
∵OO′＝t，D′O′＝2，
∴D′O＝2-t，
∵∠E′D′O′＝60°，
∴OF＝（2-t），
∴S＝S△D′E′O′-S△D′OF＝×2×-×（2-t）×（2-t）＝ - （2-t）2，
∴t＝2时，S有最大值，t＝时，S有最小值，
∴ ≤S≤;
当2＜t≤ 时，
∵OO′＝t，D′O′＝2，
∴D′O＝t-2，
由（Ⅱ）知E′G＝D′O＝t-2，
∵∠E′＝60°，
∴HE′＝（t-2），HG＝（t-2），
∴S＝S△D′E′O′-S△E′GH＝-（t-2）2，
∴t＝2时，S有最大值3，t＝时，S有最小值，
∴≤S＜．
综上所述，≤S＜．
10.(2024河东区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形OAB的顶点A（2，0），∠BAO＝30°，菱形CDEF的顶点C（0，1），E（-2，1），F（-，0）．
（Ⅰ）填空：如图1，点B的坐标为 (0，2) ，点D的坐标为 (-，2) ；
（Ⅱ）将菱形CDEF沿水平方向向右平移，得到菱形C′D′E′F′，点C，D，E，F的对应点分别为C′，D′，E′，F′，设FF′＝t，菱形C′D′E′F′与直角三角形OAB重叠部分的面积为S．
①如图2，当边D′E′分别与AB，OB相交于点M，N，边E′F′与OB相交于点P，边F′C′与AB相交于点Q，且菱形C′D′E′F′与直角三角形OAB重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当S＝ 时，求t的值（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，OA＝2，
∴OB＝2×tan30°=2，
∴点B（0，2），
∵CE＝2，OF＝，四边形CDEF是菱形，
∴DF＝2OC＝2，
∴点D（－，2）.
故答案为：（0，2），（－，2）．
（Ⅱ）①如答图1，连接CE，过点F′作F′G⊥AB于点G，
∴CE′＝CE-EE′＝2-t，
∵tan∠FCO＝ =，
∴∠FCO＝60°，
同理可得∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝60°，
∵四边形CDEF是菱形，
∴DE＝EF，∠D′E′F′＝∠DEF＝∠DCF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，
由平移的性质易得△E′PN是等边三角形，
∵CP＝CE′＝(2－t)，
∴S△E′PN＝PN·CE′＝CP·CE′＝(2－t)2，
∵F′G＝AF′＝（AF-FF′）＝（3-t），
∴S QME′F′＝MQ·F′G=E′F′·F′G＝3-t，
∴S＝S QME′F′-S△E′PN=（3-t）- (2－t)2＝-t2+3t-(②如答图2，当0＜t≤时，
∵CC′＝t，PN＝t，
∴S＝CC′·PN＝t2，
由t2＝，得t＝ (负值已舍去);
当＜t＜2时，
由- t2+3t-= ,
得t1＝（舍去），t2＝（舍去）;
如答图3，当2≤t＜3时，
由3-t= ，得t＝.
综上所述，t＝或．
11.(2024红桥区二模)在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A（4，0），C（0，3），等边三角形ODE的顶点E（-6，0），顶点D在第二象限．
（Ⅰ）填空：如图1，点B的坐标为 （4，3） ，点D的坐标为 （-3，3） ；
（Ⅱ）将△ODE沿x轴向右平移，得△O′D′E′，点O，D，E的对应点分别为O′，D′，E′，设OO′＝t，△O′D′E′与矩形OABC重叠部分的面积为S．
①如图2，当△O′D′E′与矩形OABC重叠部分为五边形时，边O′D′与AB相交于点F，边D′E′与OC相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当1≤t≤6时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵矩形OABC的顶点A（4，0），C（0，3），
∴OA＝4，AB=OC＝3，
∴B（4，3），
∵等边三角形ODE的顶点E（-6，0），顶点D在第二象限，∴OE＝6，
如答图1，过点D作DM⊥x轴于点M，
∴EM＝OM＝3，DO＝EO＝6，∠DOM＝60°，
在Rt△ODM中，
DM＝OM·tan60°＝3，
∴D（-3，3）.
故答案为：（4，3），（-3，3）.
（Ⅱ）①∵A（4，0），C（0，3），E（-6，0）,△ODE是等边三角形，
∴OA＝CB＝4，AB＝OC＝3，OE＝6，∠DEO＝∠DOE＝60°，
由平移的性质可得∠D′E′O′＝∠D′O′E′＝60°，O′E′＝6，
∴S△O′D′E′＝O′E′·OC＝9，
OG＝OE′·tan∠GE′O＝OE′，
AF＝O′A·tan∠FO′A＝O′A，
∵OO′＝t，
∴O′A＝OO′-AO＝t-4，OE′＝O′E′-OO′＝6-t，
∴S△GOE′＝OE′·OG＝（6-t）2，
S△FO′A＝AO′·AF＝（t-4）2，
∴S＝S△O′D′E′-S△GOE′-S△FO′A=9-（6-t）2-（t-4）2＝-t2+10t-17，
∵△O′D′E′与矩形OABC重叠部分为五边形，
∴O′A＞0，O′E＞0，
即
解得4＜t＜6，
∴S＝-t2+10t-17（4＜t＜6）.
②如答图2，当1≤t＜3时，
S=S△OO′H＝t×t＝t2，
当t＝1时，S取得最小值为；
如答图3，当3＜t≤4时，
第11题答图3同①可得S△GOE′＝OE′·OG＝（6-t）2，
S=S四边形OGD′O′＝9-（6-t）2＝-（t-6）2+9，
当t＝3时，S取得最小值为，
当t＝4时，S取得最大值为7；
由①可得当4＜t≤6时，S＝-t2+10t-17＝-3（t-5）2+8，
当t＝5时，S取得最大值为8.
综上所述，当1≤t≤6时，≤S≤8．
旋转问题
12.(2024和平区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α，连接AO′．
（Ⅰ）如图1，若α＝90°，求AO′的长；
（Ⅱ）如图2，若α＝60°，求AO′的长；
（Ⅲ）若点P为线段AO′的中点，求A′P的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵点A（2，0），点B（0，2），
∴OA＝OB＝2．
∵将△ABO绕点B逆时针旋转90°得△A′BO′，
∴BO′＝OB＝2，∠O′BO＝90°，
∴O′B＝OA＝2．
∵∠O′BO+∠AOB＝180°，
∴O′B∥OA，
∴四边形AOBO′是平行四边形，
∴AO′＝OB＝2.
（Ⅱ）如答图1，连接AA′，延长AO′与A′B相交于点E，
在Rt△AOB中，AB==2，
∵将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△A′BO′，
∴△A′BO′≌△ABO，∠ABA′＝60°，
∴A′B＝AB＝2，O′B＝OB＝2，O′A′＝OA＝2，
∴△ABA′是等边三角形,
∴AA′＝AB＝2，
又∵O′A′＝O′B，
∴点O′，A在A′B的垂直平分线上，
∴AO′垂直平分A′B，
∴A′E＝BE＝，∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，AE==，
在Rt△A′O′B中，O′E＝BE＝A′E＝A′B＝，
∴AO′＝AE-O′E＝-．
（Ⅲ）如答图2， 取BO′的中点E，连接A′E，EP，A′P，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵PA＝PO′，EO′＝EB，
∴PE是△O′AB的中位线，
∴PE＝AB＝，
∵O′E＝1，O′A′＝2，
∴A′E＝=，
∵A′E-PE≤A′P≤A′E+PE，
∴-≤A′P≤．
13.(2024红桥区三模)在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（2，2）．将△OAB绕点B顺时针旋转，得△O′A′B，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．
（Ⅰ）填空：如图1，当α＝45°时，点O′的坐标为 （2-2，2） ，点A′的坐标为
（2-，2-） ；
（Ⅱ）如图2，当α＝60°时，求点A′的坐标；
（Ⅲ）连接OA′，设线段OA′的中点为M，连接O′M，求线段O′M的长的最小值（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）如答图1，过点A′作A′C⊥OA于点C
∵A（2，0），B（2，2），
∴OA＝AB＝2，∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝∠ABO＝45°，OB＝AB＝2.
∵△O′A′B是由△OAB绕点B顺时针旋转得到的，
α＝45°，
∴A′B＝AB＝2，点A′落在线段OB上，
∴∠O′BO＝∠BOA＝45°，
∴O′B∥OA，
∴∠O′BA＝90°，O′B＝OB＝2，
∴O′（2-2，2），
∴OA′＝OB-A′B＝2-2，
∴OC＝CA′＝×（2-2）＝2-，
∴A′（2-，2-）.
故答案为：（2-2，2）,（2-，2-）．
（Ⅱ）如答图2，连接AA′，过点A′作A′D⊥OA于点D.
∵A′B＝AB＝2，∠ABA′＝α＝60°，
∴∠A′AB＝∠AA′B＝60°，
AA′＝AB＝A′B＝2，
∴∠A′AO＝90°-60°＝30°.
在Rt△A′AD中，A′D＝AA′＝1，AD＝AA′＝，
∴OD＝OA-AD＝2-，
∴A′（2-，1）．
（Ⅲ）如答图3，延长A′O′到点N，使O′N=A′O′，连接ON，BN．
∵A′O′＝O′N，A′M＝MO，
∴O′M＝ON，
在Rt△A′BN中，∠BA′N＝90°，BA′＝2，A′N＝4，
∴BN＝＝2.
∵ON≥BN-OB，
∴ON≥2-2.
∵O′M＝ON，
∴O′M≥-，
∴O′M的最小值为 -．题型五 平面直角坐标系中的图形变换(针对第24题)
折叠问题
1.(2024天津)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是 （请直接写出两个不同的值即可）．
2.（2023天津）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图1，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O′，设OP＝t．
①如图2，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3.(2024红桥区一模)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，4)，D为边OC的中点，P为x轴正半轴上的动点，沿DP折叠该纸片，点O的对应点为O′．
（Ⅰ）填空：如图1，当∠ODP = 30° 时，点P的坐标为 ; 点O′的坐标为 ；
（Ⅱ）如图2，连接AC，当点O′落在AC上时，求点O′的坐标；
（Ⅲ）当OP=6时，求点O′的坐标（直接写出结果即可）.
4.(2024河西区一模)将直角三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点O（0，0），点A（0，2），∠ABO＝30°，点C在边OB上（C不与点O，B重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点C，并与边AB交于点D，且∠BCD＝60°，点B的对应点为点E．设BC＝t．
（Ⅰ）如图1，当t＝1时，求∠OCE的大小和点E的坐标；
（Ⅱ）如图2，若折叠后重合部分为四边形，CE与OA交于点F，试用含有t的式子表示FE的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）请直接写出折叠后重合部分面积的最大值．
5.(2024河东区二模)将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点P在y轴正半轴上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与边OA相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）填空：如图1，当t＝1时，∠O′QA的大小为 ，点O′的坐标为 ；
（Ⅱ）如图2，若折叠后重合部分为五边形，点C的对应点为C′，O′Q，O′C′分别与边AB，BC相交于点D，E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）求折叠后重合部分的面积的最大值，以及相应的t的值（请直接写出结果即可）．
6.(2024部分区二模)在平面直角坐标系中，O为原点，△AOB顶点A（0，3），B（4，0），点C是线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），过C作CD⊥OB交AB于点D，将△AOB沿CD翻折，使点B落在x轴的点E处．
（Ⅰ）如图1，当点E与点O重合时，求点D的坐标；
（Ⅱ）设BC＝t，△CDE与△AOB重叠部分的面积为S．
①如图2，当重叠部分为四边形时，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 ≤ S ≤时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
平移问题
7.（2023天津）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（，0），B（0，1），D（2，1），矩形EFGH的顶点E（0，），F(-，），H（0，）.
（Ⅰ）填空：如图1，点C的坐标为 ，点G的坐标为 ；
（Ⅱ）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′F′G′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′.设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S.
①如图2，当边E′F′与AB相交于点M，边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 ≤ t ≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
8.(2024西青区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的顶点A的坐标为（16，0），点B在第一象限，∠OBA＝90°，BO＝BA，矩形OCDE的顶点E在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D坐标为（-4，10）．
（Ⅰ）如图1，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图2，当矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为五边形时，D′E′与OB相交于点M，C′O′与BA相交于点N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3≤t≤14时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
9.(2024滨海新区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形AOB的顶点A（4，0），∠OAB＝30°，等边三角形ODE的一边OD在x轴的负半轴上，点E在第二象限．将等边三角形ODE沿水平方向向右平移，顶点O，D，E的对应点分别为O′，D′，E′．
（Ⅰ）如图1，当边O′D′在x轴的正半轴上，点D′与原点O重合时，点E′恰好落在边AB上．填空：等边三角形O′D′E′的边长等于 ，点E′的坐标为 ；
（Ⅱ）如图2，当O′D′在OA边上，且O′E′，D′E′分别与AB相交于点G，H时，O′A与图中的哪条线段相等？OD′与图中的哪条线段相等？并证明你的结论；
（Ⅲ）设OO′＝t，等边三角形O′D′E′与直角三角形AOB重叠部分的面积为S．当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
10.(2024河东区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形OAB的顶点A（2，0），∠BAO＝30°，菱形CDEF的顶点C（0，1），E（-2，1），F（-，0）．
（Ⅰ）填空：如图1，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（Ⅱ）将菱形CDEF沿水平方向向右平移，得到菱形C′D′E′F′，点C，D，E，F的对应点分别为C′，D′，E′，F′，设FF′＝t，菱形C′D′E′F′与直角三角形OAB重叠部分的面积为S．
①如图2，当边D′E′分别与AB，OB相交于点M，N，边E′F′与OB相交于点P，边F′C′与AB相交于点Q，且菱形C′D′E′F′与直角三角形OAB重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当S＝ 时，求t的值（直接写出结果即可）．
11.(2024红桥区二模)在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A（4，0），C（0，3），等边三角形ODE的顶点E（-6，0），顶点D在第二象限．
（Ⅰ）填空：如图1，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（Ⅱ）将△ODE沿x轴向右平移，得△O′D′E′，点O，D，E的对应点分别为O′，D′，E′，设OO′＝t，△O′D′E′与矩形OABC重叠部分的面积为S．
①如图2，当△O′D′E′与矩形OABC重叠部分为五边形时，边O′D′与AB相交于点F，边D′E′与OC相交于点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当1≤t≤6时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
旋转问题
12.(2024和平区一模)在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，2），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α，连接AO′．
（Ⅰ）如图1，若α＝90°，求AO′的长；
（Ⅱ）如图2，若α＝60°，求AO′的长；
（Ⅲ）若点P为线段AO′的中点，求A′P的取值范围（直接写出结果即可）．
13.(2024红桥区三模)在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（2，2）．将△OAB绕点B顺时针旋转，得△O′A′B，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．
（Ⅰ）填空：如图1，当α＝45°时，点O′的坐标为 ，点A′的坐标为
；
（Ⅱ）如图2，当α＝60°时，求点A′的坐标；
（Ⅲ）连接OA′，设线段OA′的中点为M，连接O′M，求线段O′M的长的最小值（直接写出结果即可）．
