云南省下关重点中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 云南省下关重点中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 119.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-23 22:18:35 | ||
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文档简介
云南省下关重点中学2024-2025学年高一下学期开学考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
7．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10． 下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的周期为
C．的图象关于点对称
D．的单调递增区间为
12．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
B．若函数有3个零点，则实数a的取值范围是
C．设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是
D．任意实数a，函数在内无最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算 ；
14．在中，内角，，的对边分别为，，，为锐角，，的面积为，则的周长的最小值为 ．
15．已知，则
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：“函数的图象关于点成中心对称图象的充要条件是函数为奇函数”，由此可得函数图象的对称中心是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合A＝{y|y＝-2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围
18．已知函数，其相邻两个对称中心之间的距离为
（1）求实数的值及函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值；
（3）设，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）已知；
①求面积的最大值；
②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值.
20． 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，2020上半年我国疫情严重，在党的正确领导下，疫情得到有效控制，为了发展经济，国家鼓励复工复产，某手机品牌公司响应国家号召投入生产某款手机，前期投入成本40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且满足关系式，已知该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
21．已知函数
（1）若，证明为奇函数；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
22．已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数f（x）在R上单调递增；
（3）记，对x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．A
2．B
3．C
4．A
5．A
6．C
7．B
8．B
9．B,D
10．B,C
11．B,C,D
12．B,C,D
13．
14．
15．
16．
17．（1）解：当a＝4时，B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}＝{x|x2+3x-28＞0}＝{x|x＞4或x＜-7}．
A＝{y|y＝-2x，x∈[2，3]}＝{y|-8≤y≤-4}，
则A∩B＝{x|-8≤x＜-7}．
（2）解：若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A B，
B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}＝{x|（x-a）（x+a+3）＞0}．
对应方程的两个根为x＝a或x＝-a-3，
①若a＝-a-3，即a＝，此时B＝{x|x≠}，满足A B，
②若a＜-a-3，即a＜，此时B＝{x|x＞-a-3或x＜a}}，
若满足A B，则a≥-4或-a-3≤-8，解得a≥-4或a≥5（舍去），
此时-4≤a＜．
③若a＞-a-3，即a＞，此时B＝{x|x＞a或x＜-a-3}}，
若满足A B，则-a-3≥-4或a≤-8（舍），解得＜a≤1．
综上-4≤a≤1．
18．（1），单调递增区间是；
（2），；
（3）
19．（1）解：由，利用正弦定理化简整理可得，
则，
即，即，
即，因为，所以，即，，则；
（2）解：①因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，
则的面积，即面积的最大值为；
②设的中点为，
，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，则，
故，
综上，的最小值为.
20．（1）解：因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.
所以，解得
则
根据题意有，
当时，，
当时，，
所以.
（2）解：①当时，，所以；
②当时，，
由于，
当且仅当，即时，取等号，
所以此时的最大值为6760，
综合①②知，当年产量为万部，取得最大值为6760万元
21．（1）证明：
．
所以，，即，定义域为，
所以，，
所以，为奇函数.
（2）解：∵在上恒成立，
∴．
令，因为，所以，
所以，，，
因为 在单调递增，
所以 ， 即 ，
所以，解得，
所以的取值范围是．
22．（1）解：由函数是定义在R上的奇函数，
有，可得a＝0，
当a＝0时，由，，
，
此时为奇函数，
又由，
可知函数的定义域为R，故a＝0满足题意，
故实数a的值为0
（2）证明：由（1）有，
①若，令
则，
因为，
所以，
则，即，
所以在上递增，
又在上递增，
由复合函数的单调性得函数在上单调递增，
②若，由函数为奇函数，得
，即
③若，则由①②得
综上，对于，总有，因此函数在R上单调递增
（3）解：由，
可得函数为奇函数．
又由函数和在R上单调递增，可得函数在R上单调递增，
不等式可化为不等式，
可化为，有，
可知对，不等式恒成立，等价于对，恒成立，
①当时，，，不等式显然成立；
②当时，
Ⅰ．若x＝－1，，，不等式显然成立，
Ⅱ．若，不等式可化为，又由（当且仅当x＝1时取等号），
故有；
Ⅲ．若，不等式可化为，
又由（当且仅当x＝－3时取等号），
故有，
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得，
由①②可知，实数m的取值范围为
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
7．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10． 下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的周期为
C．的图象关于点对称
D．的单调递增区间为
12．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
B．若函数有3个零点，则实数a的取值范围是
C．设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是
D．任意实数a，函数在内无最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算 ；
14．在中，内角，，的对边分别为，，，为锐角，，的面积为，则的周长的最小值为 ．
15．已知，则
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：“函数的图象关于点成中心对称图象的充要条件是函数为奇函数”，由此可得函数图象的对称中心是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合A＝{y|y＝-2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围
18．已知函数，其相邻两个对称中心之间的距离为
（1）求实数的值及函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值；
（3）设，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）已知；
①求面积的最大值；
②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值.
20． 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，2020上半年我国疫情严重，在党的正确领导下，疫情得到有效控制，为了发展经济，国家鼓励复工复产，某手机品牌公司响应国家号召投入生产某款手机，前期投入成本40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且满足关系式，已知该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
21．已知函数
（1）若，证明为奇函数；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
22．已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数f（x）在R上单调递增；
（3）记，对x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．A
2．B
3．C
4．A
5．A
6．C
7．B
8．B
9．B,D
10．B,C
11．B,C,D
12．B,C,D
13．
14．
15．
16．
17．（1）解：当a＝4时，B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}＝{x|x2+3x-28＞0}＝{x|x＞4或x＜-7}．
A＝{y|y＝-2x，x∈[2，3]}＝{y|-8≤y≤-4}，
则A∩B＝{x|-8≤x＜-7}．
（2）解：若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A B，
B＝{x|x2+3x-a2-3a＞0}＝{x|（x-a）（x+a+3）＞0}．
对应方程的两个根为x＝a或x＝-a-3，
①若a＝-a-3，即a＝，此时B＝{x|x≠}，满足A B，
②若a＜-a-3，即a＜，此时B＝{x|x＞-a-3或x＜a}}，
若满足A B，则a≥-4或-a-3≤-8，解得a≥-4或a≥5（舍去），
此时-4≤a＜．
③若a＞-a-3，即a＞，此时B＝{x|x＞a或x＜-a-3}}，
若满足A B，则-a-3≥-4或a≤-8（舍），解得＜a≤1．
综上-4≤a≤1．
18．（1），单调递增区间是；
（2），；
（3）
19．（1）解：由，利用正弦定理化简整理可得，
则，
即，即，
即，因为，所以，即，，则；
（2）解：①因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，
则的面积，即面积的最大值为；
②设的中点为，
，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，则，
故，
综上，的最小值为.
20．（1）解：因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.
所以，解得
则
根据题意有，
当时，，
当时，，
所以.
（2）解：①当时，，所以；
②当时，，
由于，
当且仅当，即时，取等号，
所以此时的最大值为6760，
综合①②知，当年产量为万部，取得最大值为6760万元
21．（1）证明：
．
所以，，即，定义域为，
所以，，
所以，为奇函数.
（2）解：∵在上恒成立，
∴．
令，因为，所以，
所以，，，
因为 在单调递增，
所以 ， 即 ，
所以，解得，
所以的取值范围是．
22．（1）解：由函数是定义在R上的奇函数，
有，可得a＝0，
当a＝0时，由，，
，
此时为奇函数，
又由，
可知函数的定义域为R，故a＝0满足题意，
故实数a的值为0
（2）证明：由（1）有，
①若，令
则，
因为，
所以，
则，即，
所以在上递增，
又在上递增，
由复合函数的单调性得函数在上单调递增，
②若，由函数为奇函数，得
，即
③若，则由①②得
综上，对于，总有，因此函数在R上单调递增
（3）解：由，
可得函数为奇函数．
又由函数和在R上单调递增，可得函数在R上单调递增，
不等式可化为不等式，
可化为，有，
可知对，不等式恒成立，等价于对，恒成立，
①当时，，，不等式显然成立；
②当时，
Ⅰ．若x＝－1，，，不等式显然成立，
Ⅱ．若，不等式可化为，又由（当且仅当x＝1时取等号），
故有；
Ⅲ．若，不等式可化为，
又由（当且仅当x＝－3时取等号），
故有，
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得，
由①②可知，实数m的取值范围为
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