1.2.1 平方差公式 教案
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1.2.1 平方差公式
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第一章第二节《乘法公式》中的内容，本节主要学习平方差公式( + )( )= 2 2，它是整式乘法中的重要公式之一。通过公式的推导和应用，学生可以简化整式乘法运算，并为后续学习因式分解奠定基础。同时它也是“多项式乘多项式”的特殊形式，也是后续学习“因式分解”中“公式法”的重要基础。掌握本节内容对提高学生的代数运算能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、学情分析
已有基础：已学习“多项式乘多项式”的运算法则，但对复杂运算（如含负号的乘法）易出现符号错误、漏项等问题。
能力水平：具备初步的代数运算能力，但对公式的推导过程理解不深，难以灵活应用公式。且抽象概括能力不足，从具体实例归纳公式存在困难。
学习心理：对公式记忆有畏难情绪，缺乏学习兴趣，需要教师通过直观化教学和分层练习逐步建立信心。
三、教学目标
1.理解平方差公式的几何意义，能用数学语言表述( + )( )= 2 2。
2.能熟练运用平方差公式进行整式乘法运算；
3.会利用平方差公式解决简单的实际问题（如几何面积计算）。
四、重点难点
重点：理解并掌握( + )( )= 2 2的推导与计算。
难点：在复杂运算中识别并应用平方差公式。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
【问题】多项式乘多项式的法则是什么？
【回顾】法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a,b,m,n都是单项式)
二、探究新知
【说一说】
多项式x+y与xy相乘，其积为多少？
解：(x+y)(xy)=x2xy+xyy2
=x2y2.
【新知】
平方差公式：
(x+y)(xy)=x2y2
【问题】已知大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,求阴影部分的面积。
解：大正方形的面积为a2,
小正方形的面积为b2，
故阴影部分的面积为a2b2。
【问题】将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如下图所示的长方形,求该长方形的面积。
解：该长方形的长为a+b,
该长方形的宽为ab ，
故长方形的面积为(a+b)(ab)=a2b2 。
【思考】如何判断平方差公式中的x与y？
x:符号相同的项
y:符号相反的项
三、例题探究
例1 计算：(1) (2x＋1)(2x－1)； (2) (x＋2y)(x－2y).
任务：分别用多项式乘多项式法则和平方差公式解决例1.
多项式乘多项式：
解：(1) 原式= 4x2－2x+2x－1
= 4x2－1.
(2) 原式=x2－2xy+2xy－4y2
= x2－4y2.
平方差公式：
解：(1) 原式= (2x)2－12
= 4x2－1.
(2) 原式=x2－(2y)2
= x2－4y2.
【问题】与不用平方差公式计算相比，哪种方法更简便？
例2 运用平方差公式计算: .
解：将平方差公式中的x用－2x代替，y用y代替，可得
＝
＝.
例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a).
解：由平方差公式得
(4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b)
＝(4a)2－b2
＝16a2－b2.
方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式．
应用平方差公式进行计算的一般步骤：
1.利用加法交换律调整括号内项的位置，使之与公式左边相对应（已对应的无需调整）
2.找准哪个单项式或多项式分别代表公式中的“x”和“y”
3.套用公式计算，注意将底数带上括号
例4 计算：1002×998.
解：1002×998 = (1000＋2)(1000－2)
= 10002－22
= 1000000－4
= 999996
四、课堂练习
1.计算：(1) (3x+y)(3xy)；(2)(m－n)(m+n);(3) (1+5x)(15x)；(4) (4a－b)(4a－b).
2.计算：(1) 202×198；(2) 49.8×50.2 .
3.下列各式能用平方差公式计算的是 ( )
A.(3a+b)(a-b) B.(3a+b)(-3a-b) C.(-3a-b)(-3a+b) D.(-3a+b)(3a-b)
4.下列运用平方差公式计算错误的是 （ ）
A.(a+5b)(a-5b)=a2-25b2
B.(x+1)(x-1)=x2-1
C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1
D.(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2
5.从前,古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a>6)的正方形土地租给某租户.第二年,他对该租户说:“我把这块地的一边增加6米,与其相邻的另一边减少6米,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何 ”如果这样,你觉得该租户的租地面积 ( )
A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定
6.若(x+y+1)(x+y-1)=8,则x+y的值为 ( )
A.3 B.±3 C.-3 D.±5
五、课堂小结
什么是平方差公式，在运用过程中需注意什么？
六、作业布置
课堂作业：P22 T1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1.2.1 平方差公式
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第一章第二节《乘法公式》中的内容，本节主要学习平方差公式( + )( )= 2 2，它是整式乘法中的重要公式之一。通过公式的推导和应用，学生可以简化整式乘法运算，并为后续学习因式分解奠定基础。同时它也是“多项式乘多项式”的特殊形式，也是后续学习“因式分解”中“公式法”的重要基础。掌握本节内容对提高学生的代数运算能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、学情分析
已有基础：已学习“多项式乘多项式”的运算法则，但对复杂运算（如含负号的乘法）易出现符号错误、漏项等问题。
能力水平：具备初步的代数运算能力，但对公式的推导过程理解不深，难以灵活应用公式。且抽象概括能力不足，从具体实例归纳公式存在困难。
学习心理：对公式记忆有畏难情绪，缺乏学习兴趣，需要教师通过直观化教学和分层练习逐步建立信心。
三、教学目标
1.理解平方差公式的几何意义，能用数学语言表述( + )( )= 2 2。
2.能熟练运用平方差公式进行整式乘法运算；
3.会利用平方差公式解决简单的实际问题（如几何面积计算）。
四、重点难点
重点：理解并掌握( + )( )= 2 2的推导与计算。
难点：在复杂运算中识别并应用平方差公式。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
【问题】多项式乘多项式的法则是什么？
【回顾】法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a,b,m,n都是单项式)
二、探究新知
【说一说】
多项式x+y与xy相乘，其积为多少？
解：(x+y)(xy)=x2xy+xyy2
=x2y2.
【新知】
平方差公式：
(x+y)(xy)=x2y2
【问题】已知大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,求阴影部分的面积。
解：大正方形的面积为a2,
小正方形的面积为b2，
故阴影部分的面积为a2b2。
【问题】将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如下图所示的长方形,求该长方形的面积。
解：该长方形的长为a+b,
该长方形的宽为ab ，
故长方形的面积为(a+b)(ab)=a2b2 。
【思考】如何判断平方差公式中的x与y？
x:符号相同的项
y:符号相反的项
三、例题探究
例1 计算：(1) (2x＋1)(2x－1)； (2) (x＋2y)(x－2y).
任务：分别用多项式乘多项式法则和平方差公式解决例1.
多项式乘多项式：
解：(1) 原式= 4x2－2x+2x－1
= 4x2－1.
(2) 原式=x2－2xy+2xy－4y2
= x2－4y2.
平方差公式：
解：(1) 原式= (2x)2－12
= 4x2－1.
(2) 原式=x2－(2y)2
= x2－4y2.
【问题】与不用平方差公式计算相比，哪种方法更简便？
例2 运用平方差公式计算: .
解：将平方差公式中的x用－2x代替，y用y代替，可得
＝
＝.
例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a).
解：由平方差公式得
(4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b)
＝(4a)2－b2
＝16a2－b2.
方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式．
应用平方差公式进行计算的一般步骤：
1.利用加法交换律调整括号内项的位置，使之与公式左边相对应（已对应的无需调整）
2.找准哪个单项式或多项式分别代表公式中的“x”和“y”
3.套用公式计算，注意将底数带上括号
例4 计算：1002×998.
解：1002×998 = (1000＋2)(1000－2)
= 10002－22
= 1000000－4
= 999996
四、课堂练习
1.计算：(1) (3x+y)(3xy)；(2)(m－n)(m+n);(3) (1+5x)(15x)；(4) (4a－b)(4a－b).
2.计算：(1) 202×198；(2) 49.8×50.2 .
3.下列各式能用平方差公式计算的是 ( )
A.(3a+b)(a-b) B.(3a+b)(-3a-b) C.(-3a-b)(-3a+b) D.(-3a+b)(3a-b)
4.下列运用平方差公式计算错误的是 （ ）
A.(a+5b)(a-5b)=a2-25b2
B.(x+1)(x-1)=x2-1
C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1
D.(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2
5.从前,古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a>6)的正方形土地租给某租户.第二年,他对该租户说:“我把这块地的一边增加6米,与其相邻的另一边减少6米,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何 ”如果这样,你觉得该租户的租地面积 ( )
A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定
6.若(x+y+1)(x+y-1)=8,则x+y的值为 ( )
A.3 B.±3 C.-3 D.±5
五、课堂小结
什么是平方差公式，在运用过程中需注意什么？
六、作业布置
课堂作业：P22 T1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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