24.4相似三角形的判定同步测试（含解析）沪教版九年级数学上册试题

24.4相似三角形的判定
一、单选题
1．△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　)
A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=,DF=
B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1
C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6
D．AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3
2．已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个命题中，真命题的个数是（　　）
（1）所有的正方形都相似；
（2）所有的等腰三角形都相似；
（3）所有的等边三角形都相似；
（4）所有的矩形都相似．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．根据下列各组条件，不能判断△ABC和相似的是（ ）
A．，，
B．，，，
C．，，；，，
D．，，；，，
5．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列条件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A′=45°，A′B′=16，A′C′=20；②∠A=47°，AB=1.5，AC=2，∠B′=47°，A′B′=2.8，B′C′=2.1；③∠A=47°，AB=2，AC=3，∠B′=47°，A′B′=4，B′C′=6，其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，下列条件中能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为( )

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．△ABC的边长分别为的边长分别，则△ABC与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
12．如图，若，则．
13．直线与△ABC的边相交于点，与边相交于点，下列各条件：
①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，DEBC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件 (不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB∽△ADE．
15．如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使△ADE与相似的是 ．(填序号)
16．如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当 时，△ADE与相似.
17．将三角形纸片△ABC按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与△ABC相似，则 ．
18．等腰三角形ABC被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰三角形的顶角的度数是 ．
三、解答题
19．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽
20．如图，在中，，，，求证：．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
22．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD CD＝AC CE．
23．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；
(2)与相似吗？为什么？
24．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：

(1)；
(2)．
25．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且．
求证：
(1)；
(2)．
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据相似三角形的判定定理(有三组对应边的比相等的两个三角形相似)判断即可.
【解析】A、根据AB=c，BC=a，AC=b，DE=,EF=,DF=，不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1，
∴ AB:DF=1,AC:EF=1:6,BC:DE=1:6，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6，
∴ AB:DF=AC:EF=BC:DE=1:2，
∴△ABC和△DEF相似，故本选项正确；
D、AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3,
∴ AB:DE=:3,AC:EF=:3,BC:DF=:3，
∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误；
故选C．
2．D
【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【解析】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意；
B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意；
C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意；
D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握相似多边形和相似三角形的判定是解题的关键．根据相似多边形和相似三角形的判定方法分别判断即可．
【解析】解：（1）所有的正方形都相似，真命题；
（2）所有的等腰三角形都相似，假命题；
（3）所有的等边三角形都相似，真命题；
（4）所有的矩形都相似，假命题；
综上所述，真命题的个数是2个，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【解析】解：∵，，，
∴，则，故选项A不符合要求；
∵，，，，
∴，，则，故选项B不符合要求；
∵，，；，，，
∴，不能判断和相似，故选项C符合要求；
∵，，；，，，
∴，，则，故选项D不符合要求；
故选：C．
5．B
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【解析】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：．
A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选：B．
6．D
【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可解答.
【解析】①，∠A=∠A′=45°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△A′B′C′；②，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′C′A′；③，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′A′C′.
故选D.
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，再根据相似三角形的几种判定方法逐一判断即可．
【解析】解：，
，
A、添加，可用两角法判定，故本选项错误；
B、添加，可用两角法判定，故本选项错误；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误；
D、添加，不能判定，故本选项正确；
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可．
【解析】解：．若，则，
∵，
∴，该选项正确，符合题意；
．若，无法得出和△ABC对应边成比例，该选项错误，不符合题意；
．若，无和△ABC对应边成比例，选项错误，不符合题意；
．若，无和△ABC对应边成比例，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．
【解析】解：选项A，∵，，

∴，故选项A不符合题意．
选项B，如图，设与交于点，

∵，，
∴，故选项B不合题意；
选项C，∵，，
∴，故选项C不合题意；
选项D中没有相似三角形，符合题意．
故选：D．
10．B
【分析】欲求有几个符合条件的三角形与△ABC相似，先利用勾股定理求出△ABC的三边的长度，然后再去求以D，， 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．
【解析】根据题意得，，.
连接，，，.
故，∴△ABC∽△DP5P2.
同理可找到△P2P4D，△P5DP2和相似.故选B.
二、填空题
11．不一定
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
【解析】解：∵△ABC的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴△ABC与不一定相似，
故答案为：不一定．
12．DE
【分析】结合相似三角形的性质即可求解
【解析】解：
（相似三角形对应边成比例）
故答案是：DE
13．②⑤
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案．
【解析】解：①∵，
∴，故此选项错误；
②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确；
③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误；
④，又∵，
∴，故此选项错误；
⑤可以变形为：，
又∵，
∴，故此选项正确；
故正确的有2个．
故答案为：②⑤．
14．CF∥DA（答案不唯一）
【分析】在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可．
【解析】解：添加条件：CFDA．
理由如下：∵CFDA，
∴∠A=∠CFE．
∵DEBC，
∴∠DEA=∠B，
∴△FCB∽△ADE．
故答案为∶CFDA（答案不唯一）．
15．①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可．
【解析】解：∵,
∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故①满足题意；
∵,
∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故②满足题意；
∵
∴
∴根据 “两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故③满足题意；
∵，而与不一定相等，故④不满足题意，
∴综上可得：①②③符合题意．
故答案为①②③．
16．2或4
【分析】根据，中，所以在中，分与和是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
【解析】解：，
，
又与以、、为顶点的三角形相似，
分两种情况：
①与是对应边时，，
，
即，
解得：；
②与是对应边时，，
，
即，
解得：．
综上所述：当为4或2时，与相似．
故答案是：4或2．
17．2或
【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【解析】解：根据与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①时，
，
又∵，
∴
解得；
②时，
，
，
而，即
解得．
故的长度是2或
故答案为：2或
18．或或
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解．
【解析】解：①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°．
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故∽；
②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故∽；
③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽；
故答案为：或或．
三、解答题
19．证明：设，
在正方形ABCD中，
，
，，
，
∽．
20．证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
22．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴BD CD＝AB CE，
即BD CD＝AC CE；
23．（1）解：∵正方形，
∴,
∵，
∴，
∵点F在上，
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解：与相似，理由如下：
设，
∵E为边的中点，，
∴，
∴，,,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∴．
24．（1）证明：由旋转可知：，
．
平分，
，
，
，
；
（2）证明：，，
．
．
25．（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）
证明：∵，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴．