第26章：二次函数章节复习题（含解析）沪教版九年级数学上册

《二次函数》章节复习题
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y=2x2+1 B．
C． D．
3．如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位
4．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是
5．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ．
8．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ．
9．二次函数图像的最高点的横坐标是 .
10．已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ．
11．已知抛物线的最高点为，则 ．
12．写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ．
13．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”）
14．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ．
15．如果点和点都在抛物线的图像上，那么 ．
16．如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ．
17．为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是： ；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是： ．
18．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ．
三、解答题
19．画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式．
x … 0 2 4 5 …
y … 　　　　　 4 　　　 …
20．已知抛物线经过、、三点．
(1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标；
(2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离．
21．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表：
… 0 1 5 …
… 7 0 7 …
(1)求此二次函数的解析式；
(2)写出抛物线顶点坐标和对称轴．
22．已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线表达式并写出顶点坐标；
(2)联结AB，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标．
23．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值.
24．已知抛物线过交y轴于点C．
(1)求抛物线解析式及其顶点坐标；
(2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比；
(3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解析】A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意；
C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【解析】解：A．y=2x2+1，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
B．，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意；
C．，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
D．，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标判断出平移方式即可．
【解析】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为，
∴将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线，
故选A．
4．C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系；
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解析】，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴时，随增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的，
把代入得
∴抛物线经过，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．
【解析】解：二次函数，
，
函数图象开口向下，对称轴为，
时，函数值随自变量的增大而减小，
故选：A．
6．C
【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④．
【解析】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，
∴，，故①③正确；
∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，
∴，故②正确；
观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确，
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可．
【解析】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可．
【解析】解：把，代入，得：，
∴，
把，代入，得：；
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【解析】解：，
二次函数图像的最高点的横坐标是，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
利用二次函数的性质：0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∴．
∴的取值范围是：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，把代入即可求出的值，掌握函数图象上点的性质是解题的关键．
【解析】解：把代入得，,
∴，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点抛物线的表达式即可，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
【解析】依题意得，开口向下，经过点，
∴抛物线的表达式可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
13．
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．
【解析】解：∵抛物线经过点和，
∴对称轴为，
∵开口向上，
∴对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当时，，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定a的取值范围即可．掌握二次函数的性质是解题的关键．
【解析】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
∵二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】根据抛物线的对称性求解即可．
【解析】∵抛物线,
∴对称轴为，
∵点和点都在抛物线的图像上，纵坐标相同，
∴，
∴，
故答案为．
16．
【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，对称轴为直线，设，
∵，则，
即，
解得：，
∴,
故答案为：．
17． 顶点关于原点对称 顶点的横纵坐标都互为相反数
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意画出相应的图象，得出顶点关于原点对称；分别求得抛物线和的顶点坐标，据此即可求解．
【解析】解：取时，则抛物线与；
取，时，则抛物线与；
观察图象，发现与的位置特征是：抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点关于原点对称；
抛物线的顶点坐标为，
的顶点坐标为，即，
∴顶点关于原点对称，理由是：顶点的横纵坐标都互为相反数．
故答案为：顶点关于原点对称；顶点的横纵坐标都互为相反数．
18．或或
【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【解析】由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
三、解答题
19．解：由表格中的对应值可知：当时，，当时，，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为：，
∴当时，，当时，，
填表如下：
x … 0 2 4 5 …
y … 0 4 0 …
20．（1）解：∵抛物线经过、，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：∵，
∴新抛物线顶点的坐标为，
∵抛物线的顶点的坐标为，
∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线．
21．（1）解：将，，代入
得，
解得
∴；
（2）∵
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线．
22．（1）解：抛物线经过点，，
，
，
抛物线表达式为；
，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
与该抛物线的对称轴交于点，抛物线的对称轴为直线，
当时，．
．
23．（1）解：将点和代入得：
解得
∴抛物线的表达式是：.
（2）解：由（1）配方得：
根据题意可设平移后的抛物线表达式为
∵经过点；
∴
解得：，
∵
∴.
24．（1）解：将代入抛物线，
则，
解得：，
抛物线解析式为，
，
顶点坐标为
（2）解：∵四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，
四边形可能是矩形或者菱形，
如图，当四边形是矩形时，，
，
，
四边形是正方形，
点纵坐标为6，
当时，代入，
解得：，
根据题意得： ，
，
正方形形周长为：，面积为，
其周长与面积之比为：；
当四边形是菱形时；同理可证四边形是正方形；
正方形形周长为：，面积为，
其周长与面积之比为：；
综上，四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形时，其周长与面积之比为：；
（3）解：设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H；
则，
∵ AGK∽ BHK，
∴ = ，
，
∴ = = ，
∵= =，
，
，
∴AK+BK=BK=8 ，
，
∵OK=OB-BK=6-3=3，
，
点C与点P关于x轴对称，，
，
设直线的解析式为：，
将，代入，得，
解得：，
直线的解析式为：，
联立直线与抛物线得，即，
∴x2-24=0，
解得（负值舍去），
则，
25．（1）解：把，代入得：
解得：
抛物线的函数表达式为；
（2）如图：

在中，令，得，
，
，，
，，，
设直线函数表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线函数表达式为，
设，
点在直线上，令，则，
得，
则，
，
轴，
，
，
，
，即，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
；
（3）直线函数表达式为，
将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，
新抛物线函数表达式为
新抛物线和原抛物线交于点
解得（舍去）或，
新抛物线解析式为
新抛物线对称轴是直线
点M是新抛物线对称轴上的一点，
设
在中，令，得
，
，，
①若为腰，则
解得
②若为腰，则
解得或
或
综上所述，点的坐标为或或．