九年级数学上册试题 26.3二次函数 y = ax2+bx+c 的图像--沪教版（含解析）

26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像
一、单选题
1．把二次函数用配方法化成的形式（ ）
A． B．C． D．
2．二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
3．若A（，），B（，），C（，）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而增大 B．当时，y有最大值-3
C．图象的对称轴是直线 D．图象与x轴有两个交点
5．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A. B．
C． D．
7．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … …
关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的
8．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③对任意实数都有；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知抛物线：的顶点为，抛物线：的顶点为．命题1：如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上；命题2：如果点不在抛物线上，那么点也不在抛物线上．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题1是真命题，命题2也是真命题 B．命题1是真命题，命题2是假命题
C．命题1是假命题，命题2是真命题 D．命题1是假命题，命题2也是假命题
二、填空题
11．二次函数的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ．
12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝ ．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ．
13．已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是 （用“<”连接）．
14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为 .
15．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为 ．
16．函数y=x2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是 , 最大值是 .
17．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ．
18．如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：
①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
三、解答题
19．先确定下列拋物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
20．已知二次函数的图像经过、，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点和点在函数图像上，那么当时，请直接写出与的大小关系：_____．
21．已知一个二次函数的图像经过三点
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）求tan∠BAC的值.
22．已知二次函数，其图象与y轴交于点B， 与轴交于A，C两点 (点A在点C的左侧)．
(1)求三点的坐标；
(2)当X取何值时，随着X的增大而减小
23．已知抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由．
24．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点，连接，．
（1）求的值；
（2）抛物线上有一点，满足，求点的坐标．
25．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
(1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据配方法的步骤换成顶点式即可．
【解析】．
故选C．
2．B
【分析】把二次函数化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数的图象平移而得到．
【解析】解：根据题意y＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2 1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
故选：B．
3．B
【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．
【解析】解：∵，
∴对称轴是直线x＝﹣2，开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
比较可知，B（，）离对称轴最近，C（，）离对称轴最远，
即．
故选：B．
4．B
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解析】解：，
，开口向下，顶点，
当时，有最大值，
图象与轴没交点，
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大．
故选：B．
5．D
【分析】分别求出由抛物线与抛物线的对称轴，根据关于直线对称列出关于m的方程求出m，再找到抛物线与y轴的交点，由点关于直线对称的点，把代入抛物线，故可求出n的值．
【解析】由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线，
∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，
∴，解得.
∵点关于直线对称的点，在抛物线：上，
∴把点代入得，
解得，
故选D．
6．A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【解析】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可．
【解析】解：∵点，在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线．
设抛物线的解析式为，将，分别代入，
，
可解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的．
将代入，得．
故选C．
8．D
【分析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大即可得出结论．
【解析】解：∵抛物线与x轴的交点为和
∴抛物线的对称轴为：，
∵点，在抛物线上，且，
∴点比点到直线的距离要大，
∴．
故选：D．
9．D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为＞0，
而a＜0，所以b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，故abc＜0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，所以当x=-1时y<0，即a-b+c<0，故②正确；
由图象可知：对称轴=1，对任意实数都有，即，故③正确；
④由图象可知：对称轴=1，即b=-2a，a-b+c<0，所以，即，故④正确．
综上可得：②③④正确．
故选：D．
10．A
【分析】根据题意可知抛物线M、抛物线N开口方向相反，对称轴互为相反数，据此判断即可；根据二次函数的性质的抛物线M、抛物线N的关系是解题的关键．
【解析】解：∵抛物线：的顶点为，抛物线：的顶点为．
∴抛物线M、抛物线N开口方向相反，对称轴互为相反数；
∴如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上；原说法是真命题；
如果点不在抛物线上，那么点也不在抛物线上；即原说法是真命题．
故选A
二、填空题
11． 向上 直线x=-1 （-1，-1）
【分析】把题目中给的二次函数的一般式化为顶点式，然后根据顶点式性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解析】解：，
∵，∴开口向上，
对称轴：直线，
顶点坐标：．
故答案是：向上；直线；．
12． 3或1 2
【分析】（1）先求出平移后的解析式，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；
（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．
【解析】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，
∴，
∵平移后的二次函数图象经过点，
∴，
解得，
故答案为3或1；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
故答案为2．
13．y3【解析】二次函数y==x2-7x+，其对称轴为直线x=-=-7，
∵a=＜0，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小，
又∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，
∴y3故答案为y314．或
【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解．
【解析】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上，
∴当时，x的取值范围为或，
故答案为：或．
15．（3，4）
【分析】y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）．
【解析】解：∵抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m，
∴y=m（x2-2x-3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2-2x-3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=-1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4），
故答案为：（3，4）．
16． -1 24
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=2，再根据二次函数的增减性即可得出答案.
【解析】根据题意得：抛物线的对称轴为x==2,
∵a=1＞0，抛物线开口向上；
∴当－3≤x≤2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y有最小值y=4－8+3=﹣1；
当x=﹣3时，y有最大值y=9+12+3=24.
故答案为﹣1；24.
17．
【分析】连接BC交OA于D，根据菱形的性质得，得到，，设，则，得到，把代入算出（舍去），，则，，得到，，根据菱形的面积公式即可得出答案．
【解析】连接BC交OA于D，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，，BC平分，
∵
∴
∴
∴
设，则
∴
把代入得：
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
18．①②③
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【解析】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③正确；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
19．解：（1）∵抛物线解析式为
∴a＝－3，b＝12，c＝－3，
∴－＝－＝2，＝＝9，
∴抛物线y＝－3x2＋12x－3的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，9），
函数图像如下所示：
（2）∵抛物线解析式为：，
∴a＝4，b＝－24，c＝26，
∴－＝－＝3，＝＝－10，
∴抛物线y＝4x2－24x＋26的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标是（3，－10），
函数图像如下所示：
（3）∵抛物线解析式为：，
∴a＝2，b＝8，c＝－6，
∴－＝－＝－2，＝＝－14，
∴抛物线y＝2x2＋8x－6的开口向上，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－14），函数图像如下所示：
（4）∵抛物线解析式为：，
∴a＝，b＝－2，c＝－1，
∴－＝－＝2，＝＝－3，
∴抛物线y＝x2－2x－1的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，－3），
函数图像如下所示：
20．（1）将、，代入中得：
，
解得：，
二次函数解析式为：；
（2）由题可知：，
二次函数开口向下，
对称轴为直线，
当时，图像y随x的增大而减小，
，
．
故答案为：．
21．解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2 4x＋3；
（2）如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∴点M的坐标为（1，3），
∴tan∠BAC＝．
22．（1）解：∵二次函数，
∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝1，
∴当点A在点C的左侧时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）；
（2）对于二次函数来说，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
23．（1）抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点，A在B的右侧，与y轴交于点C，
令，解得，
，
令，
即，
解得，
；
（2），理由如下，
如图，
，；，
，
，
，
又，
．
24．解：（1）抛物线过点，
，
；
（2）由得，，
，
，
，
当时，，无实数根；
当时，
，
或．
25．（1）解：函数的图像如下：
抛物线是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入得：，
解得；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得；
故答案为：4；
（3）解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得．