九年级数学上册试题 26.3二次函数 y = ax2+bx+c的的图像同步测试--沪教版（含解析）

26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像
一、单选题
1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（ ）
A．25件 B．20件 C．30件 D．40件
4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（ ）件．
降价（元）
日销量（件）
A．1200 B．750 C．1110 D．1140
7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是(　　　)
A． B． C． D．
8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　）
A．1 B．1.5
C．2 D．3
9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（ ）
A．点C的坐标是 B．
C．当的值取得最大时， D．是直角三角形
二、填空题
11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ．
12．如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 米．
13．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为 米
14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有 秒时间，完成规定的翻腾动作．
15．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移 cm．
16．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．

18．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．连接，则的最大面积为 ．
三、解答题
19．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少
(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大 最大高度是多少
20．某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下：
滑行时间x/s
滑行距离y/m
(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式；
(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？
21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
(1)求落水点C、D之间的距离；
(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
22．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)喷头离地面的高度是多少？
(2)水流喷出的最大高度是多少？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
23．如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果，求点Q的坐标．
24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
25．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．

(1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．

(1)求此二次函数的解析式和点的坐标；
(2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分；
(3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标．
28．如图1，二次函数的图象F交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，直线l：交图象F于M，N两点（点M在点N左侧）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)已知点，当，且时，求k的值；
(3)如图2，设图象F的顶点为P，线段的中点为S，连接，求证：不论k取何值，的值不变．
答案
一、单选题
1．A
【分析】原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得．
【解析】解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，
则函数解析式是：y=100（1-x）2．
故选A．
2．C
【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．
【解析】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：
现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，
则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），
故选：C．
3．A
【分析】将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．
【解析】解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，
∴当x=25时，y取得最大值，最大值为125，
即销售单价为25元时，销售利润最大，
故选：A．
4．B
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【解析】解：当y＝0时，即＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
5．A
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【解析】解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
6．C
【分析】由题意根据表中的数据分析得，每降元，销售量增加件，就可求出降元时的销售量，以此进行分析即可．
【解析】解：由表中数据得，每降元，销售量增加件，
即每降元，销售量增加件，
降元时，销售量为（件）．
故答案为：．
7．A
【分析】设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图像经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．
【解析】∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为．由题意知图像过点，∴，解得，抛物线的解析式为．设球出手时，他跳离地面的高度为．
∵抛物线的解析式为，球出手时，球的高度为．
∴，∴．
故选：A．
8．D
【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．
【解析】如图建立坐标系：
抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4=3，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
则水池的最小半径是3米．
故选：D．
9．C
【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值．
【解析】解：把（160，60），（190，67.5）分别代入，
可得，
解得：，
则，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s，
故选：C．
10．C
【分析】令，，可判断选项A正确；求得点D的坐标是，可判断选项B正确；求得，，利用勾股定理的逆定理可判断选项D正确；由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
【解析】解：令，，
∴点C的坐标是，故选项A正确；
令，，则点D的坐标是，
∴，故选项B正确；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，，
∴，
∴ ABC是直角三角形，故选项D正确；
由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，
∴，
∴．
∵直线与y轴交于点D，则．
∴．
∴．
设所在直线的解析式为．
将，代入，得．
解得．
∴直线的解析式是．
设，则，其中．
∴．
∴．
∵，
∴当时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是．
代入，得，
解得，故选项C错误；
故选：C．
二、填空题
11．3.75
【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【解析】解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
12．10
【分析】成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．
【解析】解：当y=0时，，
解得：（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米；
故答案为：10．
13．0.64
【分析】根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．
【解析】
解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的解析式为，
由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，
代入，
有，，
点A的纵坐标即为OC的长，
∴0.36a＋0.28＝0.64a，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为，
，
故OC的长为：0.64m．
14．
【分析】根据题意，令，解一元二次方程求解即可．
【解析】依题意
整理得
即
解得（不符合题意，舍）
故答案为：
15．60
【分析】过点C作延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可．
【解析】解：过点C作延长线于点E，
cm
以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，
则
设此时抛物线解析式为：
代入点得，
， 整理得，
解得
设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为：
将代入解析式得，
即小刚应把升降器向上平移60cm
故答案为：60
16．
【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论．
【解析】解：设大孔抛物线的解析式为，
把点解析式，得
，解得，
因此大孔抛物线的解析式为；
由，可知点F的纵坐标为4，
代入解析式，
解得．
所以，
所以．
故答案为：．
17．
【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积．
【解析】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
，，；
容易求出所在直线的解析式为；
设，
，
；
；
；，；
；
故答案为．
18．
【分析】先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可．
【解析】解：，，
，
将，代入得，
，
解得，
，
当时，，即；
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为，
设，，
，
，
，开口向下，
当时，的最大值为，
故答案为：
三、解答题
19．（1）解：由题意得：，
解得：（不合题意舍去），，
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s．
（2）解：，
当时，取得最大值m；
答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m．
20．（1）解：根据表格可以得出函数图像过点，，
∴，
解得：，
∴函数关系式为：．
（2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离取得最大值，
∵函数关系式为，且，
当时，最大值，
∴飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是．
21．（1）解：当y＝0时，，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，
当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
22．（1）解：根据题意得，，当时，，
∴喷头离地面的高度是米．
（2）解：，
∴二次函数的顶点坐标是，
∴水流喷出的最大高度是米．
（3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，，
∵，
∴，即当米时，水流不落在池外．
23．（1）∵抛物线与x轴交于点、点，
∴可设抛物线的解析式为，
又∵抛物线与y轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即，
∴抛物线顶点D的坐标为．
（2）∵抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点在x轴上，抛物线向下平移了4个单位长度，
∴平移后抛物线的表达式为，，
∵，
∴点O在的垂直平分线上，
又∵轴，
∴点Q与点P关于x轴对称，
∴点Q的纵坐标为
将代入中，得，
解得，，
∴点Q的坐标为或．
24．（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
（2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
（3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直线OA的解析式为y＝x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
25．（1）解：由得到：，
令，则，
∴或，
则，，对称轴是．
令，则，
所以，
综上所述，，，，对称轴是；
（2）解：假设存在满足条件的点．
设．
又，
∴，，，
①当点是直角顶点时，则，即，
解得，
此时点的坐标是；
②当点为直角顶点时，CN2+NQ2=CQ2，即，
解得，
此时点的坐标是；
③当点为直角顶点时，CQ2+NQ2=CN2，即，
解得或，
此时点的坐标是或．
综上所述，满足条件的点的坐标为：或或或．
26．（1）解：令，则，
解得，，
，
令，则，
．
（2），
，
对称轴为．
当为边时，分两种情况：
当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点，
，，
，
，
．
设所在直线解析式为，
将，代入得，，
解得，
所在直线解析式为，
当时，．
．
当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点，
易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为．
当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上，
此种情况不存在．
综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
27．（1）∵点在图象的对称轴上，
∴．
∴．
∴二次函数的解析式为．
当x=1时，，
∴；
（2）∵，且DE垂直于y轴，
∴点E的纵坐标为1，平行于x轴．
∴．
令，则，
解得．
∵点E位于对称轴右侧，
∴．
∴．
令，则，
解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴平分．
（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，
且为直角三角形，
∴为直角三角形．
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，
∴．
∵，，
∵，
∴，
则，
∴G点坐标为．
∴，．
∴，
∴或 ，
设，
当点D在点G的上方时，则，
.；
如图，当 时，

则有， ，
解得， （负值舍去）
如图3当时，

则有，，
解得， （负值舍去）
当点D在点G的下方时，则，
，
如图，当时，

则有，
解得，（负值舍去）
如图，当时，

则有，，
解得，（负值舍去）
综上，E点的横坐标为或或或．
28．（1）令，则，
∴
∴
∵，
∴
∴，
把代入，得：，
解得，，
∴二次函数的解析式为：；
（2）连接设与交于点G，如图，

∵
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴即
把代入，得：，
解得，；
（3）设，
∵点M，N是直线 与抛物线的交点，
∴联立方程得，，
整理得，
∴
又
∴，
∴
∵
∴抛物线的顶点坐标为
又线段的中点为S，
∴，即，
∴，
∴，
故，不论k取何值，的值不变，都是．