九年级数学上册试题 第26章《二次函数》单元复习题--沪教版（含解析）

第26章《二次函数》单元复习题
一、单选题
1．下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．拋物线的对称轴是（ ）
A．X=2 B． C． D．
4．如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位
5．对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线
C．图象与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而增大
6．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ．
8．已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ．
9．二次函数图像的最高点的横坐标是 .
10．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ．
11．如果二次函数的图像上有两点那么和那么 ．（填“”、“”或“”）
12．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ．
13．二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ．
…
14．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ．
15．沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是 ．
16．二次函数的部分图像如图所示，要使函数值，则自变量的取值范围是 .
17．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数与的图象的形状相同，并且对称轴关于轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数与互为梦函数，写出二次函数的其中一个梦函数 ．
18．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

三、解答题
19．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．
21．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．

(1)求点的坐标与的值；
(2)求 AOB的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求此抛物线的表达式及点的坐标；
(2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式；
(3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；
(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案
一、单选题
1．C
【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【解析】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上．
B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上．
C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上．
D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【解析】解：（1）是二次函数，故符合题意；
（2），不是二次函数，故不符合题意；
（3）是二次函数，故符合题意；
（4）不是二次函数，故不符合题意；
（5）不是二次函数，故不符合题意；
（6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的图象的对称轴．
根据抛物线解析式得出，代入数值，即可求出对称轴．
【解析】解：根据题意可得抛物线中的，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线，
故选A．
4．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标判断出平移方式即可．
【解析】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为，
∴将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线，
故选A．
5．C
【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解：二次函数，
，则该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线，故选项B不符合题意；
∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意；
当时，，
∴图象与轴的交点坐标为，故选项C符合题意；
故选：A．
6．C
【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④．
【解析】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，
∴，，故①③正确；
∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，
∴，故②正确；
观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确，
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可．
【解析】解：把，代入，得：，
∴，
把，代入，得：；
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
利用二次函数的性质：0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∴．
∴的取值范围是：．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【解析】解：，
二次函数图像的最高点的横坐标是，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可．
【解析】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数值的比较方法．
【解析】解：二次函数的对称轴为直线，，
∴距离对称轴越远的点，函数值越小，
∵，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键．
根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可．
【解析】解：根据题意，得，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，根据表格中纵坐标相等的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图像的对称轴．
【解析】解：由表格中的数据可得，和关于对称轴对称，
∴该函数图像的对称轴是直线，即，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点，根据即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点．
【解析】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上，
∴抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，
∵抛物线的顶点在轴的负半轴上，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则，然后解不等式即可．
【解析】∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴，解得．
故答案为：．
16．
【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.
【解析】根据二次函数的图象可知：
对称轴为，已知一个点为，
根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称的另一个点为，
所以时，的取值范围是．
故答案为：．
17．（答案不唯一）
【分析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可知，与互为相反数，由此可解．
【解析】解：由题意知，若与互为梦函数，则，，
因此二次函数的其中一个梦函数是，
故答案为：（答案不唯一）．
18．或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【解析】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题
19．（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（2），不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（4）中不是整式，故不是二次函数．
20．（1）解：由题意得，，，．
，．
这个抛物线的表达式为．
（2）由（1）得，．
该抛物线的对称轴是直线．
点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为，
的横坐标是4．
当时，．
．
21．（1）解：，
此函数的顶点的横坐标，
把代入，可得，
二次函数顶点的坐标是，
把代入，可得
，
解得，
当时，，解得，
点坐标是；
（2）解：如图，
．

22．（1）解：把和代入
，解得
∴抛物线的表达式为
∴当时，
∴点的坐标是
（2）
设平移后的抛物线表达式为
把代入得
解得
∵，
∴
23．（1）解：将代入，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴平移后的函数解析式为；
（3）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，的长有最大值4．
24．（1）解：将，代入抛物线解析式，得：
，解得
∴抛物线的解析式为
当时，，
∴点A的坐标
（2）如图所示，点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q
∵，，
∴
∴
即 ABC为直角三角形，且
∵，
∴OA=OC
∴
当时，点P只能在点B的右侧，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
（3）如图所示，作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线
∵，点B’和点B关于AC的对称，
∴
设直线A B’的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线A B’的解析式为：
联立
解得：（舍去）
则
设直线BB’的解析式为：，代入，得：
，解得
∴直线BB’的解析式为：
由题意可知
∴设直线的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线的解析式为：．
25．（1）把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，

∵过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或；