九年级数学上册试题 第二十六章《二次函数》单元复习题--沪教版（含解析）

第二十六章《二次函数》单元复习题
一、单选题
1．已知抛物线y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图像的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如表：下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，函数最小值为
C．当时，
D．方程有两个不相等的实数根
3．设二次函数，（m，n是实数，）的最小值分别为p，q，则（ ）
A．若，则， B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．我们定义：如果点在某一个函数的图象上，那么我们称点P为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数对于任意的常数n，恒有两个“好点”，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线交轴于，交轴的负半轴于．顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤．其中正确的有（ ）个

A．5 B．4 C．3 D．2
6．已知二次函数，当时，此函数最大值与最小值的差（ ）
A．与的值都有关
B．与的值都无关
C．与的值都有关，与的值无关
D．与的值都有关，与的值无关
二、填空题
7．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ．
8．要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ．
9．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，点B在y轴上，当时，x的取值范围是 ．

10．将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ．
11．已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ．
12．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 m．
13．已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为
14．将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果 AOB是等边三角形，那么点B的坐标是 ．
15．在平面直角坐标系中，经过点的抛物线由抛物线平移后得到，抛物线的顶点为点，在轴上有一点，使得，则点的纵坐标为 ．
16．如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点点在第一象限抛物线的顶点在直线上，对称轴与轴相交于点平移抛物线，使其经过点，，则平移后的抛物线的解析式为 ．
17．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，．．．．，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为
18．如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ．
三、解答题
19．已知抛物线．
(1)用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标．
20．已知二次函数在时取到最小值为，且该函数图像顶点、图像与轴交点及原点构成的三角形面积为
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将抛物线沿轴平移，平移后顶点为，若与 AOB相似，求平移后的抛物线解析式．
21．已知：抛物线经过点、，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧．
若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
22．如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为．
(1)写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）；
(2)将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值；
(3)设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式．
23．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且．
(1)求平移后抛物线的表达式；
(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；
(3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果 ABC是等腰三角形，求点A的坐标．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．
(1)求抛物线M的函数表达式；
(2)如图2，抛物线M的顶点为D，连接，，，，求证：；
(3)记抛物线M位于x轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围．
25．已知抛物线交轴正半轴于、两点，交轴正半轴于，且．

(1)抛物线的解析式为______；
(2)如图，为抛物线的顶点，为对称轴左侧抛物线上一点，连交直线于，连接，是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)如图，将抛物线向上平移个单位，交于点、，若，求的值．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据a＜0，可以确定抛物线开口以及（a﹣2）的正负，进而得出正确答案．
【解析】解：∵a＜0，
∴a﹣2＜0，对称轴直线
∴抛物线开口向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，
故选：B．
2．D
【分析】由表格数据可知，函数值先由大变小，然后由小变大，可得，故A不正确；再由和的函数值相同，可得抛物线的对称轴为直线，故B不正确；再由抛物线的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对应点为，可得当时，，故C不正确；再由当时，函数的值最小，可得函数的最小值小于，从而得到抛物线与直线有两个交点，即可求解．
【解析】解：A、由表格数据可知，函数值先由大变小，然后由小变大，
抛物线开口向上，，故A不正确；
B、和的函数值相同，都是，
抛物线的对称轴为直线，
即当时，函数的值最小，故B不正确；
C、抛物线的对称轴为直线，
点关于对称轴的对应点为，
当时，，故C不正确；
D、当时，函数的值最小，且当时，，
∴函数的最小值小于，
抛物线与直线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故D正确．
故选：D．
3．D
【分析】根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，进而得出，，结合条件得出，列出方程求解即可．
【解析】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴为，
函数的对称轴为，
∵二次函数，（m，n是实数，）的最小值分别为p，q
∴两函数图象均开口向上，即，两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，
若，则有
解得：或（舍去），
将代入p，q得：，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查的是二次函数图象和性质，以及根于系数的关系，数量掌握根与系数关系是求解的关键． 由“好点”的坐标可得，可得，，整理得：，根据有两个“好点”可得方程有两个不相等的实数根，，根据对于任意常数，恒有两个“好点”，可得关于的一元二次方程无解，，即可求出的取值范围．
【解析】解：令，
有，整理得：
，
有两个“好点”可得方程有两个不相等的实数根
有，
即，
∵对于任意常数，恒有两个好点，
∴关于的一元二次方程无解，
∴
解得：，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及等腰直角三角形性质等知识，根据二次函数图象与性质逐个结论验证即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【解析】解：抛物线交轴于，
抛物线的对称轴为，则，
，故①正确；
当时，，
，
，
，则，故②错误；
抛物线的对称轴为，开口向上，
当时，抛物线由最小值为，
当时，，即，故③正确；
抛物线交轴于，
，
当是等腰直角三角形时，，
设抛物线，
，解得，故④正确；
抛物线交轴于，
当时，抛物线图象在轴下方，则当时，，故⑤正确；
综上所述，正确的结论是①③④⑤，共4个，
故选：B．
6．C
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可得函数最小值及对称轴，由与及的关系可得函数最大值与最小值与及的值有关，进而求解．
【解析】解：，
抛物线开口上，对称轴为直线，函数最小值为，
将代入得，
将代入得，
当时，时取最大值，时取最小值，
当时，时取最大值，时取最小值，
都含有项，
函数取最大值与最小值与的值有关，与的值无关
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解析】解：抛物线的开口向下，
，
直线不经过第四象限，
，
，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【解析】解：，
把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为，
∴，，，
∴，
故答案为：．
9．
【分析】求得A，B两点的横坐标，再根据图象得出取值范围即可．
【解析】解：因为直线与抛物线分别交于A，B两点，
令，则，
∴B点坐标为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
解方程，
得，，
∴A，B两点的横坐标分别为，0，
∴当时，，
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案．
【解析】解：对于，当时，，当时，，
即：直线经过，，
则，
由此可知抛物线沿直线方向平移个单位，
相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
此时平移后的解析式为；
或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位，
此时平移后的解析式为；
综上：或．
11．或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可．
【解析】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上，
如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，
当对称轴在点A左侧时，，
把代入得，
解得或 (舍去)，
时，抛物线与线段没有交点，
当对称轴在点A右侧时，，
设线段所在直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
线段所在直线的解析式为，
联立，得：，
抛物线与线段没有交点，
，
，
综上，当或，抛物线与线段没有交点，
故答案为：或．
12．1
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为，将代入解析式得出①；喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为；将代入解析式得②，联立①②可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距O点，则此时的解析式为，将代入求解，即可解题．
【解析】解：由题知，喷头高时，水柱落点距O点；
设抛物线形水柱解析式为，
则①，
喷头高时，水柱落点距O点．且抛物线形水柱竖直上下平移，
这时抛物线形水柱解析式为，
则②，
联立①②解得，，
设喷头高应调整为米，
调整后抛物线形水柱解析式为，
要使水柱落点距O点，
过点，
即，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【解析】解：∵
，
∴对称轴为，
∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上，
∴，顶点坐标为，最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设点坐标为，根据等边三角形的性质得到，解出的值即可得到答案．
【解析】解：点A在抛物线上，
设点坐标为，
∵ AOB是等边三角形，
，，
或（舍），
．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了二次函数的性质．利用平移的性质求得抛物线的解析式和直线的解析式，根据，则点在平行于直线的直线上，据此求解即可．
【解析】解：由题意设抛物线的解析式为，
则，解得，
∴，即，
∴点．
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与轴交点坐标为，
设过点平行于直线的直线方程为，
则，解得，
过点平行于直线的直线方程为，与轴交点坐标为，
∴的纵坐标为时能使得，
在直线上方满足条件的还有一点，
此时，解得，
∴．
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据二次函数图像的对称性确定出顶点的纵坐标是解题的关键，解题的关键是根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数；
先求出点的坐标，再根据中位线定理可得顶点的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出的值，再求出点的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为，把点、的坐标代入进行计算即可得解．
【解析】解：令，则，
点，，
抛物线的对称轴为，直线的解析式为，
抛物线的顶点在直线上，
，
顶点的纵坐标为，
即，
解得，，
由图可知，，
，
，
对称轴为直线，
点的坐标为，
设平移后的抛物线的解析式为，
则，
解得：，
所以．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程等知识点，把代入二次函数得出，根据二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，得出，即有且只有一个根，推出，求出，，从而得出，最后由二次函数的性质即可得出答案．
【解析】解：∵点是二次函数的“相反点”，
∴，
∴，
∵二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，
∴，即有且只有一个根，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为，
当时，，
解得：，，
∴当时，函数的最小值为，最大值为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式等知识；设直线交y轴于点M，过F作轴于N；由可求得与x轴的两个交点坐标，由为等腰直角三角形，则可得点M的坐标，从而求出直线解析式，联立直线解析式与解析式可求得点F的坐标，则可求得点E的坐标，由二次函数图像的平移则可求得的解析式．
【解析】解：如图，设直线交y轴于点M，过F作轴于N；
令，解得：，
即，
∴；
∵为等腰直角三角形，轴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，把A、M的坐标分别代入得：，
解得：，
∴直线解析式为；
联立直线解析式与解析式得，
解得：（舍去），
当时，，
∴点F的坐标为，
∴，，
∴点E的坐标为；
∵抛物线由抛物线向右平移后得到，抛物线顶点的纵坐标不变，
∴，
把点E坐标代入得：，
解得：，，
即或；
当时，，，
即点F不在图像上，不符合题意，
∴，
即．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：
，
∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为；
（2）设平移后的抛物线解析式为，
∵新的抛物线经过点，
∴，
解得，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标是．
20．（1）解：由题意得点坐标为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可知，抛物线与轴交点在正半轴上，
∴点坐标为，
设二次函数的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴此二次函数的解析式为：；
（2）解：∵与相似，
∴，
∴，
∴，
∴点横坐标为或，
即点坐标为或，
∴平移后的抛物线解析式为：或．
21．（1）由题意得：，
∴，抛物线的解析式为，
，顶点P的坐标是．
（2）①设直线的解析式是，
∴，
∴，
∴直线的解析式是，
设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，
∵点B平移后得到的点C在x轴上，
∴抛物线向上平移了3个单位，
∴，即，
∴此时抛物线的解析式是，即．
②抛物线，与y轴的交点是D（0，），
如果，即轴不合题意，
如果，
∵，，
∴，
∴，
∴，
作轴，则，
∴，
∵， ，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，
此时抛物线的解析式是，即．
22．（1）解：∵抛物线与轴交于点
∴
∴
∵抛物线与轴正半轴交于点，
∴
∴
∴抛物线开口向下，
∴抛物线解析式为
∴
（2）解：如图所示，过点作于点，
设向下平移个单位，平移后的抛物线为
∵，锐角的正切值为，
∴，则，
∴①
将点代入
②
联立①②得
（3）解：如图所示
∵
当时，
∴
∵，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为，
当时，
∴
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴
∴，
勾股定理可得，
∵，
∴
∴
∴
解得：（正值舍去）
∴抛物线解析式为．
23．（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：，
则点M的坐标为：，
当时，，即点，
则，
解得：（舍去）或，
则平移后的抛物线表达式为：；
（2）解：四边形是正方形，
根据题意可得，，，，
记与交于点G，则，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（3）解：设，，，
可得，，，
①，，即，
解得，（舍去0），
；
②，，
解得，，
或；
③，，
解得，
；
综上，点A的坐标是、、、．
24．（1）解：把、分别代入，
得：，
解得：，
抛物线M的函数表达式为；
（2）证明，
点，
令，
解得：，，
点B的坐标为，
、，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
（3）解：设直线的解析式为，
把点、分别代入中，得：，
解得：，
直线的解析式为，
将向下平移个单位，
则平移后的的解析式为，
如图，
，
当与没有交点时，
没有实数根，
即没有实数根，
，
解得：，
当与线段只有两个交点时，如图，
即方程有两个负实数根，
，
解得：，
h的取值范围为．
25．（1）∵，
∴，，
代入：得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在，理由如下：
∵，，
∴直线的解析式为，
设，由题意知，，
由得，
解得或，
当时，G点坐标为，
∴直线的解析式为，
由，
解得或，
∵点P在对称轴的左侧，
∴点P的坐标为．
当时，，
∴直线的解析式为，
联立得，无解，故舍去，
综上所述，点的坐标为；
（3）解：根据，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为
设，，
则
设平移之后的抛物线解析式为
由消去解得
∴
∴，
∴关于对称，
∴，

过点作于点，
∵，
∴
设，则，则
∵
∴
∴①
∴
∴
∵，
∴
将①代入得，，
解得：，
即，