黑龙江省某校2025届高三上学期期末数学试卷（含答案）

黑龙江省某校2025届高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
2.若且同时成立，则是( )
A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角
3.若向量，满足，，，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.下列不等关系中的充分条件是( )
A. B. ；
C. ； D. ；
5.在正方体中，点和点分别在和上，且，则( )
A. 与异面 B. 与和都垂直
C. 与相交 D. 至多与和两者之一垂直
6.已知正项等差数列满足，则( )
A. B. C. D.
7.函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房如图，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有( )
A. 点在圆外 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的虚部为
C. 若，则 D. 若，则
11.已知抛物线的焦点为，上不同两点，，以，为切点的切线，相交于点，、、三点共线下列说法正确的有( )
A. 最小值为 B. 的最小值为
C. 使得的直线有两条 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
13.已知正方体的棱长为，为底面内包括边界的动点，若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
14.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，，，
求；
若为的中点，求．
16.本小题分
已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．
求点的轨迹方程，并指出的形状．
若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上
17.本小题分
函数，
讨论函数的单调性；
若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图，三棱锥中，平面，平面平面，，，．
求三棱锥的体积；
在线段上试确定一点，使得平面，经过三棱锥内切球的球心，并求的值．
19.本小题分
对于一个有穷整数列，，，，对正整数，若对于任意的，有穷数列中总存在，，，，自然数使得，则称该数列为到连续可表数列即到中的每个数可由中的一个或连续若干项表示，而不可由中连续若干项表示例如数列，，则，，，，而，，，所以数列，，是到连续可表数列．
数列，，，，是否为到连续可表数列？若数列，，是一个到连续可表数列，求的值．
若有穷数列，，，其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列等比数列本身也可看作准等比数列，调整后的公比称为该数列公比若准等比整数列，，，为到连续可表数列，且公比为整数，求数列的公比的值．
对正整数，，存在唯一的数列，，使得，，且满足，，，，数列，，，称为正整数的进制残片记事件“随机挑选区间内的整数为大于等于的正整数，该数的进制残片调整顺序后能成为到连续可表数列”的概率为，求的表达式．
参考答案
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，，
由正弦定理得：，，
又因为为锐角，．
在中由余弦定理得：
，或
若，则，则为钝角，舍去
，因为为中点，
在中，

在中，

16.
设点的坐标为，
因为，所以直线的斜率为，
因为，所以斜率为，
由已知得，整理得，
故形状为焦点在轴上，长轴长为，焦距为，除去，的椭圆．
联立，消去整理得：，
如图，设，，，，
而，
直线，直线，
联立两直线得到，
整理得，
故直线与直线的交点在定直线上

17.
，
所以， ，
当时或；，
所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时或；，
所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时恒成立，所以此时在上单调递增，
当时；，
所以此时在上单调递减，在上单调递增．
由对，恒成立，不妨设，则整理得：
，
设，
有，所以单调递增，即恒成立，
即，其中，
所以，又，当且仅当时等号成立，
同时时，不是常函数，所以．

18.
平面，平面，
，，
在内过作，则异于，两点，
平面平面，且交线为，平面，
则平面，又平面，
，又，平面，
平面，设三棱锥的体积为，
故
由平面，平面，则．
又平面，过点作平面的垂线，则．
如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
内切球与平面且与平面相切，设内切球半径为，
可设内切球球心为，又．
由，
所以有
解得，则，
设平面的法向量为，，
故，令，解得，
则为平面的一个法向量，
由内切球球心性质得球心到平面的距离等于半径，
由，
则，解得，或，
又，不合题意，故舍去，
所以，即球心．
设平面的一个法向量为，
又，，
故，令，解得，
则为平面的一个法向量．
若在线段上，则可设，，
若平面经过三棱锥内切球的球心，即四点共面，
则，故，解得，即，
故当点位于线段靠近点的三等分点处，
平面经过三棱锥内切球的球心，且．

19.
依题意设数列的通项为，
则，，，
，，
由于数列只有项，不可能表示大于等于的正整数，
故数列为一个到连续可表数列，
对于数列，设其通项为，直接计算可知，
该数列的，，，，，
而无法用连续的项表示出来，故该数列为到连续可表数列，得到．
当准等比数列公比为，，，时，
可以对应构造数列，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中由可知，，为到连续可表数列，
对于最后一个数列，有，，
，，，
而不能连续若干项表示，故这数列也为到连续可表数列，
现在，假设，满足，
数列，，，为一个公比为的到连续可表准等比数列，
则可以设，
其中，，为，，的一个排列，
则该数列的连续表出具有的形式，
其绝对值不小于，由于可以被表出，有，故或，
如果不参与表出到，则不包含，
故可提出，即，
由于，必是非零整数，
而，
无法表示这个数字，故的表出有的参与，
如果参与表出和，有两种可能，
一是当独立表出，二是与其他若干项一起表出，
若当和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于的数而为或，
所以与其他若干项一起表出其绝对值不小于故只得由独立表出，
所以，现在，的表出是和一个绝对值不小于的值之和，
故不大于，不小于，矛盾所以不可能成立，
综上的可能取值为
我们在中的论证可以推出更一般的结论：至连续可表的数列，
如果满足，，，的形式，
则其中一项必定为或，且，
从而当时，任一个进制残片都不可能排列成一个至连续可表数列．
故，，当时，残片的各项可能取值为，
即，，，，，由于残片各项一定非负，
则，，，，的表出一定没有，，等值参与，
注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值，
而对这个数字的表出没有贡献，
故残片能够排列成到连续可表数列当且仅当残片中含有，，三项
即所挑选的数字应当满足，
故，，从而，
其中表示不超过的最大整数，
综上，．

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