甘肃省兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末学业水平质量测试数学试卷
1．（2025高一上·兰州新期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·兰州新期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·兰州新期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
4．（2025高一上·兰州新期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·兰州新期末）已知是函数的一个零点，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2025高一上·兰州新期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·兰州新期末）已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·兰州新期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·兰州新期末）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·兰州新期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．点是函数图象的对称中心
D．函数在上单调递减
11．（2025高一上·兰州新期末）已知函数，若在区间内恰好有198个零点，则的取值可以为（ ）
A．132 B．133 C．198 D．199
12．（2025高一上·兰州新期末）命题“，”的否定是 .
13．（2025高一上·兰州新期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 .
14．（2025高一上·兰州新期末）已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 .
15．（2025高一上·兰州新期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．（2025高一上·兰州新期末）已知二次函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
17．（2025高一上·兰州新期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要.
（1）已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
（2）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
18．（2025高一上·兰州新期末）已知函数对于任意的，都有，当时，，且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.
19．（2025高一上·兰州新期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.
（1）若函数是型函数，求的值；
（2）若函数是型函数，求和的值；
（3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在上恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而计算可得集合.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据对数的真数大于，分母不为和偶次方根的被开方数非负，从而得到不等式组，再解不等式组得出函数的定义域.
3．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
4．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，，
又因为，则，
所以，则.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式可得的值，再结合和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为是函数的一个零点，，，
则，.
故答案为：B.
【分析】首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性和零点存在性定理，从而找出正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
，
又因为单调递增，所以，
又因为单调递减，所以，
所以，综上所述：.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，则判断出与的大小关系，再结合幂函数的单调性，即可判断出的关系.
7．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为的定义域是函数与定义域的交集为：，故排除选项C；
由图可知函数与轴有两个交点，
设右侧交点为，函数图象与轴交点为，
则时，且，所以，故排除选项B；
当时，且，所以，故排除选项A.
故答案为：D.
【分析】利用函数的定义域排除选项C；利用的函数值符号，则排除选项B；利用时的函数值趋势，则排除选项A，进而找出函数可能的图象.
8．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，令，即，解得或，
方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，
结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是，
不妨设，结合图象知：且，，
由，即，所以，
又因为，，
故的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，再结合图象知：且，，由结合对勾函数的性质，从而求出的取值范围，进而得出的取值范围.
9．【答案】A,C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，又因为，
则，即，故A正确；
对于B，因为，又因为，，，
则，即，故B不正确；
对于C，因为，
又因为，，，，
则，即，故C正确；
对于D，取，满足，
此时，，，则，故D不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的基本性质结合作差法，从而逐项判断找出不等关系正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意可知，，
又因为，则，，
故，即，
又因为，所以，
所以，故选项A正确，选项B错误；
因为，
所以是图象的对称中心，故选项C正确；
当时，，函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由正弦型函数的部分图象求出函数解析式，则判断出选项A；利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性在，则判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，则判断出正弦型函数在上的单调性，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的周期性；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：令，则，，
由，则，
显然，即方程有两个不等的实数根，，
当时，，，此时在上恰有3个实根，
又因为，因此，则；
令，
当时，，，，
当时，则，，此时在上恰有2个实根，
又因为，则或，
因此或，所以n的取值可以为或或.
故答案为：ACD.
【分析】令，按分类讨论出一元二次方程的根的情况，再结合正弦函数的性质，从而求出n可以的取值.
12．【答案】
【知识点】命题的否定
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，所以，
当且仅当，即，时取等号，
又因为恒成立，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用乘“1”法和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
14．【答案】；
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，均在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，，，且，所以，
由可得，即，
所以即为两函数，图象的交点的横坐标，
令可得，
所以即为两函数，图象的交点的横坐标，
因为函数与的图象关于对称，且互相垂直，
由，解得，即、的中点为，
所以.
故答案为：；.
【分析】利用函数的单调性和零点存在性定理，从而可得的值；由已知条件可得为两函数图象的交点的横坐标，为两函数图象的交点的横坐标，根据函数与的图象关于对称，从而求出交点的横坐标，再根据函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，进而得出的值.
15．【答案】（1）解：因为角的终边经过点，
所以，
所以.
（2）解：因为角的终边经过点，
所以，，
所以.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，再将弦化切，代入计算可得的值.
（2）利用三角函数的定义求出，的值，再代入计算可得的值.
（1）因为角的终边经过点，
所以，
所以；
（2）因为角的终边经过点，所以，，
所以.
16．【答案】（1）解：当时，
不等式，即，
即，解得或，
所以不等式的解集为.
（2）解：因为在区间上单调递增，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）依题意可得，将左边因式分解，从而解出不等式的解集.
（2）分和两种情况讨论，再结合二次函数的单调性得到不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（1）当时，
不等式，即，即，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）因为在区间上单调递增，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：由题意可知：摩天轮最高点距离地面，
最低点距离地面，
所以，所以，
又因为转一周大约需要，所以，
所以，
又因为，
所以且，所以，
所以.
（2）解：因为，
令，则，
又因为，则，所以，
所以，且，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出的值，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出的值，由此可求出摩天轮转动一周的解析式.
（2）利用诱导公式化简，根据求解出的取值范围，由此得出摩天轮在运行一周的过程中游客能有最佳视觉效果的时间.
（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，
所以，所以，
又因为转一周大约需要，所以，
所以，
又因为，
所以且，所以，
所以；
（2）因为，
令，则，
又因为，则，所以，
所以，且，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果.
18．【答案】（1）解：因为任意的都有，
所以，即，
令，得，即，
所以为奇函数.
（2）解：设，则，
，即，
当时，，所以，即，
所以为减函数，
所以当时，函数为减函数，
所以的最大值为，最小值为，
因为，，
所以，，，
，
故.
（3）解：因为为奇函数，
∴
=
=
，
令，即，
因为函数在R上是减函数，
所以，
设，方程有4个不同的解，
则有两个不同的正根，
则，
所以，当 时，函数有4个不同的解.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）对赋值，再利用奇偶性的定义判断出并证明函数的奇偶性.
（2）设，则，当时，，从而可得，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而得出当时的函数的最大值和最小值.
（3）利用已知条件结合函数单调性、奇偶性，从而将原方程转化为有4个不同的解，设，则有两个不同的正根，再列不等式组求解得出实数的取值范围.
（1）因为任意的都有，
所以，即；
令，得，即，
所以为奇函数.
（2）设，则，
，
即，
又当时，，所以，即，
所以为减函数.
所以当时，函数为减函数，
所以的最大值为，最小值为；
因为，，所以；
，，
，
故.
（3）因为为奇函数.
∴
=
=
，
令，即，
因为函数在R上是减函数，
所以，
设，方程有4个不同的解，
则有两个不同的正根，
所以当 时，函数有4个不同的解.
19．【答案】（1）解：由是型函数，
得，即，
所以.
（2）解：由是型函数，
得，
则，
因此对定义域内任意恒成立，
则，解得，
所以.
（3）解：由是型函数，得，
①当时，，
又因为，则，满足；
②当时，恒成立，
令，因为，则，
所以在恒成立，则恒成立，
又因为函数在上单调递增，
则，当且仅当时取等号，因此；
③当时，，
则，
由，得，
令，则，
所以在上恒成立，
由②知，当时，，
则只需时，恒成立，即恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
因此，所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据型函数的定义结合指数的运算法则，从而计算得出实数a的值.
（2）利用型函数的定义，从而建立恒成立的等式，再借助恒等式求解得出和的值.
（3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立，从而求解得出实数的取值范围.
（1）由是型函数，得，即，
所以.
（2）由是型函数，得，
则，因此对定义域内任意恒成立，
于是，解得，
所以.
（3）由是型函数，得，
①当时，，而，则，满足；
②当时，恒成立，
令，因为，则，所以在恒成立，于是恒成立，
而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，因此；
③当时，，
则，
由，得，
令，则，所以在上恒成立，
由②知，当时，，
则只需时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
1 / 1甘肃省兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末学业水平质量测试数学试卷
1．（2025高一上·兰州新期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而计算可得集合.
2．（2025高一上·兰州新期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据对数的真数大于，分母不为和偶次方根的被开方数非负，从而得到不等式组，再解不等式组得出函数的定义域.
3．（2025高一上·兰州新期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
4．（2025高一上·兰州新期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，，
又因为，则，
所以，则.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式可得的值，再结合和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
5．（2025高一上·兰州新期末）已知是函数的一个零点，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为是函数的一个零点，，，
则，.
故答案为：B.
【分析】首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性和零点存在性定理，从而找出正确的选项.
6．（2025高一上·兰州新期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
，
又因为单调递增，所以，
又因为单调递减，所以，
所以，综上所述：.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，则判断出与的大小关系，再结合幂函数的单调性，即可判断出的关系.
7．（2025高一上·兰州新期末）已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为的定义域是函数与定义域的交集为：，故排除选项C；
由图可知函数与轴有两个交点，
设右侧交点为，函数图象与轴交点为，
则时，且，所以，故排除选项B；
当时，且，所以，故排除选项A.
故答案为：D.
【分析】利用函数的定义域排除选项C；利用的函数值符号，则排除选项B；利用时的函数值趋势，则排除选项A，进而找出函数可能的图象.
8．（2025高一上·兰州新期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，令，即，解得或，
方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数，
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，
结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是，
不妨设，结合图象知：且，，
由，即，所以，
又因为，，
故的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，再结合图象知：且，，由结合对勾函数的性质，从而求出的取值范围，进而得出的取值范围.
9．（2025高一上·兰州新期末）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，又因为，
则，即，故A正确；
对于B，因为，又因为，，，
则，即，故B不正确；
对于C，因为，
又因为，，，，
则，即，故C正确；
对于D，取，满足，
此时，，，则，故D不正确.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的基本性质结合作差法，从而逐项判断找出不等关系正确的选项.
10．（2025高一上·兰州新期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．点是函数图象的对称中心
D．函数在上单调递减
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意可知，，
又因为，则，，
故，即，
又因为，所以，
所以，故选项A正确，选项B错误；
因为，
所以是图象的对称中心，故选项C正确；
当时，，函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由正弦型函数的部分图象求出函数解析式，则判断出选项A；利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性在，则判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，则判断出正弦型函数在上的单调性，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2025高一上·兰州新期末）已知函数，若在区间内恰好有198个零点，则的取值可以为（ ）
A．132 B．133 C．198 D．199
【答案】A,C,D
【知识点】函数的周期性；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：令，则，，
由，则，
显然，即方程有两个不等的实数根，，
当时，，，此时在上恰有3个实根，
又因为，因此，则；
令，
当时，，，，
当时，则，，此时在上恰有2个实根，
又因为，则或，
因此或，所以n的取值可以为或或.
故答案为：ACD.
【分析】令，按分类讨论出一元二次方程的根的情况，再结合正弦函数的性质，从而求出n可以的取值.
12．（2025高一上·兰州新期末）命题“，”的否定是 .
【答案】
【知识点】命题的否定
13．（2025高一上·兰州新期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，所以，
当且仅当，即，时取等号，
又因为恒成立，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用乘“1”法和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
14．（2025高一上·兰州新期末）已知函数的零点为.若，则的值是 ；若函数的零点为，则的值是 .
【答案】；
【知识点】函数单调性的性质；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，均在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，，，且，所以，
由可得，即，
所以即为两函数，图象的交点的横坐标，
令可得，
所以即为两函数，图象的交点的横坐标，
因为函数与的图象关于对称，且互相垂直，
由，解得，即、的中点为，
所以.
故答案为：；.
【分析】利用函数的单调性和零点存在性定理，从而可得的值；由已知条件可得为两函数图象的交点的横坐标，为两函数图象的交点的横坐标，根据函数与的图象关于对称，从而求出交点的横坐标，再根据函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，进而得出的值.
15．（2025高一上·兰州新期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为角的终边经过点，
所以，
所以.
（2）解：因为角的终边经过点，
所以，，
所以.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，再将弦化切，代入计算可得的值.
（2）利用三角函数的定义求出，的值，再代入计算可得的值.
（1）因为角的终边经过点，
所以，
所以；
（2）因为角的终边经过点，所以，，
所以.
16．（2025高一上·兰州新期末）已知二次函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
不等式，即，
即，解得或，
所以不等式的解集为.
（2）解：因为在区间上单调递增，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）依题意可得，将左边因式分解，从而解出不等式的解集.
（2）分和两种情况讨论，再结合二次函数的单调性得到不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（1）当时，
不等式，即，即，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）因为在区间上单调递增，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
17．（2025高一上·兰州新期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要.
（1）已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
（2）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
【答案】（1）解：由题意可知：摩天轮最高点距离地面，
最低点距离地面，
所以，所以，
又因为转一周大约需要，所以，
所以，
又因为，
所以且，所以，
所以.
（2）解：因为，
令，则，
又因为，则，所以，
所以，且，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出的值，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出的值，由此可求出摩天轮转动一周的解析式.
（2）利用诱导公式化简，根据求解出的取值范围，由此得出摩天轮在运行一周的过程中游客能有最佳视觉效果的时间.
（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，
所以，所以，
又因为转一周大约需要，所以，
所以，
又因为，
所以且，所以，
所以；
（2）因为，
令，则，
又因为，则，所以，
所以，且，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果.
18．（2025高一上·兰州新期末）已知函数对于任意的，都有，当时，，且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为任意的都有，
所以，即，
令，得，即，
所以为奇函数.
（2）解：设，则，
，即，
当时，，所以，即，
所以为减函数，
所以当时，函数为减函数，
所以的最大值为，最小值为，
因为，，
所以，，，
，
故.
（3）解：因为为奇函数，
∴
=
=
，
令，即，
因为函数在R上是减函数，
所以，
设，方程有4个不同的解，
则有两个不同的正根，
则，
所以，当 时，函数有4个不同的解.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）对赋值，再利用奇偶性的定义判断出并证明函数的奇偶性.
（2）设，则，当时，，从而可得，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而得出当时的函数的最大值和最小值.
（3）利用已知条件结合函数单调性、奇偶性，从而将原方程转化为有4个不同的解，设，则有两个不同的正根，再列不等式组求解得出实数的取值范围.
（1）因为任意的都有，
所以，即；
令，得，即，
所以为奇函数.
（2）设，则，
，
即，
又当时，，所以，即，
所以为减函数.
所以当时，函数为减函数，
所以的最大值为，最小值为；
因为，，所以；
，，
，
故.
（3）因为为奇函数.
∴
=
=
，
令，即，
因为函数在R上是减函数，
所以，
设，方程有4个不同的解，
则有两个不同的正根，
所以当 时，函数有4个不同的解.
19．（2025高一上·兰州新期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.
（1）若函数是型函数，求的值；
（2）若函数是型函数，求和的值；
（3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由是型函数，
得，即，
所以.
（2）解：由是型函数，
得，
则，
因此对定义域内任意恒成立，
则，解得，
所以.
（3）解：由是型函数，得，
①当时，，
又因为，则，满足；
②当时，恒成立，
令，因为，则，
所以在恒成立，则恒成立，
又因为函数在上单调递增，
则，当且仅当时取等号，因此；
③当时，，
则，
由，得，
令，则，
所以在上恒成立，
由②知，当时，，
则只需时，恒成立，即恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
因此，所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据型函数的定义结合指数的运算法则，从而计算得出实数a的值.
（2）利用型函数的定义，从而建立恒成立的等式，再借助恒等式求解得出和的值.
（3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立，从而求解得出实数的取值范围.
（1）由是型函数，得，即，
所以.
（2）由是型函数，得，
则，因此对定义域内任意恒成立，
于是，解得，
所以.
（3）由是型函数，得，
①当时，，而，则，满足；
②当时，恒成立，
令，因为，则，所以在恒成立，于是恒成立，
而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，因此；
③当时，，
则，
由，得，
令，则，所以在上恒成立，
由②知，当时，，
则只需时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
1 / 1
